【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 T K? ? ?5 6 7 6A T B T A T K? ? ?39。5 6 6 7 6A T B T K A T K? ? ? ?由于 T7已知 第二章 計(jì)算區(qū)域及控制方程的離散 46 顯式方法和隱式方法 上面 5個(gè)方程，有 5個(gè)未知數(shù)，寫成矩陣形式： 39。2 23 34 45 539。6 6000000000000TBA KTA B A KTA B A KTA B A KTAB T? ? ?????????????????????? ??????? ????????????? ?? ??這是一個(gè)三對(duì)角矩陣，可以追趕法求解。 第二章 計(jì)算區(qū)域及控制方程的離散 47 顯式方法和隱式方法 根據(jù)上面的例子可以看出，隱式方法比顯示方法復(fù)雜的多。 現(xiàn)在考慮非線性方程，比如： 22()TTTtx????熱傳導(dǎo)系數(shù)是溫度的函數(shù)。 以上方程對(duì)顯式法幾乎沒有影響，此時(shí)的差分方程為： 1112( ) ( 2 )()n n n n n ni i i i i itT T T T T Tx?????? ? ? ??此時(shí)方程仍然是線性的。因?yàn)橹挥幸粋€(gè)未知數(shù) 1niT ?第二章 計(jì)算區(qū)域及控制方程的離散 48 顯式方法和隱式方法 但是，如果對(duì)上式采用克蘭克－尼科爾森公式 11( ) [ ( ) ( ) ]2nniiT T T? ? ????相應(yīng)的差分方程仍然可以寫成式（ 18）的形式，顯然，新得到的差分方程含有未知函數(shù) T的乘積。變成了非線性方程組的求解。 這項(xiàng)工作極為困難！?。? 這是隱式法一個(gè)很大的缺點(diǎn)。通常要采用“線性化”處理。 第二章 計(jì)算區(qū)域及控制方程的離散 49 顯式方法和隱式方法 顯式方法和隱式方法區(qū)別： 顯式方法： 取定 Δx， 那 Δt就不是獨(dú)立的，不能任意取值，它受到穩(wěn)定性條件的限制 而隱式方法： 比顯式方法大的多的 Δt仍然能保持穩(wěn)定性，甚至有些隱式方法是無(wú)條件穩(wěn)定的 第二章 計(jì)算區(qū)域及控制方程的離散 50 顯式方法和隱式方法 CFD領(lǐng)域，時(shí)間推進(jìn)的方法一般用于下面兩類計(jì)算： 由給定的初始條件得到流場(chǎng)的定常解 時(shí)間推進(jìn)并不要求是時(shí)間精確的，只要得到正常的流場(chǎng)。 對(duì)真正的非定常流，求其時(shí)間精確解 時(shí)間推進(jìn)法的時(shí)間精度是絕對(duì)必要的。 也就是說：在某些情況下，顯式方法是最合理的，而在某些情況下，隱式方法才是正確的選則。 第二章 計(jì)算區(qū)域及控制方程的離散 51 第二章 計(jì)算區(qū)域及控制方程的離散 一維模型方程 由 Taylor 展開法導(dǎo)出導(dǎo)數(shù)的差分表示式 由多項(xiàng)式擬合法導(dǎo)出導(dǎo)數(shù)的差分表示式 ： 建立離散方程的 Taylor展開法及多項(xiàng)式擬合法 52 第二章 計(jì)算區(qū)域及控制方程的離散 一維模型方程 (1Dmodel equation） 一維模型方程是一維非穩(wěn)態(tài)有源項(xiàng)的對(duì)流 擴(kuò)散方程 ， 具有四個(gè)特征項(xiàng) ， 便于離散方法的研討 。 ： 建立離散方程的 Taylor展開法及多項(xiàng)式擬合法 53 第二章 計(jì)算區(qū)域及控制方程的離散 由 Taylor 展開法導(dǎo)出導(dǎo)數(shù)的差分表示式 1. 一階導(dǎo)數(shù)的差分表達(dá)式 將函數(shù) 在 的值 對(duì) （ i,n)點(diǎn)做 Taylor展開： ( , )xt? ( 1, )in?22 2, 2( 1 , ) ( , ) ) ) 2!i n i nxi n i n x xxx???? ? ? ?? ? ? ? ? ? ???2, 2( 1 , ) ( , )) ( )2i n i ni n i n xx x x? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ： 建立離散方程的 Taylor展開法及多項(xiàng)式擬合法 54 第二章 計(jì)算區(qū)域及控制方程的離散 ： 建立離散方程的 Taylor展開法及多項(xiàng)式擬合法 ,( 1 , ) ( , )) ( )ini n i n Oxxx? ? ?? ? ?? ? ???()Ox? 稱為截?cái)嗾`差 ， truncation error， 表示： 隨 Δx 的趨于零 ， 用 代替 的誤差 ≤ KΔx ， K 與 Δx 無(wú)關(guān) 。 ( 1 , ) ( , )i n i nx????? ,)inx???