構(gòu)造函數(shù)解導(dǎo)數(shù)綜合題(編輯修改稿)
2025-04-21 04:37 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 2y－3＝0的斜率為－，且過(guò)點(diǎn)(1,1)，故即解得(2)證明：由(1)知f(x)＝＋(x＞0)，所以f(x)－＝．考慮函數(shù)h(x)＝2ln x－(x＞0)，則h′(x)＝－＝－．所以當(dāng)x≠1時(shí)，h′(x)＜0．而h(1)＝0，故當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，h(x)＞0，可得h(x)＞0；當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，h(x)＜0，可得h(x)＞0．從而當(dāng)x＞0，且x≠1時(shí)，f(x)－＞0，即f(x)＞．技法三：“換元法”構(gòu)造函數(shù)[典例] 已知函數(shù)f(x)＝ax2＋xln x(a∈R)的圖象在點(diǎn)(1，f(1))處的切線與直線x＋3y＝0垂直．(1)求實(shí)數(shù)a的值；(2)求證：當(dāng)n＞m＞0時(shí)，ln n－ln m＞－．[解] (1)因?yàn)閒(x)＝ax2＋xln x，所以f′(x)＝2ax＋ln x＋1，因?yàn)榍芯€與直線x＋3y＝0垂直，所以切線的斜率為3，所以f′(1)＝3，即2a＋1＝3，故a＝1．(2)證明：要證ln n－ln m＞－，即證ln＞－，只需證ln －＋＞0．令＝x，構(gòu)造函數(shù)g(x)＝ln x－＋x(x≥1)，則g′(x)＝＋＋1．因?yàn)閤∈[1，＋∞)，所以g′(x)＝＋＋1＞0，故g(x)在(1，＋∞)上單調(diào)遞增．由已知n＞m＞0，得＞1，所以g＞g(1)＝0，即證得ln －＋＞0成立，所以命題得證．[方法點(diǎn)撥]對(duì)“待證不等式”等價(jià)變形為“l(fā)n－＋＞0”后，觀察可知，對(duì)“”進(jìn)行換元，變?yōu)椤發(fā)n x－＋x＞0”，構(gòu)造函數(shù)“g(x)＝ln x－＋x(x≥1)”來(lái)證明不等式，可簡(jiǎn)化證明過(guò)程中的運(yùn)算．[對(duì)點(diǎn)演練]已知函數(shù)f(x)＝x2ln x．(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)證明：對(duì)任意的t＞0，存在唯一的s，使t＝f(s)；(3)設(shè)(2)中所確定的s關(guān)于t的函數(shù)為s＝g(t)，證明：當(dāng)t＞e2時(shí)，有＜＜．解：(1)由已知，得f′(x)＝2xln x＋x＝x(2ln x＋1)(x＞0)，令f′(x)＝0，得x＝．當(dāng)x變化時(shí)，f′(x)，f(x)的變化情況如下表：xf′(x)－0＋f(x)極小
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