【文章內(nèi)容簡介】 。這里的“單位”指一完整的商品單位，這種完整的商品單位，是邊際效用遞減規(guī)律有效性的前提。比如，這個(gè)定律適用于一雙鞋子，但不適用于單只鞋子。對于四輪車而言，必須是有四個(gè)輪子的車才成為一單位。三個(gè)輪子不能構(gòu)成一輛四輪車，因而每個(gè)輪子都不是一個(gè)有效用的物品，增加一個(gè)輪子才能使車子有用。因此，不能說第四個(gè)輪子的邊際效用超過第三個(gè)輪子。5．一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)回避者有機(jī)會(huì)在以下兩者之間選擇，在一次賭博中，他有25%的概率得到1000美元，有75%的概率得到100美元，或者，他不賭可以得到325美元，他會(huì)怎樣選擇？如果他得到的是320美元，他會(huì)怎樣選擇？答：該消費(fèi)者現(xiàn)在在無風(fēng)險(xiǎn)條件下（即不賭博條件下）可以持有的確定的貨幣財(cái)富是325美元，而在風(fēng)險(xiǎn)條件下即進(jìn)行賭博的財(cái)富的期望值也是325美元（），由于他是風(fēng)險(xiǎn)回避者，他認(rèn)為持有一筆確定的貨幣財(cái)富的效用大于在風(fēng)險(xiǎn)條件下賭博的期望效用，因而他會(huì)選擇不賭博。如果他得到的是320美元，他是否會(huì)選擇賭博，取決于他的效用函數(shù)的形式。如果他是風(fēng)險(xiǎn)回避者，他可能會(huì)也可能不會(huì)選擇賭博；如果他是風(fēng)險(xiǎn)愛好者，他會(huì)選擇賭博。如果他是風(fēng)險(xiǎn)中立者，他也會(huì)選擇賭博，因?yàn)轱L(fēng)險(xiǎn)中立者關(guān)心的是貨幣期望值極大，而不管風(fēng)險(xiǎn)多大，顯然，在的情況下，他會(huì)選擇賭博。6．指出下列期望效用函數(shù)所代表的風(fēng)險(xiǎn)偏好類型（風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避、風(fēng)險(xiǎn)中性還是風(fēng)險(xiǎn)偏愛）：（1）；（2）；（3）；（4）（）。這里代表消費(fèi)。答：由于消費(fèi)者對風(fēng)險(xiǎn)的偏好完全可以由期望效用函數(shù)推得，通過直接考察效用函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)便可以確定。如果效用函數(shù)關(guān)于消費(fèi)量的二階導(dǎo)數(shù)大于0，即，則為風(fēng)險(xiǎn)愛好者的效用函數(shù)；等于０，即，則代表風(fēng)險(xiǎn)中立者的效用函數(shù)；小于0，即，則代表風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避者的效用函數(shù)。（1），代表風(fēng)險(xiǎn)中性偏好；（2），代表風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避偏好；（3），代表風(fēng)險(xiǎn)偏愛偏好；（4），代表風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避偏好。7．試比較基數(shù)效用論與序數(shù)效用論兩派觀點(diǎn)的異同。答：效用是商品和勞務(wù)給消費(fèi)者帶來的滿足程度，對于效用是否可加的爭論產(chǎn)生了兩種既相互區(qū)別又緊密聯(lián)系的理論：基數(shù)效用論和序數(shù)效用論。對這兩種理論的比較如下：（1）基數(shù)效用論和序數(shù)效用論的聯(lián)系①都是從市場的需求一方著手，通過推導(dǎo)需求曲線，說明需求曲線上的任一點(diǎn)都表示消費(fèi)者獲得了效用最大化。②二者都建立在一些相同的假設(shè)基礎(chǔ)之上，如假設(shè)消費(fèi)者都有一定的收入，其行為都是理性的，都把消費(fèi)者的行為看作是在既定的收入限制條件下追求最大化效用的過程。③基數(shù)效用論建立在邊際效用遞減的假設(shè)之上，序數(shù)效用論也得出了邊際替代率遞減的結(jié)論。它們都以邊際效用理論為基礎(chǔ)，認(rèn)為商品的價(jià)值或價(jià)格是由商品帶給消費(fèi)者的邊際效用的大小來決定的。④它們推導(dǎo)的曲線具有相同的趨勢，都符合需求規(guī)律，即都得到了一條向右下方傾向的需求曲線。⑤效用函數(shù)的形式基本相同，消費(fèi)兩種商品時(shí)的效用函數(shù)都可以寫作。