【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 ]∨([b]∧[c])= ([a]∨[b])∧([a]∨[c])。所以，（L/f，∧，∨）是一個(gè)分配格。（3）往證（L/f，∧，∨，[0]，[1]）是一個(gè)有余格。因?yàn)?，?duì)任意的[a]∈L/f，有[a]∨[0]=[a∨10]=[a]，[a]∧[1]=[a∧11]= [a]，所以，[0]和[1]分別是L/f的最小元和最大元。又，對(duì)任意的[a]，[b]∈L/f，若[a]=[b]，則f(a)=f(b)。于是， f(a’)===f(b’)，故有[a’]=[b’]，即[a]=[b]。這說(shuō)明運(yùn)算與等價(jià)類[a]的代表a的選取無(wú)關(guān)，從而確定是L/f上的一元運(yùn)算。對(duì)于任意的[a]∈L/f，有[a]∨([a])=[a]∨[a’]=[a∨1a’]=[1]，[a]∧([a])=[a]∧[a’]=[a∧1a’]=[0]，故，[a]是[a]的余元素，是L/f上的余運(yùn)算。綜上，（L/f，∧，∨，[0]，[1]）是一個(gè)布爾代數(shù)。（4）往證（f(L)，∧2，∨2，ˉ，β）是（S，∧2，∨2，ˉ，β）的子代數(shù)。任取a∈L，因?yàn)閒是同態(tài)映射，必有f(1)=f(a∨1a’)=f(a)∨2f(a’)=β，f(0)=f(a∧1a’)=f(a)∧2f(a’)=，因此，β∈f(L)。又任取x,y∈f(L)，則存在a,b∈L，使得x=f(a),y=f(b)。于是x∨2y= f(a)∨2f(b)=f(a∨1b)∈f(L)，x∧2y= f(a)∧2f(b)=f(a∧1b)∈f(L)，==f(a’)∈f(L)，因此，f(L)關(guān)于運(yùn)算∧2，∨2和ˉ都是封閉的。故（f(L)，∧2，∨2，ˉ，β）是（S，∧2，∨2，ˉ，β）的子代數(shù)。（5）定義g：[a]→f(a)，[a]∈L/f，g是L/f到f(L)的11映射，且對(duì)任意的[a]，[b]∈L/f，有g(shù)([a]∧[b])=g([a])∧2g([b])，g([a]∨[b])=g([a])∨2g([b])，又，g([a])=g([a’])=f(a’)= =，故，g是布爾代數(shù)（L/f，∧，∨，[0]，[1]）到（f(L)，∧2，∨2，ˉ，β）的同構(gòu)映射，從而，L/f同構(gòu)于f(L)。 設(shè)f是布爾代數(shù)（L，∧1，∨1，’，0，1）到（S，∧2，∨2，ˉ，β）的同態(tài)映射。L/f及L/f上的運(yùn)算∧，∨，令g：a→[a]，a∈L，證明：g是布爾代數(shù)L到L/f的滿同態(tài)映射，這個(gè)g稱為L(zhǎng)到L/f的自然同態(tài)。證明：（L/f，∧，∨，[0]，[1]）是一個(gè)布爾代數(shù)。由g定義，顯然g是L到L/f的滿射。任取a，b∈L，有 g(a∧1b)=[a∧1b]=[a]∧[b]=g(a)∧g(b)，g(a∨1b)=[a∨1b]=[a]∨[b]=g(a)∨g(b)，g(a’)=[a’]=[a]=g(a)。因此，g是布爾代數(shù)L到L/f的滿同態(tài)映射。 設(shè)f是布爾代數(shù)（L，∧1，∨1，’，0，1）到（S，∧2，∨2，ˉ，β）的滿同態(tài)映射。L/f及L/f上的運(yùn)算∧，∨，g為L(zhǎng)到L/f的自然同態(tài)()。證明：存在唯一的L/f到S的同構(gòu)映射h，使得f=hg。證明：往證存在性。令h：[a]→f(a)，[a]∈L/f，知，h是布爾代數(shù)（L/f，∧，∨，[0]，[1]）到（f(L)，∧2，∨2，ˉ，β）的同構(gòu)映射，又由f是布爾代數(shù)（L，∧1，∨1，’，0，1）到（S，∧2，∨2，ˉ，β）的滿同態(tài)映射，知，f(L)=S。