【文章內(nèi)容簡介】 。這里的“單位”指一完整的商品單位，這種完整的商品單位，是邊際效用遞減規(guī)律有效性的前提。比如，這個定律適用于一雙鞋子，但不適用于單只鞋子。對于四輪車而言，必須是有四個輪子的車才成為一單位。三個輪子不能構(gòu)成一輛四輪車，因而每個輪子都不是一個有效用的物品，增加一個輪子才能使車子有用。因此，不能說第四個輪子的邊際效用超過第三個輪子。5．一個風(fēng)險回避者有機會在以下兩者之間選擇，在一次賭博中，他有25%的概率得到1000美元，有75%的概率得到100美元，或者，他不賭可以得到325美元，他會怎樣選擇？如果他得到的是320美元，他會怎樣選擇？答：該消費者現(xiàn)在在無風(fēng)險條件下（即不賭博條件下）可以持有的確定的貨幣財富是325美元，而在風(fēng)險條件下即進行賭博的財富的期望值也是325美元（），由于他是風(fēng)險回避者，他認為持有一筆確定的貨幣財富的效用大于在風(fēng)險條件下賭博的期望效用，因而他會選擇不賭博。如果他得到的是320美元，他是否會選擇賭博，取決于他的效用函數(shù)的形式。如果他是風(fēng)險回避者，他可能會也可能不會選擇賭博；如果他是風(fēng)險愛好者，他會選擇賭博。如果他是風(fēng)險中立者，他也會選擇賭博，因為風(fēng)險中立者關(guān)心的是貨幣期望值極大，而不管風(fēng)險多大，顯然，在的情況下，他會選擇賭博。6．指出下列期望效用函數(shù)所代表的風(fēng)險偏好類型（風(fēng)險規(guī)避、風(fēng)險中性還是風(fēng)險偏愛）：（1）；（2）；（3）；（4）（）。這里代表消費。答：由于消費者對風(fēng)險的偏好完全可以由期望效用函數(shù)推得，通過直接考察效用函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)便可以確定。如果效用函數(shù)關(guān)于消費量的二階導(dǎo)數(shù)大于0，即，則為風(fēng)險愛好者的效用函數(shù)；等于０，即，則代表風(fēng)險中立者的效用函數(shù)；小于0，即，則代表風(fēng)險規(guī)避者的效用函數(shù)。（1），代表風(fēng)險中性偏好；（2），代表風(fēng)險規(guī)避偏好；（3），代表風(fēng)險偏愛偏好；（4），代表風(fēng)險規(guī)避偏好。7．試比較基數(shù)效用論與序數(shù)效用論兩派觀點的異同。答：效用是商品和勞務(wù)給消費者帶來的滿足程度，對于效用是否可加的爭論產(chǎn)生了兩種既相互區(qū)別又緊密聯(lián)系的理論：基數(shù)效用論和序數(shù)效用論。對這兩種理論的比較如下：（1）基數(shù)效用論和序數(shù)效用論的聯(lián)系①都是從市場的需求一方著手，通過推導(dǎo)需求曲線，說明需求曲線上的任一點都表示消費者獲得了效用最大化。②二者都建立在一些相同的假設(shè)基礎(chǔ)之上，如假設(shè)消費者都有一定的收入，其行為都是理性的，都把消費者的行為看作是在既定的收入限制條件下追求最大化效用的過程。③基數(shù)效用論建立在邊際效用遞減的假設(shè)之上，序數(shù)效用論也得出了邊際替代率遞減的結(jié)論。它們都以邊際效用理論為基礎(chǔ)，認為商品的價值或價格是由商品帶給消費者的邊際效用的大小來決定的。④它們推導(dǎo)的曲線具有相同的趨勢，都符合需求規(guī)律，即都得到了一條向右下方傾向的需求曲線。⑤效用函數(shù)的形式基本相同，消費兩種商品時的效用函數(shù)都可以寫作。并且二者得到的消費者效用最大化的均衡條件有聯(lián)系，經(jīng)過適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)變換可以得到一樣的形式，基數(shù)分析與序數(shù)分析具有一致性。（2）基數(shù)效用論與序數(shù)效用論的區(qū)別①假設(shè)不同?