第2章近獨(dú)立粒子的經(jīng)典統(tǒng)計(jì)習(xí)題解答(編輯修改稿)
2025-04-22 03:08 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 粒子看作是一個(gè)子系統(tǒng)，則總系統(tǒng)是由兩個(gè)子系統(tǒng)組成，在熱平衡時(shí)，兩子系統(tǒng)的溫度相等。由于在熱平衡時(shí)，兩子系統(tǒng)的溫度相等。從上面打推導(dǎo)中可看出，在熱平衡時(shí)，兩子系統(tǒng)的是相同的，由此可見，參數(shù)是一個(gè)與溫度有關(guān)的量。三、 求廣義力的基本公式的應(yīng)用；【例4】：根據(jù)公式，證明：對(duì)于極端相對(duì)論粒子， ，有。 證明：令，因此得到 壓強(qiáng) 因內(nèi)能，所以 。 證畢四、熵的統(tǒng)計(jì)表達(dá)式及玻耳茲曼關(guān)系的應(yīng)用【例5】 ：對(duì)如圖所示的夫倫克爾缺陷，（1）假定正常位置和填隙位置數(shù)均為N，證明：由N個(gè)原子構(gòu)成的晶體，在晶體中形成n個(gè)缺位和填隙原子而具有的熵等于 （2） 設(shè)原子在填隙位置和正常位置的能量差為u ，試由自由能為極小證明在溫度為T時(shí)，缺位和填隙原子數(shù)為 （設(shè)）證明：（1）當(dāng)形成缺陷時(shí)，出現(xiàn)幾個(gè)缺陷的各種占據(jù)方式就對(duì)應(yīng)不同的微觀狀態(tài)，N個(gè)正常位置出現(xiàn)n個(gè)空位的可能方式數(shù)為，同樣離開正常位置的n個(gè)原子去占據(jù)N個(gè)間隙位置的方式數(shù)也為，從而形成n個(gè)空位并有n個(gè)間隙位置為n個(gè)原子占據(jù)的方式數(shù)即微觀態(tài)數(shù) ，由此求得熵 （2）系統(tǒng)的自由能，取無(wú)缺陷時(shí)的晶體自由能為零時(shí)，平衡態(tài)時(shí)系統(tǒng)的自由能為極小。將自由能F對(duì)缺陷數(shù)n求一階導(dǎo)數(shù)并令其為零，求得缺位和填隙原子數(shù)為 （設(shè)）五、麥?zhǔn)戏植技捌鋺?yīng)用【例6】：氣體以恒定的速度沿z方向作整體運(yùn)動(dòng)，試證明，在平衡狀態(tài)下分子動(dòng)量的最概然分布為 證明：在體積V內(nèi)，粒子質(zhì)心在，…內(nèi)的分子可能狀態(tài)數(shù)為 ，而一個(gè)量子態(tài)上平均粒子數(shù)為，所以粒子質(zhì)心在…的分子數(shù)為 ⑴將氣體分子視為玻爾茲曼體系，給定分布下的微觀狀態(tài)數(shù)為在、的條件下，應(yīng)用斯特林近似公式，有 該體系應(yīng)滿足 （粒子數(shù)不變） ⑵ （總能量不變） ?、? （z方向動(dòng)量守恒） ⑷所求的最概然分布是在滿足限制條件⑵、⑶、⑷式下，使取極大的分布。按照拉格朗日待定乘子法，引入待定因子，構(gòu)造函數(shù)最可幾分布時(shí)，得 ⑸將⑸代入⑴得到，最可幾分布時(shí)，粒子動(dòng)量在…的分子數(shù)為 ⑹將自由粒子的能量代入得 ⑺令展開，相比較可得； ⑻將⑻代入⑺，得到： 證畢式中的可由⑵、⑶、⑷確定。將⑺代入中積分求得討論：根據(jù)上式可求的平均值這恰好是氣體整體運(yùn)動(dòng)是的平均動(dòng)量，即氣體的平動(dòng)動(dòng)量為,由此可見氣體的平衡狀態(tài)并不因?yàn)闅怏w整體平動(dòng)而受到破壞，其物態(tài)方程仍然為。據(jù)此還可證明。【例7】表面活性物質(zhì)的分子在液面上作二維運(yùn)動(dòng)，可以看作二維理想氣體，試寫出二維理想氣體中分子的速度分布和速率分布，并求平均速率，最概然速率和方均根速率。解： 對(duì)二維理想氣體，粒子自由度 ，分子能量為 。在平衡態(tài)，按照玻爾茲曼分布律，在N個(gè)分子中，位置在 而動(dòng)量在，內(nèi)的分子數(shù)為 （1）其中粒子配分函數(shù) （2）將（2）代入（1）并對(duì)積分，并將代入，得到速度分量在的分子數(shù)為 （3）利用二維速度空間極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系：，將公式⑶換為平面極坐標(biāo)，對(duì)積分，得到速率介于的分子數(shù) （4）（3）、（4）即為二維理想氣體分子的速度分布和速率分布。由（4）求得速率分布函數(shù) ⑸平均速率 ⑹速率平方平均值及方均根速率分別為 ， ⑺由一階導(dǎo)數(shù)為零，即 ，求得 ?！纠?】：試根據(jù)麥?zhǔn)纤俣确植悸蓪?dǎo)出兩分子的相對(duì)速度vr=v2—v1和相對(duì)速率的概率分布，并求相對(duì)速率的平均值。解：按照麥克斯韋速度分布律，一個(gè)分子具有速度為v到v+dv的概率為 （1）這里，所以分子1的速度在，而同時(shí)分子2的速度在的概率為 ⑵對(duì)分子2，引入質(zhì)心運(yùn)動(dòng)速度和相對(duì)速度： ， ⑶利用，由上式解出 ， ⑷兩分子的動(dòng)能 ⑸這里，是兩分子相對(duì)運(yùn)動(dòng)的約化質(zhì)量。利用，是由變換到的雅可比行列式，其值。將⑸和dv1dv2=dvcdvr代入⑵得到 ⑹其中兩分子的相對(duì)速度為的概率分布為
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