【正文】 的幾何學(xué)世界 . ，我們碰到的將不再是歐幾里得幾何學(xué)的直線、圓、長方體等簡單規(guī)則的圖形，而是海岸線、云彩、花草樹木等復(fù)雜的自然形體，它們被稱為分形（ fractal） .這些形體，傳統(tǒng)的歐氏幾何圖形已無法對它們進行恰當(dāng)?shù)哪M，遺憾地留下了一道道各學(xué)科的難題 . ?分形幾何學(xué)另辟蹊徑，用新的觀念，從新的角度，為解決這些難題提出了新的思路和方法，在許多領(lǐng)域獲得了意想不到的成功 . ?分形成為當(dāng)代科學(xué)最有影響和感召力的基本概念之一，分形幾何學(xué)成為探索復(fù)雜性的有效工具 . 引 言 ? 美籍法國數(shù)學(xué)家曼德爾布羅特（ ）于本世紀(jì) 70年代中期開創(chuàng)了分形幾何（ fractal geometry。 ? 美國物理學(xué)家約翰 惠勒（ ）說：“在過去，一個人如果不懂得‘熵’，就不能說是科學(xué)上有教養(yǎng)；在將來，一個人如果不熟悉分形，他就不能被認(rèn)為是科學(xué)上的文化人。 ? 分形幾何中的主要角色都是由傳統(tǒng)數(shù)學(xué)中的“病態(tài)”結(jié)構(gòu)或數(shù)學(xué)“怪物”所扮演的：三分康托（ ）集、維爾斯特拉斯（ ）函數(shù)、科 赫（ Koch）雪花曲線、皮亞諾（ ）填充空間的曲線等等。有關(guān)分形出版了上百部專著，在國際期刊上發(fā)表了幾千篇專業(yè)論文 復(fù)雜的大自然與歐氏幾何的局限性 ? 人類生活的世界是一個極其復(fù)雜的世界，例如，喧鬧的都市生活、變幻莫測的股市變化、復(fù)雜的生命現(xiàn)象、蜿蜒曲折的海岸線、坑坑洼洼的地面等等，都表現(xiàn)了客觀世界豐富 多彩的現(xiàn)象。人類認(rèn)識領(lǐng)域的開拓呼喚產(chǎn)生一種新的能夠更好地描述自然圖形的幾何學(xué) ——分形幾何學(xué)。這個形狀包含每一小三角形的縮小形式，后者又包含縮得更小的整體形狀，如此下去以至無窮 …… 。這個規(guī)則可以用一個數(shù)學(xué)公式或者用文字來描述。 ? 當(dāng)我們觀察一張分形圖片或照片時，我們看到的是它在某一瞬時的樣子 —— 它凍結(jié)在成長過程中的一個特定階段。分形不一定受制于僅僅一個規(guī)則、而可以是一系列的規(guī)則和規(guī)定，它們形成制約它的總規(guī)則。 雪花曲線的數(shù)學(xué)探究 ? 一、雪花曲線的形的特點 ? 從形的角度，粗略的看，“雪花曲線”是一條封閉的連續(xù)的折線；不光滑（“到處都長滿了角”），當(dāng)?shù)螖?shù)增多時，“角”的個數(shù)增多，“角”越來越小，曲線向外生長變得越來越慢等。依次所得的“雪花曲線”（ Pn）的邊長為 an ，邊數(shù)為 bn ，周長為 Ln，面積為 Sn。科赫 (H …… 多么符合我們的需要??！這樣，除了“分裂的”（像在“分?jǐn)?shù)”或“折射”中那樣）， fracus 還應(yīng)該有“不規(guī)則的”之意，這兩個意義都繼承保留了下來。（曼德布羅特在 1986年提出的定義是：分形是其組成部分以某種方式與整體相似的形。海岸線具有自相似性，曼得勃羅特’就是在研究海岸線時創(chuàng)立了分形幾何學(xué)。 誰創(chuàng)立了分形幾何學(xué) ? 分形論的逐步成熟時基于一大批科學(xué)家歷經(jīng)約 30年的不懈努力的結(jié)果，而曼德布羅特的開創(chuàng)性工作功不可沒。 ? ?曼德布羅特以此為突破口，進行了艱難的探索，在前人研究成果的基礎(chǔ)上，創(chuàng)立了 分形幾何，并于 1975年以 《 分形：形、機遇和維數(shù) 》 為名發(fā)表了他的劃時代的專著，第一次系統(tǒng)地闡述了分形幾何的內(nèi)容、意義、方法和理論。此外與英文的 fraction（“碎片”、“分?jǐn)?shù)”）及 fragment（“碎片”）具有相同的詞根。例如，彎彎曲曲的海岸線、起伏不平的山脈，粗糙不堪的斷面，變幻無常的浮云，九曲回腸的河流，縱橫交錯的血管，令人眼花 撩亂的滿天繁星等。1936年遷往巴黎。 ?巴黎解放后，由于他天賦好，雖然缺乏準(zhǔn)備，卻通過了高等師范和高等工業(yè)學(xué)院的嚴(yán)格考試，筆試和口試經(jīng)長達一個月，還包括繪畫課。給出一個圖形，它可以設(shè)法變換它，改變它的對稱，使他更為和諧。 1958年，他接受國際商用機器公司（ IBM）沃森研究中心的聘請，開始他的異國科學(xué)研究生涯?！彼?IBM公司工作的初期，主要是研究商品價格 . ?不久碰上公司非常關(guān)心的一個實際問題。 