【文章內(nèi)容簡介】 次來分析條件求出未知量。設(shè)相同小球?yàn)椋跏紩r(shí)小球速度，碰撞后球的速度為，(這樣做的好處是可以減少未知量的分解，簡化表達(dá)式)。以、為系統(tǒng)研究，碰撞過程中無外力做功，系統(tǒng)動(dòng)量守恒。方向上有： ①方向上有： ②又因?yàn)榛謴?fù)系數(shù) 即=③用①③ ④用④代入②得 求在各種值下角的最大值，即為求極致的問題。我們有得即=0所以 即由因?yàn)? 故=所以 以為研究對象。當(dāng)發(fā)生正碰撞后，速度分別變?yōu)椋S即在不可伸長的繩約束下作圓周運(yùn)動(dòng)。碰撞過程中無外力做功，動(dòng)量守恒：①隨即在的約束下方向變?yōu)檠剌S的正向，速度變?yōu)楣?方向上有②故恢復(fù)系數(shù)定義有：= 即③ 聯(lián)立①②③得 解 如圖所示， 有兩質(zhì)點(diǎn)，中間有一繩豎直相連，坐標(biāo)分別為：，質(zhì)量為，開始時(shí)靜止?，F(xiàn)在有一沖量作用與，則作用后，得到速度，仍靜止不動(dòng)：。它們的質(zhì)心位于原點(diǎn)，質(zhì)心速度我為現(xiàn)在把坐標(biāo)系建在質(zhì)心上，因?yàn)橄到y(tǒng)不再受外力作用，所以質(zhì)心將以速率沿軸正向勻速正向、反向運(yùn)動(dòng)。由于質(zhì)心系是慣性系，且無外力，所以，分別以速率繞質(zhì)心作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，因而他們作的事圓滾線運(yùn)動(dòng)。經(jīng)過時(shí)間后，如圖所示：于是在系中的速度的速度：因此 解 對于質(zhì)心系的問題，我們一般要求求出相對固定參考點(diǎn)的物理量，在找出質(zhì)心的位置和質(zhì)心運(yùn)動(dòng)情況，由此去計(jì)算物體相對或絕對物理量及其間的關(guān)系。由題可知，碰前速度為，速度。碰后速度，分別設(shè)為。碰撞過程中無外力做功，動(dòng)量守恒。①有恢復(fù)系數(shù)②聯(lián)立①②得再由質(zhì)點(diǎn)組質(zhì)心的定義：為質(zhì)心對固定點(diǎn)位矢，分別為 ，對同一固定點(diǎn)的位矢所以（質(zhì)點(diǎn)組不受外力，所以質(zhì)心速度不變。）設(shè)兩球碰撞后相對質(zhì)心的速度。（負(fù)號(hào)表示與相反）同理，碰撞前兩球相對質(zhì)心的速度（負(fù)號(hào)表示方向與相反）所以開始時(shí)兩球相對質(zhì)心的動(dòng)能：== 用機(jī)械能守恒方法；在鏈條下滑過程中，只有保守力重力做功，所以鏈條的機(jī)械能守恒。以桌面所平面為重力零勢能面。有 此類題為變質(zhì)量問題，我們一般研究運(yùn)動(dòng)過程中質(zhì)量的變化與力的關(guān)系。繩索離地面還剩長時(shí)受重力則所以 求地板的壓力，有牛頓第三定律知，只需求出地板對繩索的支持力即可，它們是一對作用力與反作用力。這是我們以快要落地的一小微元作為研究對象。它的速度由變?yōu)?。用動(dòng)量守恒，有==又因?yàn)? 解 這是一道變質(zhì)量的問題，對于此類問題，（）式①來分析。以機(jī)槍后退方向作為軸爭先。豎直方向上支持力與重力是一對平衡力。水平方向上所受合外力F即為摩擦力②單位時(shí)間質(zhì)量的變化③由①②式所以 這是一個(gè)質(zhì)量增加的問題。雨滴是本題。導(dǎo)致雨滴變化的微元的速度。（）式分析①雨滴的質(zhì)量變化是一類比較特殊的變質(zhì)量問題。我們知道處理這類問題常常理想化模型的幾何形狀。對于雨滴我們?？闯汕蛐危O(shè)其半徑為，則雨滴質(zhì)量是與半徑的三次方成正比（密度看成一致不變的）。②有題目可知質(zhì)量增加率與表面積成正比。即③為常數(shù)。我們對②式兩邊求導(dǎo)④由于③=④，所以⑤對⑤式兩邊積分⑥⑦以雨滴下降方向?yàn)檎较颍瑢Β偈椒治觫? （為常數(shù)）當(dāng)時(shí)，所以 證 這是變質(zhì)量問題中的減質(zhì)量問題，()式①來分析。