因此，h是布爾代數(shù)（L/f，∧，∨，[0]，[1]）到（S，∧2，∨2，ˉ，β）的同構(gòu)映射。對(duì)于任意a∈L，有（hg）（a）=h(g(a))=h([a])=f(a)，因此，f=hg。往證唯一性。假設(shè)h’也是L/f到S的同構(gòu)映射，且使得f=h’g。那么，對(duì)于任意的[a]∈L/f，有h’([a])=h’(g(a))=(h’g)(a)=f(a)=h([a])，可見(jiàn)，h’=h。因此，使得f=hg的L/f到S的同構(gòu)映射h是唯一的。 此例中還用到了映射乘積的概念。167。 第八章習(xí)題解答 1. 設(shè)S是所有命題做成的集合，說(shuō)明S在什么運(yùn)算下做成代數(shù)格？在什么部分序下做成半序格。解：S在合取運(yùn)算(217。)和析取運(yùn)算(218。)下做成代數(shù)格。不難驗(yàn)證這兩種運(yùn)算有交換律、結(jié)合律、吸收律。S在蘊(yùn)涵(222。)這個(gè)部分序下做成半序格。A222。B219。A217。B=A且A218。B=B.2. 設(shè)(L，*，⊕)是一個(gè)格，a,b206。L。令S={x|(x206。L)217。(a163。x163。b)}其中163。是與(L,*, ⊕)等價(jià)的半序格中的部分序。證明：(S, *，⊕)是L的子格。設(shè)c，d206。S,則c,d206。L，且a163。c,d163。b所以 a163。c*d 而顯然有c*d163。bc⊕d163。b a163。c⊕d故S對(duì)*，⊕運(yùn)算封閉即(S，*，⊕)是L的子格。3. 設(shè)D是集合S上的整除關(guān)系。以下部分序集是否為格：(1) S = {1，2，3，4，6，12}(2) S = {1，2，3，4，6，8，10，12}(3) S = {1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}(4) S = {2，3，6，12，24，36} 解：（1）和（4）是格。 1. 設(shè)(L，163。)是格，若a,b,c206。L,a163。b163。c，則a⊕b=b*c(a*b)⊕(b*c)=(a⊕b)*(a⊕c)證明：因a163。b163。c故a⊕b=b=b*c a*b=a,b*c=b,a⊕b=b,a⊕c=c故(a*b)⊕(b*c)=(a⊕b)=b (a⊕b)*(a⊕c)=b*c=b即(a*b)⊕(b⊕*c)=(a⊕b)*(a⊕c).2. 設(shè)(L,163。)是格，若a 163。b,c163。d,a,b,c,d206。L,則a*c163。b*d a⊕c163。b⊕d證明：(a*c)*(b*d)=a*c*b*d=(a*b)*(c*d)=(a*c)故a*c163。b*d,(a⊕c)⊕(b⊕d)=a⊕c⊕b⊕d=(a⊕b)⊕(c⊕d)=b⊕d,故a⊕c163。b⊕d.3. 設(shè)(L，163。)是一個(gè)格。證明：(a*b) ⊕(c*d)163。(a⊕c)*(b⊕d)。(a*b) ⊕(b+c)⊕(c*a)163。(a⊕b)*(b⊕c)*(c⊕a)證明：(a*b) ⊕(c*d)163。[(a*b) ⊕(c)]*[(a*b) ⊕d]]163。(a⊕c)*(b⊕c) ⊕(a⊕d)*(b⊕d)163。[(a⊕c)*(a⊕d)]*[(b⊕d)*(b⊕c)]163。(a⊕c)*(b⊕d)(a*b) ⊕(b*c)⊕(c*a)163。[((a*b) ⊕((a*b)⊕c))⊕(c*a)=[b*((a*b) ⊕c)]⊕(c*a)163。[(b*((a*b) ⊕c))⊕c]*[(b*(a*b)⊕c)⊕a]163。[(b⊕c)*((a*b)⊕c)⊕c])]*(b⊕a)*[((a*b)⊕c)⊕a]=[(b⊕c)*(a⊕((a*b⊕c)))*(a⊕b)*[(a*b)⊕c]163。