Δ x 的方次稱為截差的階數(shù) （ order of TE) 用數(shù)值計(jì)算的近似解 代替精確解 ni? ( , )in?得向前差分： 1,) , ( )nniiin Oxxx??? ? ?? ????55 第二章 計(jì)算區(qū)域及控制方程的離散 ： 建立離散方程的 Taylor展開法及多項(xiàng)式擬合法 向后差分： 1,) , ( )nniiin Oxxx??? ??? ????中心差分： 11,2) , ( )2nniiin Oxxx??? ???? ????2. 一 、 二階導(dǎo)數(shù)的各種差分表達(dá)式 。 表達(dá)差分結(jié)構(gòu)的格式圖案 （ stencil) ○ 構(gòu)筑差分表達(dá)式的位置； ● 構(gòu)筑差分表達(dá)式所用到的節(jié)點(diǎn) 。 56 第二章 計(jì)算區(qū)域及控制方程的離散 ： 建立離散方程的 Taylor展開法及多項(xiàng)式擬合法 57 第二章 計(jì)算區(qū)域及控制方程的離散 ： 建立離散方程的 Taylor展開法及多項(xiàng)式擬合法 定性判別導(dǎo)數(shù)的差分表達(dá)式正確與否的方法： (1) 量綱是否正確－與導(dǎo)數(shù)本身一致； (2) 均勻場(chǎng)的各階導(dǎo)數(shù)應(yīng)為零 。 58 第二章 計(jì)算區(qū)域及控制方程的離散 ： 建立離散方程的 Taylor展開法及多項(xiàng)式擬合法 一維模型方程的有限差分離散表示式 1. 非穩(wěn)態(tài)問題空間導(dǎo)數(shù)差分的計(jì)算時(shí)層 59 第二章 計(jì)算區(qū)域及控制方程的離散 ： 建立離散方程的 Taylor展開法及多項(xiàng)式擬合法 2. 一維模型方程的顯式格式 精確形式 2( , 1 ) ( , ) ( 1 , ) ( 1 , )2( 1 , ) 2 ( , ) ( 1 , )( , )i n i n i n i nutxi n i n i nS i n H O Tx? ? ? ???? ? ?? ? ? ? ?????? ? ? ?? ? ??差分表達(dá)式 11111222(2, ,)n n n ni i i in n nni i iiuSxxtxOt? ? ? ???? ? ???????????????????差分方程 截?cái)嗾`差 更高階導(dǎo) 數(shù)項(xiàng)之和 60 第二章 計(jì)算區(qū)域及控制方程的離散 ： 建立離散方程的 Taylor展開法及多項(xiàng)式擬合法 由多項(xiàng)式擬合法導(dǎo)出導(dǎo)數(shù)的差分表示式 對(duì)函數(shù)的局部變化型線作出假設(shè) ， 導(dǎo)出差分表達(dá)式 1. 設(shè)局部型線為線性函數(shù)－可導(dǎo)出一階截差表達(dá)式 0( , )x x t a b x? ? ? ? ?原點(diǎn)設(shè)在 處 ， 則 0x1, nniia a b x?? ?? ? ? ?11n n ni i iabx x x? ? ?? ????? ? ? ?? ? ?61 第二章 計(jì)算區(qū)域及控制方程的離散 ： 建立離散方程的 Taylor展開法及多項(xiàng)式擬合法 2. 設(shè)局部型線為二次函數(shù)－可導(dǎo)出二階截差表達(dá)式 20( , )x x t a bx c x? ? ? ? ? ?原點(diǎn)設(shè)在 處 ， 則 0x2211, , n n ni i ia a b x c x a b x c x? ? ???? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1 1 1 12 2,22n n n n ni i i i ibcxx? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ?????112nniibxx??? ???? ????2112222 n n ni i icxx? ? ?? ????? ????62 第二章 計(jì)算區(qū)域及控制方程的離散 ： 建立離散方程的 Taylor展開法及多項(xiàng)式擬合法 23( , ) , ( )T x y a b y c y O y? ? ? ?已知溫度 :Ti,1 Ti,2 Ti,3 ,1 , 2 , 3342i i iT T Tby? ? ???導(dǎo)出 y向具有二階截差的邊界熱流表達(dá)式 。 設(shè) y＝ 0處溫度呈二次曲線 22, 1 , 2 ,3, , 2 4i i iT a T a b y c y T a b y c y? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?由此得： 解出： 2, 1 , 2 , 30( 3 4 ) , ( )2b i i iyTq b T T T O yyy?????? ? ? ? ? ? ? ???63 第二章 計(jì)算區(qū)域及控制方程的離散 ： 建立離散方程的控制容積法 控制容積積分法簡(jiǎn)介 控制容器積分法步驟 一維模型方程的控制容積積分法離散 控制容積積分法與有限差分法區(qū)別 控制容積積分法與有限差分法進(jìn)一步說明 變物性問題 控制容積法 控制離散化方程 4個(gè)基本原則 64 第二章 計(jì)算區(qū)域及控制方程的離散 ?