【文章內容簡介】 CM1，即可得DM=DM1，易證得∠CDN=∠MDN=60176。，則可證得△MDN≌△M1DN，然后由全等三角形的性質，即可得結論仍然成立；（3）首先在CN上截取CM1=BM，連接DM1，可證△DBM≌△DCM1，即可得DM=DM1，然后證得∠CDN=∠MDN=60176。，易證得△MDN≌△M1DN，則可得NCBM=MN．解答：解：（1）如圖1，BM、NC、MN之間的數(shù)量關系 BM+NC=MN．此時 Q L =2 3 ． （2分）．理由：∵DM=DN，∠MDN=60176。，∴△MDN是等邊三角形，∵△ABC是等邊三角形，∴∠A=60176。，∵BD=CD，∠BDC=120176。，∴∠BDC=∠DCB=30176。，∴∠MBD=∠NCD=90176。，∵DM=DN，BD=CD，∴Rt△BDM≌Rt△CDN，∴∠BDM=∠CDN=30176。，BM=CN，∴DM=2BM，DN=2CN，∴MN=2BM=2CN=BM+CN；∴AM=AN，∴△AMN是等邊三角形，∵AB=AM+BM，∴AM：AB=2：3，∴Q L =2 3 ；（2）猜想：結論仍然成立． （3分）．證明：在CN的延長線上截取CM1=BM，連接DM1．（4分）∵∠MBD=∠M1CD=90176。，BD=CD，∴△DBM≌△DCM1，∴DM=DM1，∠MBD=∠M1CD，M1C=BM，∵∠MDN=60176。，∠BDC=120176。，∴∠M1DN=∠MDN=60176。，∴△MDN≌△M1DN，∴MN=M1N=M1C+NC=BM+NC，∴△AMN的周長為：AM+MN+AN=AM+BM+CN+AN=AB+AC，∴Q L =2 3 ；（3）證明：在CN上截取CM1=BM，連接DM1．（4分）可證△DBM≌△DCM1，∴DM=DM1，（5分）可證∠CDN=∠MDN=60176。，∴△MDN≌△M1DN，∴MN=M1N，（7分）．∴NCBM=MN．（8分）．點評：此題考查了等邊三角形，直角三角形，等腰三角形的性質以及全等三角形的判定與性質等知識．此題綜合性很強，難度較大，解題的關鍵是注意數(shù)形結合思想的應用與輔助線的作法． 例8．（2005年馬尾）用兩個全等的等邊三角形△ABC和△176。角的三角尺與這個菱形疊合，使三角尺的60176。角的頂點與點A重合，兩邊分別與AB，.（1）當三角尺的兩邊分別與菱形的兩邊BC，CD相交于點E，F(xiàn)時，（如圖13—1），通過觀察或測量BE，CF的長度，你能得出什么結論？并證明你的結論；（2）當三角尺的兩邊分別與菱形的兩邊BC，CD的延長線相交于點E，F(xiàn)時（如圖13—2），你在（1）中得到的結論還成立嗎？簡要說明理由.考點：菱形的性質；三角形的面積；全等三角形的判定與性質；旋轉的性質．分析：（1）利用全等三角形的判定得出△ABE≌△ACF即可得出答案；（2）根據已知可以得出∠BAE=∠CAF，進而求出△ABE≌△ACF即可；（3）利用四邊形AECF的面積S=S△AEC+S△ACF=S△AEC+S△ABE=S△ABC求出即可．解答：解：（1）得出結論是：BE=CF，證明：∵∠BAC=∠EAF=60176。，∴∠BAC∠EAC=∠EAF∠EAC，即：∠BAE=∠CAF，又∵AB=AC，∠ABE=∠ACF=60176。，∴ ∠BAE=∠CAF AB=AC ∠ABE=∠ACF ，∴△ABE≌△ACF（ASA），∴BE=CF，
（2）還成立，證明：∵∠BAC=∠EAF=60176。，∴∠BAC+∠EAC=∠EAF+∠EAC，即∠BAE=∠CAF，又∵AB=AC，∠ABE=∠ACF=60176。，即 ∠BAE=∠CAF AB=AC ∠ABE=∠ACF ，∴△ABE≌△ACF（ASA），∴BE=CF，（3）證明：∵△ABE≌△ACF，∴S△ABE=S△ACF，∴四邊形AECF的面積S=S△AEC+S△ACF=S△AEC+S△ABE=S△ABC；而S△ABC=1 2 S菱形ABCD，∴S=1 2 S菱形ABCD．點評：此題主要考查了全等三角形的判定以及四邊形面積，熟練利用全等三角形判定求出是解題關鍵．解：（1）BE=CF. 證明：在△ABE和△ACF中， ∵∠BAE+∠EAC=∠CAF+∠EAC=60176。， ∴∠BAE=∠CAF.∵AB=AC，∠B=∠ACF=60176。，∴△ABE≌△ACF（ASA）. ∴BE=CF. （2）BE=CF仍然成立. 根據三角形全等的判定公理，同樣可以證明△ABE和△ACF旋轉型FEDCABGH如圖，正方形ABCD的邊長為1，G為CD邊上一動點（點G與C、D不重合）， 以CG為一邊向正方形ABCD外作正方形GCEF，連接DE交BG的延長線于H。求證：① △BCG≌△DCE② BH⊥DE考點：正方形的性質；全等三角形的判定與性質；線段垂直平分線的性質．專題：動點型．分析：（1）根據正方形的邊的性質和直角可通過SAS判定△BCG≌△DCE，從而利用全等的性質得到∠BGC=∠DEC；（2）連接BD，解題關鍵是利用垂直平分線的性質得出BD=BE，從而找到BD= 2，CE=BEBC= 2 1，根據全等三角形的性質求解即可．解答：解：（1）證明：∵四邊形ABCD、GCEF都是正方形，∴BC=DC，∠BCG=∠DCE=90176。，GC=EC∴△BCG≌△DCE（3分）∴∠BGC=∠DEC（4分）（2）連接BD如果BH垂直平分DE，則有BD=BE（6分）∵BC=CD=1，∴BD= 2 （8分）∴CE=BEBC= 2 1（9分）∴CG=CE= 2 1即當CG= 2 1時，BH垂直平分DE．（10分）點評：此題主要考查正方形的性質，全等三角形的判定和線段的垂直平分線的性質等幾何知識．線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等．特殊圖形的特殊性質要熟練掌握．兩個大小不同的等腰直角三角形三角板如圖1所示放置，圖2是由它抽象出的幾何圖形，B，C，E在同一條直線上，連結DC．（1）請找出圖2中的全等三角形，并給予證明（說明：結論中不得含有未標識的字母）；（2）證明：DC⊥BE．考點：全等三角形的判定與性質；等腰直角三角形．專題：證明題．圖1圖2DCEAB分析：（1）此題根據△ABC與△AED均為等腰直角三角