設(shè)空火箭質(zhì)量，燃料質(zhì)量。以向上為正方向，則火箭任一時(shí)刻的質(zhì)量②噴氣速度2074是指相對火箭的速度，即。有①式化簡 對兩邊積分 ㏑③此既火箭速度與時(shí)間的關(guān)系。當(dāng)火箭燃料全部燃盡所用時(shí)間，由題意知④代入③可得火箭最終的速度，（即速度的最大值）.考慮到其中，易知當(dāng)時(shí)，恒成立，即為的增函數(shù)。又當(dāng)時(shí)，=而要用此火箭發(fā)射人造太陽行星需要的速度至少應(yīng)為第二宇宙速度。故所攜帶燃料重量至少是空火箭重量的300倍。 要使火箭上升，必須有發(fā)動(dòng)機(jī)推力火箭的重量，即即火箭才能上升，結(jié)論得證。由于噴射速度是常數(shù)，單位時(shí)間放出的質(zhì)量質(zhì)量變化是線性規(guī)律①火箭飛行速度②又因?yàn)槿剂先紵龝r(shí)間③代入②得火箭最大速度=又因?yàn)棰谑接挚梢詫懗煞e分可得④從開始到燃燒盡這一段時(shí)間內(nèi)火箭上升高度。把③代入④得之后火箭作初速度為的豎直上拋運(yùn)動(dòng)?？蛇_(dá)高度故火箭能達(dá)到的最大高度= 假設(shè)該行星做橢圓運(yùn)動(dòng)，質(zhì)量為，周期為。某一時(shí)刻位置為，速度為，則=又因?yàn)橛谑?第三章 剛體力學(xué)第三章習(xí)題解答 。均質(zhì)棒受到碗的彈力分別為，棒自身重力為。棒與水平方向的夾角為。設(shè)棒的長度為。 由于棒處于平衡狀態(tài)，所以棒沿軸和軸的和外力為零。沿過點(diǎn)且與軸平行的合力矩為0。即： ①②③由①②③式得：④又由于即⑤將⑤代入④得： ，均質(zhì)棒分別受到光滑墻的彈力，光滑棱角的彈力，及重力。由于棒處于平衡狀態(tài)，所以沿方向的合力矩為零。即①由①②式得：所以 。棒受到重力。棒受到的重力。設(shè)均質(zhì)棒的線密度為。由題意可知，整個(gè)均質(zhì)棒沿軸方向的合力矩為零。 。軸豎直向下，相同的球、互切，、切于點(diǎn)。設(shè)球的重力大小為，半徑為，則對、三個(gè)球構(gòu)成的系統(tǒng)來說，在軸方向的合力應(yīng)為零。即：①對于球，它相對于過點(diǎn)與軸平行的軸的合力矩等于零。即： ②由式得： 。梯子受到地面和墻的彈力分別為，受地面和墻的摩擦力分別為。梯子和人的重力分別為，且。設(shè)梯長為，與地面夾角為。由于梯子處于平衡，所以①②且梯子沿過點(diǎn)平行于軸的合力矩為零。即：③又因梯子是一個(gè)剛體。當(dāng)一端滑動(dòng)時(shí)，另一端也滑動(dòng)，所以當(dāng)梯與地面的傾角達(dá)到最小時(shí)，④⑤由①②③④⑤得：所以 （a）取二原子的連線為軸，而軸與軸通過質(zhì)心。為質(zhì)心，則，軸即為中心慣量主軸。設(shè)、的坐標(biāo)為，因?yàn)闉橘|(zhì)心（）故①且 ②由①②得所以中心慣量主軸：（b），該原子由、三個(gè)原子構(gòu)成。為三個(gè)原子分子的質(zhì)心。由對稱性可知，圖中、軸即為中心慣量主軸。設(shè)、三原子的坐標(biāo)分別為，因?yàn)闉榉肿拥馁|(zhì)心。所以=①又由于②③由①②③得：故該分子的中心主轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 。沿軸平行于平切橢球得切面為一橢圓，則該橢圓方程為： 可求該切面的面積故積分同理可求 故中心主轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：又由于橢球體積故將代入得： 設(shè)表示距球心為的一薄球殼的質(zhì)量，則所以該球?qū)η蛐牡霓D(zhuǎn)動(dòng)慣量 ①在對稱球中，繞直徑轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量②又球的質(zhì)量 ③又繞直徑的回轉(zhuǎn)半徑④由①②③④得 。