三角函數(shù)的圖像與性質練習題(編輯修改稿)
2025-04-20 05:42 本頁面
【文章內容簡介】 ω= .解析:由題意知函數(shù)f(x)在x=π3處取得最大值,∴ωπ3=2kπ+π2,ω=6k+32,k∈Z.又0ω2,∴ω=32.答案:32(x)=sin2ωx+π4(x∈R,ω0)的最小正周期為π.(1)求f(x)在0,π2上的值域,并求出取最小值時的x值。(2)求f(x)的單調遞增區(qū)間.解:由已知得2π2ω=π,ω=1,∴f(x)=sin2x+π4.(1)當x∈0,π2時,π4≤2x+π4≤5π4.∴22≤sin2x+π4≤1.∴f(x)值域為22,1.當2x+π4=5π4時,f(x)取最小值22,∴x=π2時,f(x)取最小值.(2)令2kππ2≤2x+π4≤2kπ+π2(k∈Z),得kπ3π8≤x≤kπ+π8(k∈Z).∴f(x)的遞增區(qū)間為kπ3π8,kπ+π8(k∈Z).(x)=2asin2x+π6+a+b的定義域是0,π2,值域是[5,1],求a,b的值.解:∵0≤x≤π2,∴π6≤2x+π6≤7π6.∴12≤sin2x+π6≤1.∴a0時,b=5,3a+b=1,解得a=2,b=5.a0時,b=1,3a+b=5,解得a=2,b=1.因此a=2,b=5或a=2,b=1.B組αβπ4,a=2sinα+π4,b=2sinβ+π4,則( )b b1 2解析:∵0αβπ4,∴π4α+π4β+π4π2.而正弦函數(shù)y=sin x在x∈0,π2上是增函數(shù),∴sinα+π4sinβ+π4.∴2sinα+π42sinβ+π4,即ab.答案:A,且a1,0≤x≤2π,則函數(shù)y=sin2x+2asin x的最大值為( )+1 解析:令sin x=t,則1≤t≤1,原函數(shù)變形為y=t2+2at=(t+a)2a2.∵a1,∴當t=1時,ymax=12+2a1=2a+1,故選A.答案:A=cosπ42x的單調遞增區(qū)間是( )+π8,kπ+5π8,k∈Z,kπ+π8,k∈Z+π8,2kπ+5π8,k∈Z,2kπ+π8,k∈Z解析:函數(shù)y=cosπ42x=cos2xπ4,令2kππ≤2xπ4≤2kπ,k∈Z,得kπ3π8≤x≤kπ+π8,k∈Z,故單調遞增區(qū)間為kπ3π8,kπ+π8,k∈Z.答案:B=2sinπ3xcosπ6+x(x∈R)的最小值為 .解析:∵π3x+π6+x=π2,∴y=2sinπ2π6+xcosx+π6=2cosx+π6cosx+π6=cosx+π6.∴ymin=1.答案:1(x)=sin ωx(ω0)在區(qū)間π3,π6上單調遞增,則當ω取最大值時,函數(shù)f(x)=sin ωx的周期是 .解析:令2kππ2≤ωx≤2kπ+π2可得2kπωπ2ω≤x≤2kπω+π2ω,∴k=0時,f(x)在π2ω,π2ω上遞增.又∵f(x)在π3,π6上遞增,∴π2ω≤π3,π2ω≥π6,ω0,解得0ω≤32.∴ω的最大值為32.∴周期T=2πω=4π3.答案:4π3(x)=sinx,sinx≤cosx,cosx,sinxcosx,給出下列四個命題:①該函數(shù)是以π為最小正周期的周期函數(shù)。②當且僅當x=π+kπ(k∈Z)時,該函數(shù)取得最小值1。③該函數(shù)的圖象關于直線x=5π4+2kπ(k∈Z)對稱。④當且僅當2kπxπ2+2kπ(k∈Z)時,0f(x)≤22.其中正確命題的序號是 .解析:畫出f(x)在一個周期[0,2π]上的圖象.由圖象知,函數(shù)f(x)的最小正周期為2π,在x=π+2kπ(k∈Z)和x=3π2+2kπ(k∈Z)時,該函數(shù)都取得最小值,為1,故①②錯誤.由圖象知,函數(shù)圖象關于直線x=5π4+2kπ(k∈Z)對稱,在2kπxπ2+2kπ(k∈Z)時,0f(x)≤22,故③④正確.答案:③④=sinπ32x.(1)求函數(shù)的周期。