；鶖?shù)效用論假設(shè)消費者消費商品所獲得的效用是可以度量的，可以用基數(shù)（1，2，3，…）表示。每個消費者都可以準確地說出自己所獲得的效用值，這樣任意兩個消費者的消費函數(shù)可以比較和加總。邊際效用具有遞減規(guī)律；序數(shù)效用論則認為消費所獲得的效用只可以進行排序，只可以用序數(shù)（第一，第二，第三…）來表示，效用的大小及特征表現(xiàn)在無差異曲線中。②效用函數(shù)形式雖然相同，但含義不同?；鶖?shù)效用論的效用函數(shù)指的是可以以基數(shù)計量的效用；序數(shù)效用論的效用函數(shù)則指的是效用指數(shù)。③使用的分析方法不同。基數(shù)效用論使用即在預(yù)算約束下求效用值的最大化作為工具。而序數(shù)效用論則使用無差異曲線、預(yù)算線作為分析工具。④均衡條件的表達不同?；鶖?shù)效用論使用表達式為，即每一單位貨幣所購買到的任何商品的邊際效用相等。序數(shù)效用論則表達為，即兩種商品的邊際替代率等于兩種商品的價格之比。8．兩種商品的邊際替代率（）的含義是什么？為什么它是遞減的？答：（1）邊際替代率是指在維持效用水平不變的條件下，消費者每增加一個單位某種商品的消費數(shù)量所必須放棄的另一種商品的消費數(shù)量。商品對商品的邊際替代率為：在保持效用水平不變的條件下，消費者增加一個單位某種商品的消費所帶來的效用增加量和相應(yīng)的另一種商品消費數(shù)量減少所帶來的效用量必定是相等的，即：，亦即，可見兩種商品的邊際替代率等于兩種商品的邊際效用之比。（3）邊際替代率遞減的原因在于，隨著商品消費數(shù)量的增加，其所帶來的邊際效用是遞減的，同時，隨著的消費數(shù)量的減少，其所帶來的邊際效用是遞增的。因此，隨著消費數(shù)量的增加，其所能夠替代的的比例也會越來越少。所以說商品的邊際替代率遞減是由于消費商品的邊際效用遞減所造成的。9．證明無差異曲線互不相交。證明：用反證法。假設(shè)消費者具有滿足一般公理（完備性、反身性和傳遞性）的偏好，且其無差異曲線和無差異曲線相交于一點。其中和代表不同效用水平下的無差異商品束集合。不妨設(shè)代表的效用高于代表的效用，則對于上一點和上一點必有偏好于；又因為與同在無差異曲線上，可知無差異于，依照傳遞性假設(shè)，必有偏好于，但與又同在無差異曲線上，必有C無差異于。引出矛盾，因此，滿足一般公理的偏好不會有相交的無差異曲線。10．如果有一個定義在兩商品空間上的偏好關(guān)系滿足下列條件：，，若，則，若，且，則。若，則。這種偏好關(guān)系被稱為字典排序式的。這種偏好滿足完備性、自反性、傳遞性和連續(xù)性嗎？請證明你的判斷。答：字典式偏好顯然滿足完備性、自反性和傳遞性，不滿足連續(xù)性。現(xiàn)在證明其不滿足連續(xù)性。設(shè)中有收斂序列，其中遞減地趨于，另則有，也即序列。，且，當(dāng)時。但，，因此不是中的閉集，從而偏好是不連續(xù)的。11．對于常替代彈性效用函數(shù)：，證明：（1）當(dāng)時，該效用函數(shù)趨近于。（2）當(dāng)時，該效用函數(shù)趨近于。證明：（1）當(dāng)時，此時對效用函數(shù)兩邊變換求極限有：（2）當(dāng)時，對效用函數(shù)兩邊變換求極限有：最后一個等號用到洛必達法則，下面分情況討論：①當(dāng)時：上式中倒數(shù)第二個等號成立是因為當(dāng)時。②當(dāng)時：當(dāng)時，有。綜上可知：三、計算題1．效用函數(shù)為。（1）當(dāng)為何值的時候，唯一的最優(yōu)解是？（2）當(dāng)為何值的時候，唯一的最優(yōu)解是？解：令橫軸代表的消費數(shù)量，縱軸代表的消費數(shù)量。當(dāng)，即時，；同理，當(dāng)，即時。令，可得：，此時無差異曲線斜率為2；令，可得：，此時無差異曲線斜率為。根據(jù)已知條件，預(yù)算線的斜率為。