這種描述，正是以 19世紀(jì)數(shù)學(xué)家康托爾命名的抽象構(gòu)造。 1967年，他在美國 《 科學(xué) 》 雜志上發(fā)表了一篇題為“英國的海岸線有多長？”的論文。緊接著于 1982年又出版了 《 自然界的分形幾何學(xué) 》 （ The Fractal Geometry of Nature,Freeman, San Francisco,1982)。近年來，他獲得了許多榮譽獎。 ? 1904年，瑞典數(shù)學(xué)家科赫（ Koch）設(shè)計出類似雪花和島嶼邊緣的一類曲線。 ? 1928年布利干（ ）將閔可夫斯基容度應(yīng)用于非整數(shù)維，由此能將螺線作很好的分類。 二、分形思想的形成 ? （ 1）齊普夫詞頻實驗規(guī)則研究 （ 1951年） ? （ 2）棉花價格變化研究 （ 1960年） ? 1960年，曼德爾布羅特在研究棉價變化的長期性態(tài)時，發(fā)現(xiàn)了價格在大小尺度間的對稱性。 1() aL r kr ??() akNr r? ? （ 5）科赫曲線長度研究 ? 科赫曲線長度一覽表 ? 尺度 段數(shù) 長度 ? 1/3 4 4/3 ? 1/9 4^2 (4/3)^2 ? ……… ? 1/3^n 4^n (4/3)^n……… ? L（ r） = （ 4/3） ^n （ 1） ? r = （ 1/3） ^n ? 取對數(shù)： ? ?n r = n ?n（ 1/3） (2) ? n = ?n r / ?n 3 ? (2）式代入（ 1）式： ? L（ r） =（ 4/3） ?n r / ?n 3 (3) ? ? (3)式兩邊取對數(shù) ?n L(r) =（ ?n r / ?n 3）（ ?n4/3） ? =（ ?n r /?n 3）（ ?n 4 ?n 3） ? =（ ?n r ?n 4） / ?n 3+?n r = ?n r (1 ?n 4 /?n 3 ) ? 令 ?n 4 / ?n 3 = a，上式為： ?n L(r) =（ 1 a） ?n r = ?n r^( 1 – a) ? 因此 L(r) = r^( 1 – a) ? 科赫曲線長度公式與理查遜海岸線長度經(jīng)驗公式幾乎一致．曼德勃羅把科赫曲線當(dāng)成海岸線的數(shù)學(xué)模型． ? 1960年，曼德爾布羅特在研究棉價變化的長期性態(tài)時，發(fā)現(xiàn)了價格在大小尺度間的對稱性。他將這類集合稱作自相似集，其嚴(yán)格定義可由相似映射給出。 ? 在不同尺度上，圖形的規(guī)則性又是相同的。 芒德勃羅集（簡稱 M集） ? 曼德爾布羅特集（ Mandelbrot集，簡稱 M集，圖 1）是人類有史以來最奇異最瑰麗的幾何圖形 . 它由一個主要的心形圖與一系列大小不一的圓盤芽苞突起連在一起構(gòu)成．你看，有的地方象日冕，有的地方象燃燒的火焰，那心形圓盤上飾以多姿多彩的荊棘，上面掛著鱗莖狀下垂的微小顆粒，仿佛是葡萄藤上熟透的累累碩果． ?它的每一個細(xì)部都可以演繹出美麗的夢幻般仙境似的圖案，因為只要把它的細(xì)部放大，展現(xiàn)在眼前的景象會更令人賞心悅目．而這種放大可以無限地進行下去 , 無論放大到哪一個層次，都會顯示同樣復(fù)雜的局部，這些局部與整體不完全相同，又有某種相似的地方，使你感到這座具有無窮層次結(jié)構(gòu)的雄偉建筑的每一個角落都存在無限嵌套的迷宮和回廊，催生起你無窮的探究欲望 .。 2. 維數(shù)觀念的歷史回顧 ? （ 1）傳統(tǒng)的歐氏維數(shù) ? 歐氏幾何學(xué)、歐氏空間（即日常接觸的普通空間）的維數(shù)概念 – 點 0維； – 線 1維； – 面 2維； – 體 3維。這種維數(shù)概念和人們的經(jīng)驗相一致，被稱為經(jīng)驗維數(shù)或歐氏維數(shù)，或經(jīng)典維數(shù)，用字母 d表示。比如畫在橡皮膜上的兩條相交曲線，對橡皮膜施以拉伸或擠壓等形變，但不破裂或折疊時，它們“相交”始終是不變的，幾何圖形的這種性質(zhì)稱為拓?fù)湫再|(zhì)。可以論證對一個幾何圖形，恒有 Dt=d。 ? 分形是與歐氏幾何圖形截然不同的另一類圖形，它的維數(shù)一般是分?jǐn)?shù)，所以分形的維數(shù)被稱為分?jǐn)?shù)維。只不過當(dāng)它用于歐氏幾何圖形時，值為整數(shù)，而用于分形時，值一般為分?jǐn)?shù)。測量的單位也往往是我們所能分辨的最小單位。 豪斯多夫維數(shù)的基本思想 ? 分維的概念我們可以從兩方面建立起來： ? 一方面，我們首先畫一個線段、正方形和立方體，它們的邊長都是 1。 ? 另一方面，當(dāng)我們畫一根直線，如果我們用 0維的點來量它，其結(jié)果為無窮大，因為直線中