【文章內容簡介】 擇 。 比如在一個圓柱面上 ， 一個方向是沿其橫切的圓 ， 另一個則是沿垂直線 。 高斯在 1827發(fā)現這兩個曲率的乘積具有驚人的屬性 。 當我們曲面在空間變型 ， 只要它沒有拉長縮短 ， 這個積是不變的 ！ 後世稱這個積為高斯曲率 。 29 高斯把這條定理寫入 《 曲面通論 》 一書中 。 他指出必須把曲面的內在性質 ， 即身處曲面內扁小甲蟲所經驗的屬性 ， 與其外在的 ，即依賴於曲面如何置於空間的性質區(qū)分開來 ，而只有內在性質 ， 才值得 「 幾何學家焚膏繼晷 ， 兀兀窮年地上下求索 」 (most worthy of being diligently explored by geometers)。 後世稱研究這些性質的學問為內蘊幾何 。 內蘊幾何 30 從球面剪取一片曲面 ， 其高斯曲率為正常數 。 反過來說 ， 局部而言 ， 任何具正常曲率的曲面都是球面的一部分 。 類似地 ， 從雙曲曲面剪取的一片 ， 其高斯曲率恒等於負一 ， 而反過來說曲率等於負一的曲面與雙面曲面局部相等 。雙曲曲面曾在討論歐氏第五兯設時論及 。 高斯曲率決定曲面的內蘊幾何 31 高斯顯然因他的定理興奮不已 。 但他並沒有認為人們對空間已認識透徹 。 高斯： 「 我愈來愈相信 ， 人類的理性並不能證明或理解幾何的必要性 。 也許後世能對空間的本質有新的洞見 ， 但目前這卻是不可能的事 。 」 “ I am being more and more convincing that the necessity of our geometry cannot be proved, at least not by human reason nor for human reason. Perhaps in another life we will be able to obtain insight into the nature of space which is now unattainable.” 高斯對幾何的深思 32 高斯： 「 當下我們不能把幾何與本質是先驗的算術相提並論 ， 只適宜將它與力學並列 。 」 “ Until then we must place geometry not in the same class with arithmetic which is purely a priori, but with mechanics.” 物理學的影響 33 高斯研究的是二維曲面內的幾何 。高維流形的內蘊幾何是由黎曼提出的 。他在他的教授就職演說 《 建構幾何學的假設 》 中 ， 利用尺度的無限小形式 ， 引入了抽象空間 。 在那裏高斯曲率有了明確的涵義 。 這是一個重要的時刻 ， 人們終於擺脫了平坦的歐氏 （ 線性 ） 空間 ，而成功創(chuàng)造一個自我生存的 「 內蘊 」 空間了 。 黎曼 抽象空間 （現代幾何學的誕生） 34 黎曼在 1852年的就職演說 在無窮小區(qū)域內幾何諸假設是否真確 ，與空間尺度關係的本質有關 …… 要回答這個問題 ， 就必須從這些現象的有關概念入手 。 這些源於經驗的概念 ，是先由牛頓所奠基 ， 並且透過它們所不能解釋的事實而改動 ， 漸臻完備 …… 如此這般 ， 我們便離開了幾何 ， 進入另一門科學 ， 即物理的領域了 。 35 Riemann (1826 – 1866) The question of the validity of the hypothesis of geometry in the infinitely small is connected with the question of the basis for the metric relation of space…… An answer to these questions can be found only by starting from that conception of phenomena which has hitherto been approved by experience, for which Newton laid the foundation, and gradually modifying it under the assumption of facts which cannot be explained by it…… This leads us away into the domain of another science, the realm of physics. 36 黎曼的新發(fā)現從根本上改變了數學家對幾何的看法 。 從此以後 ， 幾何學家研究的空間不再依賴於歐氏空間 ，我們獨立地討論抽象空間的幾何了 。他的後繼者 Christoffel、 Ricci、 LeviCivita和 Beltrami開拓了流形上的微積分和張量分析等研究 。 不過對絕大多數人而言 ， 這些高維抽象空間要不是枯燥無味 ， 就是跟大自然風馬牛不相及 。 Christoffel Ricci Beltrami 黎曼幾何 37 狹義相 對論 的背景 第一個對牛頓絕對空間提出具建設性質疑的是奧地利學者馬赫 。 他認為慣性座標受到地球和其他天體的影響 。 這 項 假設 被稱 為馬赫原理 。 一個極爲重要的事實卻是 麥克斯韋 發(fā)現光乃是電磁波 ， 其速度與慣性坐標無關 ， 恆為常數 。 不久又發(fā)現了麥氏電磁方程容納 羅 倫玆變換為對稱群 。 馬赫 38 時空一體 愛恩斯坦於 1905年提出狹義相對論 。 其 中一個重要 的 環(huán)節(jié) 乃 是：空間和時間藉著羅倫茲變換 融合 起來了 。 Minkowski (1908): Henceforward, space on its own and time on its own will decline into mere shadows, and only a kind of union between the two will preserve its independence. Minkowski 39 廣義相對論 ： 愛恩斯坦的時空 狹義相對論認爲任何訊息的傳遞不能超過光速 ， 這與牛頓力學 Action at a distance with instantaneous transmission矛盾 。 愛恩斯坦寫信給 Sommerfeld: I am now working exclusively on the gravity problem… one thing is certain – tha