外節(jié)點(diǎn)法或節(jié)點(diǎn) 控制容積法 ?網(wǎng)格線的 交點(diǎn) 作為 節(jié)點(diǎn) ?節(jié)點(diǎn)所代表的 求解區(qū)域 （ 控制容積 ） ?由兩節(jié)點(diǎn)間 中心 位置的 對(duì)稱界面 圍成的區(qū)域。 ?例子：二維矩形區(qū)域 控制容積積分法簡(jiǎn)介 求解區(qū)域的離散化 方法 1 65 第二章 計(jì)算區(qū)域及控制方程的離散 66 第二章 計(jì)算區(qū)域及控制方程的離散 求解區(qū)域的離散化 ? 節(jié)（結(jié)）點(diǎn)： 網(wǎng)格線的交點(diǎn) ? 控制容積 （節(jié)點(diǎn)所代表的求解區(qū)域）：兩節(jié)點(diǎn)中間界面所圍成的區(qū)域。 ? 節(jié)點(diǎn)的分類 ： ? 相鄰接點(diǎn) ：坐標(biāo)軸方向上相差一個(gè)步長(zhǎng)的節(jié)點(diǎn) ? 內(nèi)部節(jié)點(diǎn) ：所有相鄰節(jié)點(diǎn)都屬于求解區(qū)域的節(jié)點(diǎn) ? 邊界節(jié)點(diǎn) ：至少有一個(gè)相鄰節(jié)點(diǎn)不屬于求解區(qū)域 ? 節(jié)點(diǎn)的命名 ? 研究對(duì)象點(diǎn)： P（ i,j) ? 相鄰節(jié)點(diǎn)：按方位關(guān)系或位置坐標(biāo) 控制容積積分法簡(jiǎn)介 67 第二章 計(jì)算區(qū)域及控制方程的離散 P(i,j) N(i,j+1) S(i,j1) W(i1,j) E(i+1,j) 內(nèi)部結(jié)點(diǎn) Internal node 內(nèi)部結(jié)點(diǎn) Internal node 邊界節(jié)點(diǎn) Boundary node 邊界節(jié)點(diǎn) Boundary node 68 第二章 計(jì)算區(qū)域及控制方程的離散 控制容積積分法簡(jiǎn)介 求解區(qū)域的離散化 ? 確定區(qū)域離散化的要素 ? 節(jié)點(diǎn)位置坐標(biāo) ? 控制界面位置 ? 節(jié)點(diǎn)間距 ? 控制容積的大小 69 第二章 計(jì)算區(qū)域及控制方程的離散 控制容積積分法簡(jiǎn)介 求解區(qū)域的離散化 方法 2 ?內(nèi)節(jié)點(diǎn)法或控制容積 節(jié)點(diǎn)法 ?先劃定 控制容積 （節(jié)點(diǎn)所代表的求解區(qū)域） ?節(jié)點(diǎn) ：控制容積的幾何中心 ?例子：二維矩形區(qū)域 70 第二章 計(jì)算區(qū)域及控制方程的離散 71 第二章 計(jì)算區(qū)域及控制方程的離散 ?邊界節(jié)點(diǎn)所代表的求解區(qū)域（控制容積）不同 ： ? 外節(jié)點(diǎn)法 ：半個(gè)控制容積 ? 內(nèi)節(jié)點(diǎn)法 ：容積為 0的控制容積 ?節(jié)點(diǎn)在控制容積中的位置不同 ? 外節(jié)點(diǎn)法 ： ? 控制界面始終位于兩節(jié)點(diǎn)中間位置上：導(dǎo)數(shù)計(jì)算準(zhǔn)確 ? 不能保證節(jié)點(diǎn)始終位于 CV的幾何中心上 ? 內(nèi)節(jié)點(diǎn)法 ： ? 節(jié)點(diǎn)始終位于 CV的幾何中心上：非穩(wěn)態(tài)項(xiàng)計(jì)算準(zhǔn)確 ? 不能保證控制界面始終位于兩節(jié)點(diǎn)中間位置上 控制容積積分法簡(jiǎn)介 兩種方法的比較 72 第二章 計(jì)算區(qū)域及控制方程的離散 控制容積積分法簡(jiǎn)介 ?當(dāng)網(wǎng)格劃分 足夠細(xì) 時(shí)，兩者 沒有本質(zhì)區(qū)別 ? 內(nèi)節(jié)點(diǎn)法： ?邊界節(jié)點(diǎn)處理較簡(jiǎn)單 ?邊界相鄰節(jié)點(diǎn)：要特別注意處理方法，與其它內(nèi)部節(jié)點(diǎn)有所不同 ? 歷史及習(xí)慣的原因：內(nèi)節(jié)點(diǎn)應(yīng)用較廣泛 ?內(nèi)節(jié)點(diǎn)法在邊界相鄰節(jié)點(diǎn)處始終是非均勻網(wǎng)格 ?可能會(huì)產(chǎn)生較大的誤差 兩種方法的比較 73 第二章 計(jì)算區(qū)域及控制方程的離散 控制容積積分法簡(jiǎn)介 求解區(qū)域的離散化：網(wǎng)格參數(shù) ? 一維為例 ?x (?x)+e (?x)w (?x)e (?x)+w (?x)w (?x)e w e W P E 圖 1 一維問題空間區(qū)域的離散化 74 第二章