（1）如果預(yù)算線陡于2，則。所以條件為。（2）同理，如果預(yù)算線比1/2更平坦，將等于0。所以條件是。2．某消費者的效用函數(shù)為，和是他所消費的兩種商品，其價格分別為 和，他的收入為100，試問他對和的需求量各為多少？解：由題意得消費者效用最大化問題可以表述為：構(gòu)造拉格朗日函數(shù)：效用最大化的一階條件為：有上述三式解得：。此即為消費者效用最大化時對兩種商品的均衡消費量。3．消費者的效用函數(shù)為，則他在商品上的支出占總支出的比例是多少？對的需求與的價格有什么關(guān)系？解：消費者效用最大化時必然是總支出等于總收入。消費者效用最大化的問題可以表述為：消費均衡的條件為，即，亦即。將該等式關(guān)系代入預(yù)算約束方程中可以得到：。所以，此消費者在商品上的支出占總支出的比例是。對該式變形可以得到對的需求函數(shù)：?？梢妼Φ男枨笾慌c該商品本身的價格以及消費者的收入水平有關(guān)，而與的價格無關(guān)。4．一退休老人有一份固定收入，他現(xiàn)在需在北京、上海與廣州三地之間選擇一城市去居住。假設(shè)他只按消費的效用來選擇，不考慮地理、氣候與文化因素。他的效用函數(shù)是，其中。已知北京的物價是，上海的物價是。廣州的物價是，已知。問：他會選擇哪個城市去居住？解：設(shè)該退休老人的收入為，則他的效用最大化問題可以表述為：由均衡條件可得。代入預(yù)算約束條件可得該老人對兩種商品的需求函數(shù)為。代入效用函數(shù)可以得到老人的總效用為：。再將各個城市的物價水平代入老人的總效用函數(shù)可得：在北京的效用為：；在上海的效用為：；在廣州的效用為：。由于，從而，因此他可能會選擇去北京或上海，但不會選擇去廣州，除非。5．一個消費者具有預(yù)期效用函數(shù)。他可參與一次賭博，可以概率得到財富，以概率得到財富。他現(xiàn)在需要多少財富使其保持現(xiàn)有財富水平與接受賭博恰好是無差異的？解：保持現(xiàn)有財富與接受賭博無差異時，有：解得：。所以，他現(xiàn)在需要財富才能是其保持不變現(xiàn)有財富水平與接收賭博恰好是無差異的。6．消費者的效用函數(shù)為，消費者的效用函數(shù)為。和有相同的初始稟賦（1/2，1/2）。（1）均衡時，和之間的關(guān)系如何？（2）均衡時的分配情況如何？解：（1）由于，所以。（2）均衡分配是：一個人獲得一種產(chǎn)品的所有數(shù)量，另一個人獲得另一種產(chǎn)品的所有數(shù)量。因此有兩個均衡點（0，1）和（1，0）、（1，0）和（0，1）。如果，和的均衡配置分別是（0，1）和（1，0）；如果，和的均衡結(jié)果配置是（1，0）和（0，1）。7．某人的效用函數(shù)形式為。他有1000元錢，如果存銀行，若他買彩票，經(jīng)過同樣時間后他面臨兩種可能：有50%，50%。請問：他該將多少錢存銀行？多少錢買彩票？解：假設(shè)此人將其所擁有的1000元中的用于購買彩票，這時有兩種可能：獲得元，；獲得元。他將剩余的（）元存入銀行。對于這（）元的銀行存款而言，在一年后連本帶息將有元。綜上所述，此人的期望效用為：期望效用最大化的一階條件為：解得。所以，此人為了使其預(yù)期效用最大化。8．假使某消費者具有效用函數(shù)，當(dāng)消費者擁有100元人民幣，且的價格為每個5元，價格為每個7元時，為了最大化個人效用：（1）消費者會選擇購買多少數(shù)量的和？（2）此時對的邊際替代率是多少？（3）如果讓他減少1單位的消費，必須給他多少數(shù)量的才能使他的效用不會降低？（4）既然兩個組合帶給他的效用是一樣的，消費者為什么沒有選擇第二個消費組合？解：（1）由效用函數(shù)的形式可知商品和是完全替代品，且無差異曲線的斜率為。消費者預(yù)算線的斜率為。，因此，消費者將會把所有預(yù)算用于的購買，對的購買量為0。這可以從圖23中直觀看出：消費者均衡點為點，購買的商品組合為