【文章內容簡介】 信號為好。 彎彎曲曲的海岸線，蜿蜒起伏的山巒輪廓線，變換飛渡的浮云，裊裊上升的煙柱，一瀉千里的江河， …… 他反復觀察，持續(xù)思考，試圖從中悟出大自然的真諦。 1967年，他在美國 《 科學 》 雜志上發(fā)表了一篇題為“英國的海岸線有多長？”的論文。他對海岸線的本質作了獨特的分析而震驚學術界。這篇論文成為分形誕生的標志。 3. 成功者榮譽的光環(huán) ? 1977年，他出版了奠基性著作： 《 分形：形、機遇與維數(shù) 》 （ Fratal： Form，Chance and Dimension,Freeman, San Francisco,1977),提出了分形的三要素，即構形、機遇和維數(shù)。緊接著于 1982年又出版了 《 自然界的分形幾何學 》 （ The Fractal Geometry of Nature,Freeman, San Francisco,1982)。這兩部著作的發(fā)表標志著分形論邁進了現(xiàn)代新興科學之林。 ?曼德布羅特的持續(xù)奮斗，獲得了巨大的成就，贏得了崇高的榮譽。他是 IBM公司的高級研究員，哈佛大學應用數(shù)學教授，美國國家科學院院士，美國藝術與科學研究員院士。近年來，他獲得了許多榮譽獎。獲1985年巴納德獎，以表彰他以科學造福于人類取得新成就； 1986年獲富蘭克林獎； 1988年獲科學為藝術獎等。 分形思想的形成 一、萌芽 ? 分形幾何的概念是美籍法國數(shù)學家曼德爾布羅特（ ） 1975年首先提出的，但最早的工作可追朔到 ? 1875年，德國數(shù)學家維爾斯特拉斯（ ）構造了處處連續(xù)但處處不可微的函數(shù)，集合論創(chuàng)始人康托（ ，德國數(shù)學家）構造了有許多奇異性質的三分康托集。 ? 1890年，意大利數(shù)學家皮亞諾（ ）構造了填充空間的曲線。 ? 1904年，瑞典數(shù)學家科赫（ Koch）設計出類似雪花和島嶼邊緣的一類曲線。 ? 1915年，波蘭數(shù)學家謝爾賓斯基（ ）設計了象地毯和海綿一樣的幾何圖形。這些都是為解決分析與拓樸學中的問題而提出的反例，但它們正是分形幾何思想的源泉。 ? 1910年，德國數(shù)學家豪斯道夫（ ）開始了奇異集合性質與量的研究，提出分數(shù)維概念。 ? 1928年布利干（ ）將閔可夫斯基容度應用于非整數(shù)維，由此能將螺線作很好的分類。 ? 1932年龐特里亞金（ ）等引入盒維數(shù)。 ? 1934年，貝塞考維奇（ ）更深刻地提示了豪斯道夫測度的性質和奇異集的分數(shù)維，他在豪斯道夫測度及其幾何的研究領域中作出了主要貢獻，從而產(chǎn)生了豪斯道夫 貝塞考維奇維數(shù)概念。以后，這一領域的研究工作沒有引起更多人的注意，先驅們的工作只是作為分析與拓撲學教科書中的反例而流傳開來。 二、分形思想的形成 ? （ 1）齊普夫詞頻實驗規(guī)則研究 （ 1951年） ? （ 2）棉花價格變化研究 （ 1960年） ? 1960年，曼德爾布羅特在研究棉價變化的長期性態(tài)時，發(fā)現(xiàn)了價格在大小尺度間的對稱性。 ? (3)計算機通訊線路噪音研究 （ 1962年） 噪音分布示意圖 ? 一天 ? 把一天按小時分 |||| ? 有誤差的小時為 || || ? 把有誤差的小時按每 15分鐘分 ||| ? 有誤差的 15分鐘 ? 曼德勃羅在研究信號的傳輸誤差時，發(fā)現(xiàn)誤差傳輸與無誤差傳輸在時間上按康托集排列，發(fā)現(xiàn)康托爾三分集可以作為描述噪音分布的粗略模型 。 ? （ 4）海岸線長度研究 ? 英國科學家理查遜海岸線長度經(jīng)驗公式 ? 設 r 為測量海岸線的尺度， N(r)為量出的步數(shù)，海岸線總長度 L（ r） =N（ r） r ? 由于尺度與步數(shù)成反比例． 經(jīng)改變 r 的大小反 ? 復測量發(fā)現(xiàn)： ? 代入上式，得 （ k為常數(shù)， a為量規(guī)維數(shù)）。 1() aL r kr ??() akNr r? ? （ 5）科赫曲線長度研究 ? 科赫曲線長度一覽表 ? 尺度 段數(shù) 長度 ? 1/3 4 4/3 ? 1/9 4^2 (4/3)^2 ? ……… ? 