【正文】 」 龐卡萊（ 18541912）： 「 創(chuàng)思雖是漫漫長(zhǎng)夜中的靈光一閃 ， 但 ，這便是一切 。 幾何學(xué)中新的想法生生不息 ， 這是一個(gè)值得幾何學(xué)家興奮的時(shí)代 。 Hamilton 三維空間的結(jié)構(gòu) 66 最近 Perelman可能將 Hamilton的工作全部完成 ， 我的朋友 、 學(xué)生和我在整個(gè)發(fā)展過(guò)程中有相當(dāng)?shù)呢暙I(xiàn) ， 可謂與有榮焉 。 時(shí)空的奇異點(diǎn) 65 從幾何的觀(guān)點(diǎn)來(lái)瞭解時(shí)空 ， 我們可以說(shuō)它的進(jìn)展一日千里 ， 我們對(duì)三維和四維空間的瞭解已經(jīng)今非昔比 。 物理學(xué)家企圖從量子化的觀(guān)點(diǎn)來(lái)處理奇異點(diǎn) 。 Vafa 在量子深淵中 的時(shí)空 63 Schwarz: the mathematical structure of string theory was so beautiful and had so many miraculous properties that it had to be pointing toward something deep. Schwarz 在量子深淵中 的時(shí)空 64 物理學(xué)家和幾何學(xué)家都想瞭解由愛(ài)氏方程出現(xiàn)的時(shí)空奇異點(diǎn)問(wèn)題 ， 大爆炸和黑洞都是奇異點(diǎn) 。 也許在量子深淵中 ， 時(shí)空的觀(guān)念不再是我們現(xiàn)在想像的形式 。 弦學(xué)的第二次革命 62 我們對(duì)時(shí)空的看法還在不斷的演化之中 。 這個(gè)對(duì)稱(chēng)引起鏡對(duì)稱(chēng)的觀(guān)念 ， 在代數(shù)幾何學(xué)上有極重要貢獻(xiàn) ， 事實(shí)上對(duì)偶乃是弦學(xué)中最重要的工具 。 這種對(duì)偶指出有關(guān)半徑為 R圓周上的量子場(chǎng)論與在半徑為 1/R的圓周上的 量子場(chǎng)論是相同的 。 60 卡拉比 ― 丘空間乃是弦理論中真空狀態(tài)的基石 ， 但它不見(jiàn)得是時(shí)空微觀(guān)結(jié)構(gòu)的終極形式 。 利用這些空間的連續(xù)演化 ， 我們希望能構(gòu)造出新的字宙模型或黑洞 。 從數(shù)學(xué)上來(lái)說(shuō) ， 我們對(duì)它們的認(rèn)知頗深 。由於弦學(xué)家的需求 ， 這廿年來(lái)對(duì)卡丘空間的研究有長(zhǎng)足的進(jìn)展 ， 人們從而獲得了不少有關(guān)弦理論及數(shù)學(xué)的有趣結(jié)果 。 在 1984年 ， 他們發(fā)現(xiàn)這類(lèi)空間就是我在 1976年構(gòu)造的流形 。 時(shí)空中要容許這種超對(duì)稱(chēng) ， 這個(gè)內(nèi)在的六維空間必須滿(mǎn)足某些嚴(yán)苛的條件 。 （ 新近出現(xiàn)的膜理論可以容許這個(gè)內(nèi)蘊(yùn)空間不用太小 。 仿效 KaluzaKlein的做法 ， 我們把時(shí)空加厚 ， 添進(jìn)內(nèi)在的六個(gè)維數(shù) 。 利用這個(gè)辦法 ， 引力場(chǎng)和電磁力便由純引力場(chǎng)統(tǒng)一起來(lái)了 。 KaluzaKlein考慮在一個(gè)加厚後成為五維時(shí)空的真空狀態(tài)的愛(ài)恩斯坦方程 。 高維時(shí)空 55 KaluzaKlein模型 一個(gè)好例子是把直線(xiàn)加厚成為圓柱面 。 這類(lèi)機(jī)制濫觴於 KaluzaKlein的理論 ， 當(dāng)廣義相對(duì)論剛剛面世時(shí)便提出了 。 黑洞 弦學(xué)中時(shí)空的奇異點(diǎn) 54 我們觀(guān)察到的現(xiàn)實(shí)世界是四維的 。 弦學(xué) 的第一次革命 53 值得興奮的是：由弦學(xué)所產(chǎn)生的時(shí)空 量子化理論甚至可以 「 醫(yī)治 」 時(shí)空的奇異點(diǎn) （ 這些奇異點(diǎn)的產(chǎn)生是無(wú)可奈何的事實(shí) ， 我們?cè)诮鈵?ài)氏方程時(shí)發(fā)現(xiàn)它存在的必然性 。 弦學(xué) 的源起 52 在好一段日子 ， 弦學(xué)幾乎銷(xiāo)聲滅跡 ，只有 Scherk和 Schwarz勇敢的提出弦學(xué)應(yīng)該包括強(qiáng)粒子和引力子在內(nèi) 。 