(b⊕c)*(a⊕b)*(a⊕c)*(b⊕c)=(a⊕b)*(b⊕c)*(c⊕a)4. 若(L，163。)是有限格，則L中必有最大最小元素。證明：L有限，可設(shè)L={a1,a2,…,an}與其等價(jià)的代數(shù)格記為(L，*，⊕),則a=a1*a2*…*anL b=a1⊕a2⊕…⊕anL不難看出，對(duì)任ai206。L，有a163。ai163。b，即L中最大最小元素分別為a,b。5. 舉例說(shuō)明，對(duì)于兩個(gè)格L和S，g是L到S的保序映射，但g不是同態(tài)映射。解：設(shè)S={a,b,c,d,e}，易見(jiàn)S是格，令S162。={P(S)，163。},則S162。也是格，令g:x174。g(x)={y|y206。S,y163。x},g(a)=S,g(b)={b,e},g(c)={c,e},g(d)={d,e},g(e)=e.當(dāng)x163。y時(shí)，顯然有g(shù)(x)163。g(y),即g是格S到S162。的保序映射。但在S中，b⊕c=a,而g(b)⊕162。g(c)={b,c,e} g(b⊕c)=g(a)=(b⊕c)185。g(b)⊕162。g(c)，即g不是同態(tài)映射。ceabd 6. 令S={所有正偶數(shù)集合}。證明：(I+，D)與(S，D)同構(gòu)。 證明：對(duì)任意n206。I+，規(guī)定I+到S的映射：g:n174。2n顯然此映射是一對(duì)一的。與這兩個(gè)格等價(jià)的代數(shù)格的*，⊕運(yùn)算都是求最大公因和最小公倍。對(duì)任n1,n2206。I+,n1*n2為其最大公因，,2n2206。S,2n1*2n2為2n1和2n2的最大公因。為2d 。故g(n1*n2)=g(d)=2d=2n1*2n2=g(n1)*g(n2).同理可證g(n1⊕n2)=g(n1)⊕g(n2)即g是同態(tài)映射，故(I+，D)和(S，D)同構(gòu)。7. 證明：4個(gè)元素的格(L，*，⊕)必同構(gòu)于格(I4，163。)或者格(S6，D)。證明：設(shè)4個(gè)元素的格L={a1,a2,a3,a4}，L有限，故必有最大，最小元素，不妨設(shè)為a4,a1,則a1163。a2,a3163。a4。其中，a2,a3有兩種可能：(1)a2163。a3(a2,a3有關(guān)系163。，不妨設(shè)為如此)則成為鏈，因此與(I4，163。)同構(gòu)。(2)a2,a3沒(méi)有163。關(guān)系，則此格與(S6，D)同構(gòu).8. 證明：格(E，163。)和格(O，163。)同枸。其中，E是正偶數(shù)集。O是正奇數(shù)集。163。是數(shù)的小于等于關(guān)系，給出的同構(gòu)映射是否格(E，D)和格(O，D)之間的同構(gòu)映射？其中D是整除關(guān)系。證明：規(guī)定(E，163。)到(O，163。)上的映射g:m174。m1，m206。E。這顯然是一對(duì)一的。與這兩格等價(jià)的代數(shù)格的*，197。運(yùn)算即求兩個(gè)數(shù)中最大，最小者的運(yùn)算。對(duì)任m1,m2206。E，不妨設(shè)m1163。m2有 g(m1*m2)=g(m1)m11=g(m11)*(m21)=g(m1)*g(m2)g(m1197。m2)=g(m2)=m21=(m11) 197。(m21)=g(m1) 197。g(m2)因此格(E，163。)和格(O，163。)同構(gòu)。此映射不是關(guān)于(E，D)和(O，D)的同構(gòu)映射。例：在該映射中6174。5，3174。4，而與(E，D)和(O，D)等價(jià)的代數(shù)格中的乘加運(yùn)算分別是求最大公因和最小公倍的運(yùn)算。若記兩格中的乘運(yùn)算分別為*1