利用軸對(duì)稱求最短距離問(wèn)題-資料下載頁(yè)
2025-03-24 12:45本頁(yè)面
【正文】 5176。=90176。，∴tan∠BAC===；（Ⅱ）（1）存在點(diǎn)P，使得以A，P，Q為頂點(diǎn)的三角形與△ACB相似．過(guò)點(diǎn)P作PG⊥y軸于G，則∠PGA=90176。．設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為x，由P在y軸右側(cè)可得x＞0，則PG=x．∵PQ⊥PA，∠ACB=90176。，∴∠APQ=∠ACB=90176。．若點(diǎn)G在點(diǎn)A的下方，①如圖2①，當(dāng)∠PAQ=∠CAB時(shí)，則△PAQ∽△CAB．∵∠PGA=∠ACB=90176。，∠PAQ=∠CAB，∴△PGA∽△BCA，∴==．∴AG=3PG=3x．則P（x，3﹣3x）．把P（x，3﹣3x）代入y=x2﹣x+3，得x2﹣x+3=3﹣3x，整理得：x2+x=0解得：x1=0（舍去），x2=﹣1（舍去）．②如圖2②，當(dāng)∠PAQ=∠CBA時(shí)，則△PAQ∽△CBA．同理可得：AG=PG=x，則P（x，3﹣x），把P（x，3﹣x）代入y=x2﹣x+3，得x2﹣x+3=3﹣x，整理得：x2﹣x=0解得：x1=0（舍去），x2=，∴P（，）；若點(diǎn)G在點(diǎn)A的上方，①當(dāng)∠PAQ=∠CAB時(shí)，則△PAQ∽△CAB，同理可得：點(diǎn)P的坐標(biāo)為（11，36）．②當(dāng)∠PAQ=∠CBA時(shí)，則△PAQ∽△CBA．同理可得：點(diǎn)P的坐標(biāo)為P（，）．綜上所述：滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為（11，36）、（，）、（，）；（2）過(guò)點(diǎn)E作EN⊥y軸于N，如圖3．在Rt△ANE中，EN=AE?sin45176。=AE，即AE=EN，∴點(diǎn)M在整個(gè)運(yùn)動(dòng)中所用的時(shí)間為+=DE+EN．作點(diǎn)D關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)D′，連接D′E，則有D′E=DE，D′C=DC，∠D′CA=∠DCA=45176。，∴∠D′CD=90176。，DE+EN=D′E+EN．根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可得：當(dāng)D′、E、N三點(diǎn)共線時(shí)，DE+EN=D′E+EN最小．此時(shí)，∵∠D′CD=∠D′NO=∠NOC=90176。，∴四邊形OCD′N是矩形，∴ND′=OC=3，ON=D′C=DC．對(duì)于y=x2﹣x+3，當(dāng)y=0時(shí)，有x2﹣x+3=0，解得：x1=2，x2=3．∴D（2，0），OD=2，∴ON=DC=OC﹣OD=3﹣2=1，∴NE=AN=AO﹣ON=3﹣1=2，∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（2，1）．點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了運(yùn)用待定系數(shù)法求拋物線的解析式、求直線與拋物線的交點(diǎn)坐標(biāo)、拋物線上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、三角函數(shù)的定義、相似三角形的判定與性質(zhì)、解一元二次方程、兩點(diǎn)之間線段最短、軸對(duì)稱的性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，綜合性強(qiáng)，難度大，準(zhǔn)確分類是解決第（Ⅱ）（1）小題的關(guān)鍵，把點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間+轉(zhuǎn)化為DE+EN是解決第（Ⅱ）（2）小題的關(guān)鍵．
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