【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 ∴ 動(dòng)量的平均值為 一維運(yùn)動(dòng)粒子的狀態(tài)是 其中，求： (1)粒子動(dòng)量的幾率分布函數(shù)； (2)粒子的平均動(dòng)量。 解：(1)先求歸一化常數(shù)，由 ∴ 動(dòng)量幾率分布函數(shù)為 (2) ，勢(shì)阱的寬度為，如果粒子的狀態(tài)由波函數(shù) 描寫(xiě)，A為歸一化常數(shù)，求粒子的幾率分布和能量的平均值。 解：由波函數(shù)的形式可知一維無(wú)限深勢(shì)阱的分布如圖示。粒子能量的本征函數(shù)和本征值為 動(dòng)量的幾率分布函數(shù)為 先把歸一化，由歸一化條件， ∴ ∴ ∴ 求氫原子能量、角動(dòng)量平方及角動(dòng)量Z分量的可能值，這些可能值出現(xiàn)的幾率和這些力學(xué)量的平均值。 解：在此能量中，氫原子能量有確定值 角動(dòng)量平方有確定值為 角動(dòng)量Z分量的可能值為 其相應(yīng)的幾率分別為 ， 其平均值為 ，勢(shì)能為 求粒子的能級(jí)和定態(tài)函數(shù)。 解：據(jù)題意，在的區(qū)域，所以粒子不可能運(yùn)動(dòng)到這一區(qū)域，即在這區(qū)域粒子的波函數(shù) () 由于在的區(qū)域內(nèi)。只求角動(dòng)量為零的情況，即，這時(shí)在各個(gè)方向發(fā)現(xiàn)粒子的幾率是相同的。即粒子的幾率分布與角度無(wú)關(guān)，是各向同性的，因此，粒子的波函數(shù)只與有關(guān)，而與無(wú)關(guān)。設(shè)為，則粒子的能量的本征方程為 令 ，得 其通解為 波函數(shù)的有限性條件知， 有限，則 A = 0 ∴ 由波函數(shù)的連續(xù)性條件，有 ∵ ∴ ∴ 其中B為歸一化，由歸一化條件得 ∴ ∴ 歸一化的波函數(shù) . 解： 粒子處于狀態(tài) 式中為常量。當(dāng)粒子的動(dòng)量平均值，并計(jì)算測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系 解：①先把歸一化，由歸一化條件，得 ∴　　 / ∴ 是歸一化的 ② 動(dòng)量平均值為 ③ （奇被積函數(shù)） 。解：設(shè)氫原子基態(tài)的最概然半徑為R，則原子半徑的不確定范圍可近似取為由測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系 得 對(duì)于氫原子，基態(tài)波函數(shù)為偶宇稱(chēng)，而動(dòng)量算符為奇宇稱(chēng)，所以又有 所以 可近似取 能量平均值為 作為數(shù)量級(jí)估算可近似取 則有 基態(tài)能量應(yīng)取的極小值，由得 代入，得到基態(tài)能量為 補(bǔ)充練習(xí)題二 1．試以基態(tài)氫原子為例證明：的本征函數(shù)，而是的本征函數(shù)。 可見(jiàn)， 可見(jiàn)，是的本征函數(shù)。2．證明：的氫原子中的電子，在的方向上被發(fā)現(xiàn)的幾率最大。 解： ∴ 的電子，其 ∴當(dāng)時(shí) 為最大值。即在方向發(fā)現(xiàn)電子的幾率最大。 在其它方向發(fā)現(xiàn)電子的幾率密度均在～之間。3．試證明：處于1s，2p和3d態(tài)的氫原子的電子在離原子核的距離分別為的球殼內(nèi)被發(fā)現(xiàn)的幾率最大(為第一玻爾軌道半徑 )。 證：①對(duì)1s態(tài)， 令 易見(jiàn) ，當(dāng)不是最大值。 為最大值，所以處于1s態(tài)的電子在處被發(fā)現(xiàn)的幾率最大。 ②對(duì)2p態(tài)的電子 令 易見(jiàn) ，當(dāng)為最小值。 ∴ 為幾率最大位置，即在的球殼內(nèi)發(fā)現(xiàn)球態(tài)的電子的幾率最大。 ③對(duì)于3d態(tài)的電子 令 易見(jiàn) ，當(dāng)為幾率最小位置。 ∴ 為幾率最大位置，即在的球殼內(nèi)發(fā)現(xiàn)球態(tài)的電子的幾率最大。 4. 當(dāng)無(wú)磁場(chǎng)時(shí)，在金屬中的電子的勢(shì)能可近似視為 其中 ，求電子在均勻場(chǎng)外電場(chǎng)作用下穿過(guò)金屬表面的透射系數(shù)。 解：設(shè)電場(chǎng)強(qiáng)度為，方向沿χ軸負(fù)向，則總勢(shì)能為 ， 勢(shì)能曲線(xiàn)如圖所示。則透射系數(shù)為 式中為電子能量。，由下式確定 ∴ 令 ，則有 ∴透射系數(shù) 5．指出下列算符哪個(gè)是線(xiàn)性的，說(shuō)明其理由。 ① ； ② ； ③ 解：①是線(xiàn)性算符 ②不是線(xiàn)性算符 ③是線(xiàn)性算符 6．指出下列算符哪個(gè)是厄米算符，說(shuō)明其理由。 下列函數(shù)哪些是算符的本征函數(shù)，其本征值是什么？ ①， ② ， ③，?、埽、? 解：① ∴ 不是的本征函數(shù)。 ② ∴ 不是的本征函數(shù)，其對(duì)應(yīng)的本征值為1。 ③∴ 可見(jiàn)，是的本征函數(shù)，其對(duì)應(yīng)的本征值為－1。④ ∴ 是的本征函數(shù)，其對(duì)應(yīng)的本征值為－1。 ⑤ ∴ 是的本征函數(shù)，其對(duì)應(yīng)的本征值為－1。 試求算符的本征函數(shù)。 解：的本征方程為 （的本征值）如果把坐標(biāo)原點(diǎn)取在一維無(wú)限深勢(shì)阱的中心，求阱中粒子的波函數(shù)和能級(jí)的表達(dá)式。 解： 方程（分區(qū)域）： Ⅰ： ∴ Ⅲ： ∴ Ⅱ： 令 標(biāo)準(zhǔn)條件： ∴ ∵ ∴ 取 ， 即 ∴ ∴ ∴ 粒子的波函數(shù)為 粒子的能級(jí)為 由歸一化條件，得 ∴ ∴ 粒子的歸一化波函數(shù)為 證明：處于1s、2p和3d態(tài)的氫原子中的電子，當(dāng)它處于距原子核的距離分別為的球殼處的幾率最（為第一玻爾軌道半徑）。 證： 令 ，則得 ∴為幾率最小處。 ∴為幾率最大處。 令 ，則得 ∴ 為最大幾率位置。 當(dāng) 時(shí)， ∴為幾率最小位置。 令 ，得 同理可知 為幾率最小處。 為幾率最大處。 1求一維諧振子處在第一激發(fā)