并且二者得到的消費(fèi)者效用最大化的均衡條件有聯(lián)系，經(jīng)過適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)變換可以得到一樣的形式，基數(shù)分析與序數(shù)分析具有一致性。（2）基數(shù)效用論與序數(shù)效用論的區(qū)別①假設(shè)不同。基數(shù)效用論假設(shè)消費(fèi)者消費(fèi)商品所獲得的效用是可以度量的，可以用基數(shù)（1，2，3，…）表示。每個(gè)消費(fèi)者都可以準(zhǔn)確地說出自己所獲得的效用值，這樣任意兩個(gè)消費(fèi)者的消費(fèi)函數(shù)可以比較和加總。邊際效用具有遞減規(guī)律；序數(shù)效用論則認(rèn)為消費(fèi)所獲得的效用只可以進(jìn)行排序，只可以用序數(shù)（第一，第二，第三…）來表示，效用的大小及特征表現(xiàn)在無差異曲線中。②效用函數(shù)形式雖然相同，但含義不同。基數(shù)效用論的效用函數(shù)指的是可以以基數(shù)計(jì)量的效用；序數(shù)效用論的效用函數(shù)則指的是效用指數(shù)。③使用的分析方法不同?；鶖?shù)效用論使用即在預(yù)算約束下求效用值的最大化作為工具。而序數(shù)效用論則使用無差異曲線、預(yù)算線作為分析工具。④均衡條件的表達(dá)不同?；鶖?shù)效用論使用表達(dá)式為，即每一單位貨幣所購買到的任何商品的邊際效用相等。序數(shù)效用論則表達(dá)為，即兩種商品的邊際替代率等于兩種商品的價(jià)格之比。8．兩種商品的邊際替代率（）的含義是什么？為什么它是遞減的？答：（1）邊際替代率是指在維持效用水平不變的條件下，消費(fèi)者每增加一個(gè)單位某種商品的消費(fèi)數(shù)量所必須放棄的另一種商品的消費(fèi)數(shù)量。商品對商品的邊際替代率為：在保持效用水平不變的條件下，消費(fèi)者增加一個(gè)單位某種商品的消費(fèi)所帶來的效用增加量和相應(yīng)的另一種商品消費(fèi)數(shù)量減少所帶來的效用量必定是相等的，即：，亦即，可見兩種商品的邊際替代率等于兩種商品的邊際效用之比。（3）邊際替代率遞減的原因在于，隨著商品消費(fèi)數(shù)量的增加，其所帶來的邊際效用是遞減的，同時(shí)，隨著的消費(fèi)數(shù)量的減少，其所帶來的邊際效用是遞增的。因此，隨著消費(fèi)數(shù)量的增加，其所能夠替代的的比例也會(huì)越來越少。所以說商品的邊際替代率遞減是由于消費(fèi)商品的邊際效用遞減所造成的。9．證明無差異曲線互不相交。證明：用反證法。假設(shè)消費(fèi)者具有滿足一般公理（完備性、反身性和傳遞性）的偏好，且其無差異曲線和無差異曲線相交于一點(diǎn)。其中和代表不同效用水平下的無差異商品束集合。不妨設(shè)代表的效用高于代表的效用，則對于上一點(diǎn)和上一點(diǎn)必有偏好于；又因?yàn)榕c同在無差異曲線上，可知無差異于，依照傳遞性假設(shè)，必有偏好于，但與又同在無差異曲線上，必有C無差異于。引出矛盾，因此，滿足一般公理的偏好不會(huì)有相交的無差異曲線。10．如果有一個(gè)定義在兩商品空間上的偏好關(guān)系滿足下列條件：，，若，則，若，且，則。若，則。這種偏好關(guān)系被稱為字典排序式的。這種偏好滿足完備性、自反性、傳遞性和連續(xù)性嗎？請證明你的判斷。答：字典式偏好顯然滿足完備性、自反性和傳遞性，不滿足連續(xù)性?，F(xiàn)在證明其不滿足連續(xù)性。設(shè)中有收斂序列，其中遞減地趨于，另則有，也即序列。，且，當(dāng)時(shí)。但，，因此不是中的閉集，從而偏好是不連續(xù)的。11．對于常替代彈性效用函數(shù)：，證明：（1）當(dāng)時(shí)，該效用函數(shù)趨近于。（2）當(dāng)時(shí)，該效用函數(shù)趨近于。證明：（1）當(dāng)時(shí)，此時(shí)對效用函數(shù)兩邊變換求極限有：（2）當(dāng)時(shí)，對效用函數(shù)兩邊變換求極限有：最后一個(gè)等號(hào)用到洛必達(dá)法則，下面分情況討論：①當(dāng)時(shí)：上式中倒數(shù)第二個(gè)等號(hào)成立是因?yàn)楫?dāng)時(shí)。②當(dāng)時(shí)：當(dāng)時(shí)，有。綜上可知：三、計(jì)算題1．效用函數(shù)為。（1）當(dāng)為何值的時(shí)候，唯一的最優(yōu)解是？（2）當(dāng)為何值的時(shí)候，唯一的最優(yōu)解是？解：令橫軸代表的消費(fèi)數(shù)量，縱軸代表的消費(fèi)數(shù)量。當(dāng)，即時(shí)，；同理，當(dāng)，即時(shí)。