排列組合二項式定理練習(xí)題(編輯修改稿)
2025-04-21 02:36 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 人可以值多天班或不值班，但相鄰兩天不準由同一人值班，問此值班表共有 種不同的排法.【解析】依題意，第二天不能用第一天的人有4種方法，同理第三天、第四天、第五天也都有4種方法，由分步乘法計數(shù)原理共有54444＝1 280種方法.題型三 分類和分步計數(shù)原理綜合應(yīng)用【例3】(2011長郡中學(xué))如圖，用4種不同的顏色對圖中5個區(qū)域涂色(4種顏色全部使用)，要求每個區(qū)域涂一種顏色，相鄰的區(qū)域不能涂相同的顏色，則不同的涂色種數(shù)有 .【解析】方法一：由題意知，有且僅有兩個區(qū)域涂相同的顏色，分為4類：1與5同；2與5同；3與5同；，共有4A＝96種方法.方法二：第一步：涂區(qū)域1，有4種方法；第二步：涂區(qū)域2，有3種方法；第三步：涂區(qū)域4，有2種方法(此前三步已經(jīng)用去三種顏色)；第四步：涂區(qū)域3，分兩類：第一類，3與1同色，則區(qū)域5涂第四種顏色；第二類，區(qū)域3與1不同色，則涂第四種顏色，此時區(qū)域5就可以涂區(qū)域1或區(qū)域2或區(qū)域3中的任意一種顏色，不同的涂色種數(shù)有432(11＋13)＝96種.【點撥】，要注意的是分類中有分步，分步后有分類.【變式訓(xùn)練3】(2009深圳市調(diào)研)用紅、黃、藍三種顏色去涂圖中標號為1,2，…，9的9個小正方形，使得任意相鄰(有公共邊)小正方形所涂顏色都不相同，且1,5,9號小正方形涂相同顏色，則符合條件的所有涂法有多少種？【解析】第一步，從三種顏色中選一種顏色涂1,5,9號有C種涂法； 第二步，涂2,3,6號，若2,6同色，有4種涂法，若2,6不同色，有2種涂法，故共有6種涂法；第三步，涂4,7,8號，同第二步，共有6種涂法.由分步乘法原理知共有366＝108種涂法.總結(jié)提高分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理回答的都是完成一件事有多少種不同方法或種數(shù)的問題，其區(qū)別在于：分類加法計數(shù)原理是完成一件事要分若干類，類與類之間要互斥，用任何一類中的任何一種方法都可以獨立完成這件事；分步乘法計數(shù)原理是完成一件事要分若干步，步驟之間相互獨立，各個步驟相互依存，缺少其中任何一步都不能完成這件事，只有當各個步驟都完成之后，分清完成一件事的方法是分類還是分步，是正確使用這兩個基本計數(shù)原理的基礎(chǔ). 排列與組合典例精析題型一 排列數(shù)與組合數(shù)的計算【例1】 計算：(1)；(2) C＋C＋…＋C.【解析】(1)原式＝＝＝－.(2)原式＝C＋C＋C＋…＋C＝C＋C＋…＋C＝C＋C＋…＋C＝C＝330.【點撥】在使用排列數(shù)公式A＝進行計算時，要注意公式成立的條件：m，n∈N+，m≤，應(yīng)注意組合數(shù)的性質(zhì)的靈活運用.【變式訓(xùn)練1】解不等式＞6.【解析】原不等式即＞6，也就是＞，化簡得x2－21x＋104＞0， 解得x＜8或x＞13，又因為2≤x≤9，且x∈N*，所以原不等式的解集為{2,3,4,5,6,7}.題型二 有限制條件的排列問題【例2】 3男3女共6個同學(xué)排成一行.(1)女生都排在一起，有多少種排法？(2)女生與男生相間，有多少種排法？(3)任何兩個男生都不相鄰，有多少種排法？(4)3名男生不排在一起，有多少種排法？(5)男生甲與男生乙中間必須排而且只能排2位女生，女生又不能排在隊伍的兩端，有幾種排法？【解析】(1)將3名女生看作一人，就是4個元素的全排列，所以共有AA＝144種排法.(2)男生自己排，女生也自己排，然后相間插入(此時有2種插法)，所以女生與男生相間共有2AA＝72種排法.(3)女生先排，女生之間及首尾共有4個空隙，任取其中3個安插男
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