可是強(qiáng)力的發(fā)現(xiàn)以後不循這個(gè)方向發(fā)展 。 普朗克 量子場(chǎng)論對(duì)幾何的影響 51 物理學(xué)家 Veneziano發(fā)現(xiàn)尤拉 (Euler)二百多年前發(fā)現(xiàn)的某些函數(shù)可以用來(lái)描述很多強(qiáng)核力產(chǎn)生的現(xiàn)象 。 把引力場(chǎng)量子化是艱巨的任務(wù) ， 物理學(xué)家為此建立不少模型 。 但是 ， 當(dāng) 空間半徑小於普朗克尺度時(shí) ， 量子力學(xué)和光滑的時(shí)空不能相容 ， 我們茫然毫無(wú)頭緒 。 Dirac 梵爾 量子力學(xué) 50 量子場(chǎng)論的種種成就也改變了我們對(duì)時(shí)空幾 何 的 認(rèn) 識(shí) 。 Dirac 方程用羅倫茲群為對(duì)稱(chēng) ， 梵爾（ Herman Weyl） 則研究電磁場(chǎng)中的可交換規(guī)範(fàn)場(chǎng) 。 這些概念早已由 Cartan從群表示理論和幾何的研究中發(fā)現(xiàn) 。 S. Lie 整體對(duì)稱(chēng)和局部對(duì)稱(chēng) 49 二十世紀(jì)初量子力學(xué)的偉大發(fā)現(xiàn) ， 促進(jìn)了我們對(duì)高能物理中基本粒子的了解 ， 也因此對(duì)時(shí)空的結(jié)構(gòu)有了更深入的認(rèn)識(shí) 。 這種規(guī)範(fàn)對(duì)稱(chēng)性在幾何和物理中同樣重要 。 沒(méi)多久 ， Cartan便將 Klein的觀(guān)點(diǎn)與黎曼幾何結(jié)合 ， 創(chuàng)造了在纖維叢上的連絡(luò)理論 。 其實(shí)數(shù)學(xué)家 (S. Lie, F. Klein)早就曉得對(duì)稱(chēng)性對(duì)幾何學(xué)基本結(jié)構(gòu)的重要性 。 就是要容納這樣的對(duì)稱(chēng)性 ， 導(dǎo)致 愛(ài)氏提出他的廣義相對(duì)論 。 運(yùn)動(dòng)方程離不開(kāi)對(duì)稱(chēng)群 ， 比如說(shuō) ， 各種孚恒律便來(lái)自各種連續(xù)的對(duì)稱(chēng)性 。 愛(ài)氏可說(shuō)是第一個(gè)看到對(duì)稱(chēng)群在物理學(xué)有舉足輕重地位的物理學(xué)家 。 幾何和引力場(chǎng)之不可分 46 對(duì)稱(chēng)在物理和幾何學(xué)的重要性 除了受到哲學(xué)家 Mach對(duì)相對(duì)時(shí)空看法的影響外 ， 愛(ài)氏還看出對(duì)稱(chēng)觀(guān)念的重要性 。 引力驅(qū)動(dòng)整個(gè)孫宙 ， 瞬息萬(wàn)變 ， 時(shí)空不再是一潭靜寂的死水了 。 London Times頭條新聞 ： Revolutions in Science New theory of the universe newtonian ideas overthrown. 廣義相對(duì)論的誕生 Eddington 45 時(shí)空的概念以黎曼幾何為框架表現(xiàn)出來(lái) ，可謂天衣無(wú)縫 。 這些結(jié)果最後總結(jié)於 1916年《 物理年報(bào) 》 上的 《 廣義相對(duì)論基礎(chǔ) 》 一文中 。 Bianchi 能量孚恒定律和 Bianchi等式 43 引力場(chǎng)可以用具有十個(gè)分量的黎曼時(shí)空尺度來(lái)表示 。 ） 總而言之 ， 黎曼的抽象空間 ，確是可以用於描述引力 。 愛(ài)恩斯坦發(fā)現(xiàn)正是這個(gè)量適合古典的質(zhì)量孚恒定律 。 愛(ài)恩斯坦 等價(jià)原理 42 物理中的等價(jià)原理要求引力的定律與座標(biāo)的選取無(wú)關(guān) ， 黎曼的曲率正具有這種特性 。 之所以花了這麼多時(shí)間 ， 理由之一是他對(duì)數(shù)學(xué)上的抽象空間不大了了 。 41 在 1907年 ， 愛(ài)恩斯坦首次提出引力的等價(jià)原理 。 Minkowski (1908): Henceforward, space on its own and time on its own will decline into mere shadows, and only a kind of union between the two will preserve its independence. Minkowski 39 廣義相對(duì)論 ： 愛(ài)恩斯坦