令，可得：，此時(shí)無差異曲線斜率為2；令，可得：，此時(shí)無差異曲線斜率為。根據(jù)已知條件，預(yù)算線的斜率為。（1）如果預(yù)算線陡于2，則。所以條件為。（2）同理，如果預(yù)算線比1/2更平坦，將等于0。所以條件是。2．某消費(fèi)者的效用函數(shù)為，和是他所消費(fèi)的兩種商品，其價(jià)格分別為 和，他的收入為100，試問他對和的需求量各為多少？解：由題意得消費(fèi)者效用最大化問題可以表述為：構(gòu)造拉格朗日函數(shù)：效用最大化的一階條件為：有上述三式解得：。此即為消費(fèi)者效用最大化時(shí)對兩種商品的均衡消費(fèi)量。3．消費(fèi)者的效用函數(shù)為，則他在商品上的支出占總支出的比例是多少？對的需求與的價(jià)格有什么關(guān)系？解：消費(fèi)者效用最大化時(shí)必然是總支出等于總收入。消費(fèi)者效用最大化的問題可以表述為：消費(fèi)均衡的條件為，即，亦即。將該等式關(guān)系代入預(yù)算約束方程中可以得到：。所以，此消費(fèi)者在商品上的支出占總支出的比例是。對該式變形可以得到對的需求函數(shù)：?？梢妼Φ男枨笾慌c該商品本身的價(jià)格以及消費(fèi)者的收入水平有關(guān)，而與的價(jià)格無關(guān)。4．一退休老人有一份固定收入，他現(xiàn)在需在北京、上海與廣州三地之間選擇一城市去居住。假設(shè)他只按消費(fèi)的效用來選擇，不考慮地理、氣候與文化因素。他的效用函數(shù)是，其中。已知北京的物價(jià)是，上海的物價(jià)是。廣州的物價(jià)是，已知。問：他會(huì)選擇哪個(gè)城市去居??？解：設(shè)該退休老人的收入為，則他的效用最大化問題可以表述為：由均衡條件可得。代入預(yù)算約束條件可得該老人對兩種商品的需求函數(shù)為。代入效用函數(shù)可以得到老人的總效用為：。再將各個(gè)城市的物價(jià)水平代入老人的總效用函數(shù)可得：在北京的效用為：；在上海的效用為：；在廣州的效用為：。由于，從而，因此他可能會(huì)選擇去北京或上海，但不會(huì)選擇去廣州，除非。5．一個(gè)消費(fèi)者具有預(yù)期效用函數(shù)。他可參與一次賭博，可以概率得到財(cái)富，以概率得到財(cái)富。他現(xiàn)在需要多少財(cái)富使其保持現(xiàn)有財(cái)富水平與接受賭博恰好是無差異的？解：保持現(xiàn)有財(cái)富與接受賭博無差異時(shí)，有：解得：。所以，他現(xiàn)在需要財(cái)富才能是其保持不變現(xiàn)有財(cái)富水平與接收賭博恰好是無差異的。6．消費(fèi)者的效用函數(shù)為，消費(fèi)者的效用函數(shù)為。和有相同的初始稟賦（1/2，1/2）。（1）均衡時(shí)，和之間的關(guān)系如何？（2）均衡時(shí)的分配情況如何？解：（1）由于，所以。（2）均衡分配是：一個(gè)人獲得一種產(chǎn)品的所有數(shù)量，另一個(gè)人獲得另一種產(chǎn)品的所有數(shù)量。因此有兩個(gè)均衡點(diǎn)（0，1）和（1，0）、（1，0）和（0，1）。如果，和的均衡配置分別是（0，1）和（1，0）；如果，和的均衡結(jié)果配置是（1，0）和（0，1）。7．某人的效用函數(shù)形式為。他有1000元錢，如果存銀行，若他買彩票，經(jīng)過同樣時(shí)間后他面臨兩種可能：有50%，50%。請問：他該將多少錢存銀行？多少錢買彩票？解：假設(shè)此人將其所擁有的1000元中的用于購買彩票，這時(shí)有兩種可能：獲得元，；獲得元。他將剩余的（）元存入銀行。對于這（）元的銀行存款而言，在一年后連本帶息將有元。綜上所述，此人的期望效用為：期望效用最大化的一階條件為：解得。所以，此人為了使其預(yù)期效用最大化。8．假使某消費(fèi)者具有效用函數(shù)，當(dāng)消費(fèi)者擁有100元人民幣，且的價(jià)格為每個(gè)5元，價(jià)格為每個(gè)7元時(shí)，為了最大化個(gè)人效用：（1）消費(fèi)者會(huì)選擇購買多少數(shù)量的和？（2）此時(shí)對的邊際替代率是多少？（3）如果讓他減少1單位的消費(fèi)，必須給他多少數(shù)量的才能使他的效用不會(huì)降低？（4）既然兩個(gè)組合帶給他的效用是一樣的，消費(fèi)者為什么沒有選擇第二個(gè)消費(fèi)組合？解：（1）由效用函數(shù)的形式可知商品和是完全替代品，且無差異曲線的斜率為。消費(fèi)者預(yù)算線的斜率為。，因此，消費(fèi)者將會(huì)把所有預(yù)算用于的購買，對的購買量為0。這可以從圖23中直觀看出：消費(fèi)者均衡點(diǎn)為點(diǎn)，購買的商品組合為