高中簡(jiǎn)單立體幾何體附例題詳解資料(編輯修改稿)
2025-04-22 05:42 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 定的平面. 又因DM在這平面內(nèi),所以AB⊥DM. ∴∠MDC是截面與底面所成二面角的平面角,∠MDC=∠NSC. 在△MDC和△NSC中,因?yàn)椤螹DC=∠NSC,∠DCS是公共角,所以∠DMC=∠SNC=90176。從而DM⊥SC. 從AB⊥SC,DM⊥SC,可知SC⊥截面MAB.[題解2]連結(jié)DS,DM，因?yàn)镾N是底面的垂線,AB⊥DN,所以AB⊥DS(據(jù)三垂線定理).從而AB⊥平面SDC. 因SC,DM都在平面SDC內(nèi),故AB⊥SC,AB⊥DM. 由AB⊥DM,AB⊥DC,可知∠MDC是截面與底面所成二面角的平面角,∠MDC=∠NSC. 以下同證法一,故SC⊥截面MAB.[題解3]連結(jié)DM,DS. 因?yàn)镸,N分別在△SDC的兩邊上,所以SN和DM都在平面內(nèi),且相交于一點(diǎn)P. 又因PN是底面的垂線,AB⊥DN,所以AB⊥DM(據(jù)三垂線定理). ∴∠MDC是截面與底面所成二面角的平面角,∠MDC=∠NSC. 又∠MDC=∠NSC,∠DCS是△DCM和△SCN的公共角,故∠DMC=∠SNC=90176。.從而DM⊥SC. 從AB⊥DM,AB⊥DC,可知AB⊥,所以AB⊥SC. 從AB⊥SC,DM⊥SC,可知SC⊥截面MAB.[例5] 如圖，正四棱錐的棱長(zhǎng)和底面邊長(zhǎng)均為a,求：（1）側(cè)面與底面所成角的余弦；（2）相鄰兩個(gè)側(cè)面所成二面角的余弦。[題解]（1）作SO⊥面ABCD于O，作SE⊥BC于E，連接OE，則BC⊥OE，SEO=， (2）設(shè)SA的中點(diǎn)為F，連接BF、DF，SAB和SAD都是正三角形， 概念多面體：.凸多面體: 把多面體的任何一個(gè)面伸展為平面,如果所有其他各面都在這個(gè)平面的同側(cè),這樣的多面體叫做凸多面體.正多面體：每個(gè)面都是有相同邊數(shù)的正多邊形，且以每個(gè)頂點(diǎn)這其一端都有相同數(shù)目的棱的凸多面體叫做正多面體.正多面體的種類: 正多面體只有五種：正四面體、正六面體、正八面體、正十二面體和正二十面體，其中正四面體、正八面體、正二十面體的面是正三角形，正六面體的面是正方形，正十二面體的面是正五邊形。公式歐拉公式: 簡(jiǎn)單多面體的頂點(diǎn)數(shù)V、面數(shù)F的和與棱數(shù)E之間存在規(guī)律V+FE=2，它叫做歐拉公式。[活用實(shí)例][例6] 如果一個(gè)凸多面體，各頂點(diǎn)引出奇數(shù)條棱，求證：頂點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)。[題解1]假設(shè)多面體的頂點(diǎn)數(shù)V=2n+1(n1,nN*)，第i個(gè)頂點(diǎn)處有2mi+1條棱(mi1, miN*)， 棱數(shù)為E，則2E=(2m1+1)+ (2m2+1)+……..+ (2mi+1)+…….+ (2m2n+1+1) =2(m1+m2+……+mi+……m2n+1)+(2n+1). E=(m1+m2+……+mi+……m2n+1)+n+. 這與棱數(shù)是正整數(shù)矛盾，此多面體的頂點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)。[題解2]設(shè)頂點(diǎn)數(shù)為V，各頂點(diǎn)引出的棱數(shù)分別為2n1+2n2+……、2nV+1(ni1，niN*), 則棱數(shù)E=[(2n1+1)+(2n2+1)+……+(2nV+1)], 2E=2(n1+n2+……+nV)+V, V=2E2(n1+n2+……+nV).故V一定是偶數(shù).[例7] 一個(gè)多面本，每個(gè)面的邊數(shù)相同，每個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的棱數(shù)也相同，若各個(gè)面的內(nèi)角總和為36000，求這個(gè)多面體的面數(shù)F、頂點(diǎn)數(shù)V及棱數(shù)E.[題解]設(shè)多面體的每個(gè)面的邊數(shù)為x，每一個(gè)頂點(diǎn)處出發(fā)的棱數(shù)為y
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