【正文】 云、 姜根和海岸線則是困難的。幾何分形用來(lái)描述蕨葉或雪花等對(duì)象，而隨機(jī)分形則可由計(jì)算機(jī)生成，用來(lái)描述熔巖和山地。 如果你是個(gè)有心人，你一定會(huì)發(fā)現(xiàn)在自然界中，有許多景物和都在某種程度上存在這種自相似特性，即它們中的一個(gè)部分和它的整體或者其它部分都十分形似。其實(shí)，遠(yuǎn)遠(yuǎn)不止這些。從心臟的跳動(dòng)、變幻莫測(cè)的天氣到股票的起落等許多現(xiàn)象都具有分形特性。這正是研究分形的意義所在。 什么是分形幾何 ? ? 通俗一點(diǎn)說(shuō)就是研究無(wú)限復(fù)雜但具有一定意義下的 自相似 圖形和結(jié)構(gòu)的幾何學(xué)。 ? （ 1）什么是自相似呢？ ? ◆例如一棵蒼天大樹(shù)與它自身上的樹(shù)枝及樹(shù)枝上的枝杈，在形狀上沒(méi)什么大的區(qū)別，大樹(shù)與樹(shù)枝這種關(guān)系在幾何形狀上稱之為自相似關(guān)系； ? ◆ 一棵厥類植物，仔細(xì)觀察，你會(huì)發(fā)現(xiàn)，它的每個(gè)枝杈都在外形上和整體相同，僅僅在尺寸上小了一些。而枝杈的枝杈也和整體相同，只是變得更加小了。那么，枝杈的枝杈的枝杈呢？自不必贅言 自然界中的分形 ?高山的表面，您無(wú)論怎樣放大其局部，它都如此粗糙不平等等。 天空中的云朵 ? 股票價(jià)格曲線 例如，在道 瓊斯指數(shù)中，某一個(gè)階段的曲線圖總和另外一個(gè)更長(zhǎng)的階段的曲線圖極為相似。 ? 巖石裂縫 ? 金屬損傷裂縫 ? 道路分布 ? 神經(jīng)末梢的分布 ………… ? ◆ 動(dòng)物也不例外，一頭牛身體中的一個(gè)細(xì)胞中的基因記錄著這頭牛的全部生長(zhǎng)信息；這些例子在我們的身邊到處可見(jiàn)。分形幾何揭示了世界的本質(zhì)，分形幾何是真正描述大自然的幾何學(xué)。 分形的應(yīng)用 ? 分形在股票市場(chǎng)的應(yīng)用 股票交易收益實(shí)例分析表 ? S1 S2 1 2 1 2 1 2 3 3 3 4 2 4 5 1 5 6 2 6 累積收益率 標(biāo)準(zhǔn)差 分形維 ? 分形在地震預(yù)報(bào)中的應(yīng)用 ? 分形生長(zhǎng)及其應(yīng)用 ? （ 1）癌癥增殖模型 ——艾登模型 ? （ 2） DLA模型 ? （ 3）滲流模型 分形幾何的價(jià)值與研究 ? 分形幾何的基本思想 ? （ 1）客觀事物具有自相似的層次結(jié)構(gòu)， 局部與整體在形態(tài)、功能、信息、時(shí)間、空間等 方面具有統(tǒng)計(jì)意義的相似性 ? （ 2）分?jǐn)?shù)維是刻劃分形的特征量 分形幾何與歐氏幾何的比較 描述對(duì)象 特征長(zhǎng)度 表達(dá)方式 維數(shù) 歐氏幾何學(xué) 人類創(chuàng)造的 有 用數(shù)學(xué)公式 0或正整數(shù) 簡(jiǎn)單的標(biāo)準(zhǔn)物體 （ 1或 2或 3） 分形幾何學(xué) 大自然創(chuàng)造 無(wú) 用迭代語(yǔ)言 一般是分?jǐn)?shù) 的復(fù)雜的真實(shí)物體 （也可以是整數(shù)） 分形在哲學(xué)上的意義 ? 復(fù)雜與簡(jiǎn)單的統(tǒng)一： 分形幾何的主要價(jià)值在于它在極端有序和真正混沌之間提供了一種可能性。分形最顯著的性質(zhì)是：本來(lái)看來(lái)十分復(fù)雜的事物，事實(shí)上大多數(shù)均可用僅含很少參數(shù)的簡(jiǎn)單公式來(lái)描述。其實(shí)簡(jiǎn)單并不簡(jiǎn)單，它蘊(yùn)含著復(fù)雜。