為正方體中心。、分別與正方體的邊平行。由對稱性可知，、軸就是正方體的中心慣量主軸。設(shè)正方體的邊長為。設(shè)為平行于軸的一小方條的體積，則正方體繞軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量根據(jù)對稱性得易求正方體的對角線與、軸的夾角都為。且故正方體繞對角線的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量①又由于②繞對角線的回轉(zhuǎn)半徑③由①②③得 。軸過點(diǎn)垂直紙面向外。均質(zhì)圓盤的密度為。設(shè)盤沿順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，則沿的方向有即①為轉(zhuǎn)盤繞軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：（為盤的質(zhì)量）， ②（為盤轉(zhuǎn)動(dòng)的角頻率，負(fù)號(hào)因?yàn)橐?guī)定順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)）=③由①②③得又因?yàn)楣仕缘?，設(shè)軸通過點(diǎn)垂直紙面指向外。則對軸有：設(shè)通風(fēng)機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度大小為，由于通風(fēng)機(jī)順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)。所以，將代入上式得： 。又由于，解得：故當(dāng)時(shí)，㏑。又由于 （為通風(fēng)機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)的角度）設(shè)，故當(dāng)㏑時(shí)，時(shí)間內(nèi)通風(fēng)機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)數(shù) ，坐標(biāo)與薄片固連，則沿軸方向有： 且①現(xiàn)取如圖陰影部分的小區(qū)域，該區(qū)域受到的阻力對軸的力矩所以②又薄片對軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 ③由①②③得：當(dāng)時(shí)， ，坐標(biāo)系的原點(diǎn)位于圓弧最頂點(diǎn)。設(shè)圓弧平衡時(shí)，質(zhì)心的坐標(biāo)為。如圖所示圓弧偏離平衡位置一小角度，則滿足微分方程為圓弧相對于軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。當(dāng)很小時(shí)，代入上式得：①圓弧上對應(yīng)轉(zhuǎn)角為的一小段圓弧的坐標(biāo)為質(zhì)心的縱坐標(biāo)上式中為圓弧的線密度 ②又③其中，將②③代入①得④解④式得通解微振動(dòng)周期 。由動(dòng)量定理及動(dòng)量矩定理得： ①②③其中又根據(jù)機(jī)械能守恒定律得：④由①②③④解得： 。由于球作無滑滾動(dòng)，球與地面的接觸的速度與地面一致，等于零，所以點(diǎn)為轉(zhuǎn)動(dòng)瞬心。以為基點(diǎn)。設(shè)球的角速度，則設(shè)輪緣上任意一點(diǎn)，與軸交角為，則故當(dāng)時(shí)，得最高點(diǎn)的速度當(dāng)和時(shí)分別得到最高點(diǎn)和最低點(diǎn)的加速度 ，由題意知該時(shí)刻瞬心一定處在的垂線中。設(shè)瞬心為。則易知的方向如圖，在中即為與邊的夾角大小。 ，點(diǎn)為極軸的原點(diǎn)，極軸過點(diǎn)，所以在桿上任意一點(diǎn)。設(shè)。設(shè)的坐標(biāo)為再來求瞬心的軌跡。由于點(diǎn)速度沿弧面，點(diǎn)的速度沿桿。現(xiàn)分別作與的垂線交于點(diǎn)，