利用軸對稱求最短距離問題(編輯修改稿)
2025-04-20 12:45 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 關(guān)于l的對稱點為E，是否存在x軸上的點M，y軸上的點N，使四邊形DNME的周長最小？若存在，請畫出圖形（保留作圖痕跡），并求出周長的最小值；若不存在，請說明理由．（3）若點P在拋物線上，點Q在x軸上，當以點D、E、P、Q為頂點的四邊形是平行四邊形時，求點P的坐標．考點：二次函數(shù)綜合題．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有分析：（1）利用根據(jù)與系數(shù)的關(guān)系得出α+β=，αβ=﹣2，進而代入求出m的值即可得出答案；（2）利用軸對稱求最短路線的方法，作點D關(guān)于y軸的對稱點D′，點E關(guān)于x軸的對稱點E′，得出四邊形DNME的周長最小為：D′E′+DE，進而利用勾股定理求出即可；（3）利用平行四邊形的判定與性質(zhì)結(jié)合P點縱坐標為177。4，進而分別求出即可．解答：解：（1）由題意可得：α，β是方程﹣mx2+4x+2m=0的兩根，由根與系數(shù)的關(guān)系可得，α+β=，αβ=﹣2，∵=﹣2，∴=﹣2，即=﹣2，解得：m=1，故拋物線解析式為：y=﹣x2+4x+2；（2）存在x軸上的點M，y軸上的點N，使得四邊形DNME的周長最小，∵y=﹣x2+4x+2=﹣（x﹣2）2+6，∴拋物線的對稱軸l為x=2，頂點D的坐標為：（2，6），又∵拋物線與y軸交點C的坐標為：（0，2），點E與點C關(guān)于l對稱，∴E點坐標為：（4，2），作點D關(guān)于y軸的對稱點D′，點E關(guān)于x軸的對稱點E′，則D′的坐標為；（﹣2，6），E′坐標為：（4，﹣2），連接D′E′，交x軸于M，交y軸于N，此時，四邊形DNME的周長最小為：D′E′+DE，如圖1所示：延長E′E，′D交于一點F，在Rt△D′E′F中，D′F=6，E′F=8，則D′E′===10，設對稱軸l與CE交于點G，在Rt△DGE中，DG=4，EG=2，∴DE===2，∴四邊形DNME的周長最小值為：10+2；（3）如圖2，P為拋物線上的點，過點P作PH⊥x軸，垂足為H，若以點D、E、P、Q為頂點的四邊形為平行四邊形，則△PHQ≌△DGE，∴PH=DG=4，∴|y|=4，∴當y=4時，﹣x2+4x+2=4，解得：x1=2+，x2=2﹣，當y=﹣4時，﹣x2+4x+2=﹣4，解得：x3=2+，x4=2﹣，故P點的坐標為；（2﹣，4），（2+，4），（2﹣，﹣4），（2+，﹣4）．點評：此題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)以及勾股定理、利用軸對稱求最短路線等知識，利用數(shù)形結(jié)合以及分類討論得出P點坐標是解題關(guān)鍵．六、延伸拓展能力提高22．（14分）（2015?日照）如圖，拋物線y=x2+mx+n與直線y=﹣x+3交于A，B兩點，交x軸與D，C兩點，連接AC，BC，已知A（0，3），C（3，0）．（Ⅰ）求拋物線的解析式和t
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