(2)求函數(shù)在[π,0]上的單調遞減區(qū)間.解:y=sinπ32x可化為y=sin2xπ3.(1)周期T=2πω=2π2=π.(2)令2kππ2≤2xπ3≤2kπ+π2,k∈Z,得kππ12≤x≤kπ+5π12,k∈Z,所以x∈R時,y=sinπ32x的單調遞減區(qū)間為kππ12,kπ+5π12,k∈Z.從而x∈[π,0]時,y=sinπ32x的單調遞減區(qū)間為π,7π12,π12,0.(x)=sin(ωx+φ) 其中ω0,|φ|π2 ,若函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸的任意兩個相鄰交點間的距離為π2,且直線x=π6是函數(shù)y=f(x)圖象的一條對稱軸.(1)求ω的值。(2)求y=f(x)的單調遞增區(qū)間。(3)若x∈π6,π3,求y=f(x)的值域.解:(1)因為函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸的任意兩個相鄰交點間的距離為π2,所以函數(shù)的周期T=π,所以ω=2ππ=2.(2)因為直線x=π6是函數(shù)y=f(x)圖象的一條對稱軸,所以2π6+φ=kπ+π2,k∈Z,φ=kπ+π6,k∈Z.又|φ|π2,所以φ=π6.所以函數(shù)的解析式是y=sin2x+π6.令2x+π6∈π2+2kπ,π2+2kπ,k∈Z,解得x∈kππ3,kπ+π6,k∈Z.所以函數(shù)的單調遞增區(qū)間為kππ3,kπ+π6,k∈Z.(3)因為x∈π6,π3,所以2x+π6∈π6,5π6.所以sin2x+π6∈12,1,即函數(shù)的值域為12,1. 正切函數(shù)的性質與圖象A組∈π2,π2時,函數(shù)y=tan |x|的圖象( ) 解析:∵x∈π2,π2,f(x)=tan |x|=tan |x|=f(x),∴f(x)為偶函數(shù),即y=tan |x|的圖象關于y軸對稱.答案:B2.(2016河北衡水二中月考)函數(shù)f(x)=tanπ4x的單調遞減區(qū)間為( ),kπ+π4,k∈Z,kπ+3π4,k∈Z,kπ+π2,k∈ZD.(kπ,(k+1)π),k∈Z解析:因為f(x)=tanπ4x=tanxπ4,所以原函數(shù)的單調遞減區(qū)間就是函數(shù)y=tanxπ4的單調遞增區(qū)間.故kππ2≤xπ4≤kπ+π2,k∈Z,kππ4≤x≤kπ+3π4,k∈,kπ+3π4,k∈Z.答案:B(x)=tan ax(a0)的圖象的相鄰兩支截直線y=π3所得線段長為2,則a的值為( ) 解析:由已知得f(x)的周期為2,∴πa=2.∴a=π2.答案:A(x)=tanx2cosx的奇偶性是( )解析:f(x)的定義域為xx≠kπ+π2,k∈Z,∴f(x)=tan(x)2cos(x)=tanx2cosx=f(x).∴f(x)是奇函數(shù).答案:A①y=|tan x|。②y=tan x。③y=tan(x)。④y=tan |x|在x∈3π2,3π2內的大致圖象,那么由a到d對應的函數(shù)關系式應是( )A.①②③④ B.①③④②C.③②④① D.①②④③解析:y=tan(x)=tan x在π2,π2上是減函數(shù),只有圖象d符合,即d對應③.答案:D=3tanωx+π6的最小正周期是π2,則ω= .解析:由題意知,T=π|ω|=π2,∴ω=177。2.答案:177。2=3tanx+π3的對稱中心的坐標是 .解析:由x+π3=kπ2,k∈Z,得x=kπ2π3,k∈Z,即對稱中心坐標是kπ2π3,0(k∈Z).答案:kπ2π3,0(k∈Z)+π3≥3的x的集合是 .解析:把x+π3看作一個整體,利用正切函數(shù)的圖象可得kππ3≤x+π3kπ+π2,k∈Z,解得
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