1/3^n 4^n (4/3)^n……… ? L（ r） = （ 4/3） ^n （ 1） ? r = （ 1/3） ^n ? 取對數(shù)： ? ?n r = n ?n（ 1/3） (2) ? n = ?n r / ?n 3 ? (2）式代入（ 1）式： ? L（ r） =（ 4/3） ?n r / ?n 3 (3) ? ? (3)式兩邊取對數(shù) ?n L(r) =（ ?n r / ?n 3）（ ?n4/3） ? =（ ?n r /?n 3）（ ?n 4 ?n 3） ? =（ ?n r ?n 4） / ?n 3+?n r = ?n r (1 ?n 4 /?n 3 ) ? 令 ?n 4 / ?n 3 = a，上式為： ?n L(r) =（ 1 a） ?n r = ?n r^( 1 – a) ? 因此 L(r) = r^( 1 – a) ? 科赫曲線長度公式與理查遜海岸線長度經(jīng)驗公式幾乎一致．曼德勃羅把科赫曲線當成海岸線的數(shù)學模型． ? 1960年，曼德爾布羅特在研究棉價變化的長期性態(tài)時，發(fā)現(xiàn)了價格在大小尺度間的對稱性。同年在研究信號的傳輸誤差時，發(fā)現(xiàn)誤差傳輸與無誤差傳輸在時間上按康托集排列。 ? 在對尼羅河水位和英國海岸線的分析中，發(fā)現(xiàn)類似規(guī)律。 ?總結自然界中很多現(xiàn)象從標度變換角度表現(xiàn)出的對稱性。他將這類集合稱作自相似集，其嚴格定義可由相似映射給出。他認為，歐氏測度不能刻劃這類集的本質，轉向維數(shù)的研究，發(fā)現(xiàn) 維數(shù) 是尺度變換下的不變量 ，主張用維數(shù)來刻劃這類集合。 分形的定義和性質 ? 1. 芒德勃羅給出的二種定義 （ 1977年、 1982年） ? 英國數(shù)學家法爾科內給出的定義（ 1990年）（分形具有五個基本特征或性質） 分形是具有如下性質的集合 F： ? F具有精細的結構，即在任意 X的尺度之下，它總有復雜的細節(jié)； （結構的精細性） ? F是不規(guī)則的，它的整體與局部都不能用傳統(tǒng)的幾何語言來描述；（形態(tài)的不規(guī)則性） ? F通常具有某種自相似性，這種自相似可以是近似的或者統(tǒng)計意義下的；（局部與整體的自相似性） ? F的某種定義下的分形維數(shù)通常大于其拓撲維數(shù)；（維數(shù)的非整數(shù)性） ? F常常是以非常簡單的方法確定，可能由迭代過程產(chǎn)生．（生成的迭代性） 分形幾何與傳統(tǒng)幾何相比有什么特點？ ? 從整體上看，分形幾何圖形是處處不規(guī)則的。例如，海岸線和山川形狀，從遠距離觀察，其形狀是極不規(guī)則的。 ? 在不同尺度上，圖形的規(guī)則性又是相同的。上述的海岸線和山川形狀，從近距離觀察，其局部形狀又和整體形態(tài)相似，它們從整體到局部，都是自相似的。當然，也有一些分形幾何圖形，它們并不完全是自相似的。其中一些是用來描述一般隨即現(xiàn)象的，還有一些是用來描述混沌和非線性系統(tǒng)的。 芒德勃羅集（簡稱 M集） ? 曼德爾布羅特集（ Mandelbrot集，簡稱 M集，圖 1）是人類有史以來最奇異最瑰麗的幾何圖形 . 它由一個主要的心形圖與一系列大小不一的圓盤芽苞突起連在一起構成．你看，有的地方象日冕，有的地方象燃燒的火焰，那心形圓盤上飾以多姿多彩的荊棘，上面掛著鱗莖狀下垂的微小顆粒，仿佛是葡萄藤上熟透的累累碩果． ?它的每一個細部都可以演繹出美麗的夢幻般仙境似的圖案，因為只要把它的細部放大，展現(xiàn)在眼前的景象會更令人賞心悅目．而這種放大可以無限地進行下去 , 無論放大到哪一個層次，都會顯示同樣復雜的局部，這些局部與整體不完全相同，又有某種相似的地方，使你感到這座具有無窮層次結構的雄偉建筑的每一個角落都存在無限嵌套的迷宮和回廊，催生起你無窮的探究欲望 .。 分形的量化 ——分數(shù)維 ? 1. 歐氏幾何的長度、面積、體積等測度對分形刻劃無效 ? —— 如何研究分形？ ? 維數(shù)是幾何 學和空間理論的基本概念。歐氏幾何研究的規(guī)則圖形，長度、面積、體積是它們最合適的特征量，但對海岸線這類不規(guī)則的分形，維數(shù)才能很好地刻劃它們的復雜程