【文章內容簡介】 ∴ 動量的平均值為 一維運動粒子的狀態(tài)是 其中，求： (1)粒子動量的幾率分布函數； (2)粒子的平均動量。 解：(1)先求歸一化常數，由 ∴ 動量幾率分布函數為 (2) ，勢阱的寬度為，如果粒子的狀態(tài)由波函數 描寫，A為歸一化常數，求粒子的幾率分布和能量的平均值。 解：由波函數的形式可知一維無限深勢阱的分布如圖示。粒子能量的本征函數和本征值為 動量的幾率分布函數為 先把歸一化，由歸一化條件， ∴ ∴ ∴ 求氫原子能量、角動量平方及角動量Z分量的可能值，這些可能值出現的幾率和這些力學量的平均值。 解：在此能量中，氫原子能量有確定值 角動量平方有確定值為 角動量Z分量的可能值為 其相應的幾率分別為 ， 其平均值為 ，勢能為 求粒子的能級和定態(tài)函數。 解：據題意，在的區(qū)域，所以粒子不可能運動到這一區(qū)域，即在這區(qū)域粒子的波函數 () 由于在的區(qū)域內。只求角動量為零的情況，即，這時在各個方向發(fā)現粒子的幾率是相同的。即粒子的幾率分布與角度無關，是各向同性的，因此，粒子的波函數只與有關，而與無關。設為，則粒子的能量的本征方程為 令 ，得 其通解為 波函數的有限性條件知， 有限，則 A = 0 ∴ 由波函數的連續(xù)性條件，有 ∵ ∴ ∴ 其中B為歸一化，由歸一化條件得 ∴ ∴ 歸一化的波函數 . 解： 粒子處于狀態(tài) 式中為常量。當粒子的動量平均值，并計算測不準關系 解：①先把歸一化，由歸一化條件，得 ∴　　 / ∴ 是歸一化的 ② 動量平均值為 ③ （奇被積函數） 。解：設氫原子基態(tài)的最概然半徑為R，則原子半徑的不確定范圍可近似取為由測不準關系 得 對于氫原子，基態(tài)波函數為偶宇稱，而動量算符為奇宇稱，所以又有 所以 可近似取 能量平均值為 作為數量級估算可近似取 則有 基態(tài)能量應取的極小值，由得 代入，得到基態(tài)能量為 補充練習題二 1．試以基態(tài)氫原子為例證明：的本征函數，而是的本征函數。 可見， 可見，是的本征函數。2．證明：的氫原子中的電子，在的方向上被發(fā)現的幾率最大。 解： ∴ 的電子，其 ∴當時 為最大值。即在方向發(fā)現電子的幾率最大。 在其它方向發(fā)現電子的幾率密度均在～之間。3．試證明：處于1s，2p和3d態(tài)的氫原子的電子在離原子核的距離分別為的球殼內被發(fā)現的幾率最大(為第一玻爾軌道半徑 )。 證：①對1s態(tài)， 令 易見 ，當不是最大值。 為最大值，所以處于1s態(tài)的電子在處被發(fā)現的幾率最大。 ②對2p態(tài)的電子 令 易見 ，當為最小值。 ∴ 為幾率最大位置，即在的球殼內發(fā)現球態(tài)的電子的幾率最大。 ③對于3d態(tài)的電子 令 易見 ，當為幾率最小位置。 ∴ 為幾率最大位置，即在的球殼內發(fā)現球態(tài)的電子的幾率最大。 4. 當無磁場時，在金屬中的電子的勢能可近似視為 其中 ，求電子在均勻場外電場作用下穿過金屬表面的透射系數。 解：設電場強度為，方向沿χ軸負向，則總勢能為 ， 勢能曲線如圖所示。則透射系數為 式中為電子能量。，由下式確定 ∴ 令 ，則有 ∴透射系數 5．指出下列算符哪個是線性的，說明其理由。 ① ； ② ； ③ 解：①是線性算符 ②不是線性算符 ③是線性算符 6．指出下列算符哪個是厄米算符，說明其理由。 下列函數哪些是算符的本征函數，其本征值是什么？ ①， ② ， ③，　④，?、? 解：① ∴ 不是的本征函數。 ② ∴ 不是的本征函數，其對應的本征值為1。 ③∴ 可見，是的本征函數，其對應的本征值為－1。④ ∴ 是的本征函數，其對應的本征值為－1。 ⑤ ∴ 是的本征函數，其對應的本征值為－1。 試求算符的本征函數。 解：的本征方程為 （的本征值）如果把坐標原點取在一維無限深勢阱的中心，求阱中粒子的波函數和能級的表達式。 解： 方程（分區(qū)域）： Ⅰ： ∴ Ⅲ： ∴ Ⅱ： 令 標準條件： ∴ ∵ ∴ 取 ， 即 ∴ ∴ ∴ 粒子的波函數為 粒子的能級為 由歸一化條件，得 ∴ ∴ 粒子的歸一化波函數為 證明：處于1s、2p和3d態(tài)的氫原子中的電子，當它處于距原子核的距離分別為的球殼處的幾率最（為第一玻爾軌道半徑）。 證： 令 ，則得 ∴為幾率最小處。 ∴為幾率最大處。 令 ，則得 ∴ 為最大幾率位置。 當 時， ∴為幾率最小位置。 令 ，得 同理可知 為幾率最小處。 為幾率最大處。 1求一維諧振子處在第一激發(fā)