分形幾何中的迭代法為我們提供了認(rèn)識(shí)簡(jiǎn)單與復(fù)雜的辯證關(guān)系的生動(dòng)例子。分形高度復(fù)雜，又特別簡(jiǎn)單。無(wú)窮精致的細(xì)節(jié)和獨(dú)特的數(shù)學(xué)特征（沒(méi)有兩個(gè)分形是一樣的）是分形的復(fù)雜性一面。連續(xù)不斷的，從大尺度到小尺度的自我復(fù)制及迭代操作生成，又是分形簡(jiǎn)單的一面 . ? 分形在認(rèn)知哲學(xué)上的意義分形幾何建立以后，很快就引起了許多學(xué)科的關(guān)注，這是由于它不僅在理論上，而且在實(shí)用上都具有重要價(jià)值。 超級(jí)觀察者是傳統(tǒng)哲學(xué)和經(jīng)典物理學(xué)的一個(gè)基本前提，即假定有一位理想的觀察者能夠不受觀察對(duì)象的任何影響，經(jīng)過(guò)精密觀察和嚴(yán)密思考能夠?qū)τ^察對(duì)象的屬性給出絕對(duì)正確的界定。從笛卡爾以來(lái)，這個(gè)超級(jí)觀察者基本上已被等同于人類理性，而當(dāng)理性難以說(shuō)明問(wèn)題的時(shí)候，哲學(xué)家和科學(xué)家都不約而同地抬出上帝的觀念來(lái)搪塞。比如牛頓為了解決第一推動(dòng)力的問(wèn)題，不得不回到神學(xué)。愛(ài)因斯坦反對(duì)量子力學(xué)的重要理由就是“上帝不擲骰子?！比欢?，這種超級(jí)觀察者神話在現(xiàn)代物理學(xué)那里，已經(jīng)遭到了決定性的打擊。 ? 1：觀察尺度 著名的海岸線問(wèn)題：英國(guó)的海岸線有多長(zhǎng)？這個(gè)問(wèn)題是沒(méi)有答案的，它完全取決于觀察尺度的選取。顯然，用人的腳步來(lái)測(cè)量，和讓一只螞蟻來(lái)測(cè)量，得出的結(jié)果將有天壤之別，因?yàn)槲浵仌?huì)爬過(guò)比人多得多的彎曲，從而測(cè)量的結(jié)果將比人的結(jié)果大得多。假設(shè)有一種無(wú)限小的生物，那么測(cè)量結(jié)果將是無(wú)窮大。不要忘了，在螞蟻眼中，我們是比鯨還要大的龐然大物。關(guān)于觀察尺度， 《 格列佛游記 》 里面有精彩的描述。當(dāng)格列佛到了巨人國(guó)，他發(fā)現(xiàn)沒(méi)有一個(gè)女人是漂亮的，因?yàn)樵谒⌒〉难劬?，女人每一個(gè)猙獰的毛孔他都看得清清楚楚。作為閱讀對(duì)象的文本可以比作英國(guó)的海岸線，說(shuō)文本無(wú)定解，不是說(shuō)文本什么都不是，它是英國(guó)的海岸線，可是它究竟有多長(zhǎng)，不同的讀者有不同的測(cè)量結(jié)果?？墒且哉l(shuí)為準(zhǔn)？螞蟻的結(jié)果就不算數(shù)嗎？ ? 分形 —美麗新世界： “世界是非線性的”，分形無(wú)處不在。分形學(xué)科的誕生，使得我們重新審視這個(gè)世界。當(dāng)人們用分形的觀點(diǎn)重新審視自然物時(shí)，發(fā)現(xiàn)自然界的各種各樣自然形態(tài)本質(zhì)上都具有分形的結(jié)構(gòu)。例如，地學(xué)方面：海岸線，島嶼，國(guó)界，山谷，河流，路面等彎彎曲曲凹凸不平的形狀；生物方面：人的肺，血管，人腦，表面形狀，大多數(shù)樹(shù)木花草地分岔結(jié)構(gòu)；在宇宙方面：天體在宇宙空間中的分布，月坑的直徑分布以及作為月坑成因地隕石和小行星的大小分布，空中的云塊邊界雪花的表面；在物理化學(xué)方面：物體的表面由細(xì)微粒子集聚成的凝聚體，閃電，多孔吸附材料的表面，蛋白質(zhì)高分子的結(jié)構(gòu) …… 分形學(xué)家說(shuō)，自然界處處有分形，這從物體形態(tài)結(jié)構(gòu)方面說(shuō)明，世界本質(zhì)上的非線性。 ? 分形所呈現(xiàn)的無(wú)窮玄機(jī)和美感引發(fā)人們?nèi)ヌ剿鳎橹袆?dòng)。分形使人們感悟到科學(xué)與藝術(shù)的融合，數(shù)學(xué)與藝術(shù)審美上的統(tǒng)一，使昨日枯燥的數(shù)學(xué)不再僅僅是抽象的哲理，而是具體的感受；不再僅僅是揭示一類存在，而是一種藝術(shù)創(chuàng)作，它搭起了科學(xué)與藝術(shù)的橋梁。歷史上笛卡爾和開(kāi)普勒也是藝術(shù)家，前者是法國(guó)新時(shí)代小說(shuō)的奠基人之一，后者寫(xiě)的登月科幻小說(shuō)比凡爾納的早得多，當(dāng)然凡爾納這位大師既懂藝術(shù)也懂科學(xué)。豪斯道夫不但在拓?fù)鋵W(xué)上留下深深的足跡，也寫(xiě)過(guò)不錯(cuò)的劇本。 列夫 托爾斯泰也懂得物理學(xué)和數(shù)學(xué)，并且編寫(xiě)過(guò)科學(xué)著作 ,還嘗試將微積分運(yùn)用到歷史研究當(dāng)中去。激素的想法首先是由法國(guó)作家巴爾扎克提出來(lái)的?？_爾的童話故事流露著新科學(xué)的天才猜想，并以更喜聞樂(lè)見(jiàn)的形式表達(dá)出來(lái) ,流芳百世，其實(shí)他本來(lái)就是數(shù)學(xué)家和邏輯學(xué)家。至于達(dá) 芬奇、歌德和羅蒙諾索夫這樣偉大的人物，我們甚至不好稱他們是藝術(shù)家還是科學(xué)家。他們身兼二職，科學(xué)因素使他們的藝術(shù)更真實(shí)，藝術(shù)因素在他們的內(nèi)心喚起自由和思想解放的精神 ? 原來(lái)世界可以這樣： 分形打開(kāi)了一個(gè)完全嶄新和令人興奮的幾何學(xué)大門(mén)。這一新的數(shù)學(xué)領(lǐng)域，觸及到我們生活的方方面面，諸如自然現(xiàn)象的描述，電影攝影術(shù)、天文學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、氣象學(xué)、生態(tài)學(xué)等等。它的應(yīng)用是如此廣泛，它的特性是如此迷人。我們擁有的這個(gè)新幾何，甚至可以描述變化的宇宙。站在這個(gè)巨人的肩膀上，我們可以實(shí)現(xiàn)許多原來(lái)被我們視為奇異或是不可能實(shí)現(xiàn)的東西，不覺(jué)中人們感嘆原來(lái)世界可以這樣 — 由于分形能夠用遞推函數(shù)加以描述，所以用計(jì)算機(jī)生成的分形十分理想。特別是迭代函數(shù)系統(tǒng)具有很高的壓縮比，可達(dá) 1： 1000，在圖象及通訊方面具有廣闊的應(yīng)用。像電影 《 星際旅行 Ⅱ ：可汗的憤怒 》 中新行星的誕生以及 《 吉地的返回 》中行星在空間飄浮等壯觀的場(chǎng)面，就是由彼克沙公司在一臺(tái)計(jì)算機(jī)上完成的。 由計(jì)算機(jī)模擬制作的山峰，也已被 IBM公司應(yīng)用于廣告宣傳中。分形的視覺(jué)效果更使分形裝飾布和分形壁紙必將成為人們?nèi)蘸蟮男聦?。分形明信片和分形廣告已推出了十多年，分形日歷也早已問(wèn)世。 分形還能用于描述和預(yù)示不同生態(tài)系統(tǒng)的演化，有一些科學(xué)家認(rèn)為分形幾何有助于他們理解被觀察的正?；罴?xì)胞的結(jié)構(gòu)和組成癌組織的病細(xì)胞的結(jié)構(gòu)。所以通過(guò)建立與健康的或患病的組織相像的分形生長(zhǎng)模型，科學(xué)家們也能夠了解存在于基因密碼的控制生長(zhǎng)的信息，以及如果這種生長(zhǎng)結(jié)果的信息被破壞時(shí)，癌組織是如何發(fā)展的。