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2025-04-10 15:58本頁面
【正文】 Brahe的觀測是以地球為參考點的一大堆數(shù)字 。 刻卜勒 伽里略 19 要等到費馬 （ 1629） 和笛卡兒 （ 1637）引入座標(biāo)系統(tǒng)後 ， 人們才能用代數(shù)的方式來表示運動軌跡 。 代而之我要研究那些以解釋大自然現(xiàn)象為目標(biāo)的幾何 。利用這種代數(shù)的方式 ， 刻卜勒的行星運動定律就變得一清二楚了 。 他引進(jìn)座標(biāo)系統(tǒng)來描述幾何圖形 ， 幾何和代數(shù)因此結(jié)合起來了 。 笛卡兒 座標(biāo)系統(tǒng) 22 萊布尼茲 (1646 1716)和牛頓 (1642 1727)各自獨立地發(fā)明了微積分 ?！? “ As God calculates, so the world is made.” 牛頓 － 萊布尼茲 兯式 : 微積分 ( ) ( ) ( )ba f x f b f a? ? ??23 萊布尼茲的工作既是代數(shù)的也是分析的 。 萊布尼茲於 1677發(fā)表了他的結(jié)果 ， 比牛頓發(fā)明微積分晚了整整十年 。 兩者不同的做法最後導(dǎo)致優(yōu)先權(quán)的大爭辯 。 天體的運動是透過歐氏空間的整體座標(biāo)系統(tǒng)來描述的 ， 在那裏空間是靜止的 ，而時間則獨立於空間之外 。 科學(xué)的目的是尋找這種真實性背後的規(guī)律及合理性 。牛頓定理是有關(guān)運動的 。 「 我不去定義時間 、 空間 、 地點及運動 ， 因為大家都同它們熟識不過 。 它為孫宙提供一個剛性的 、 永恆不變的舞臺 。 」 “ Absolute space, in its own nature and with regard to anything external, always remains similar and unmovable.” 牛頓利用一個旋轉(zhuǎn)水桶的實驗 ， 來說明絕對空間的存在性 ，而慣性座標(biāo)便是在絕對空間中靜止的座標(biāo) 。 微積分和牛頓力學(xué)的偉大勝利 ， 使物理學(xué)家及數(shù)學(xué)家忙於利用微積分這個新的工具去發(fā)展新的學(xué)問 ， 直到十九世紀(jì)才對時空有基本性的改變 。 他是絕對空間概念的忠實信徒 。 比如在一個圓柱面上 ， 一個方向是沿其橫切的圓 ， 另一個則是沿垂直線 。 當(dāng)我們曲面在空間變型 ， 只要它沒有拉長縮短 ， 這個積是不變的 ！ 後世稱這個積為高斯曲率 。 他指出必須把曲面的內(nèi)在性質(zhì) ， 即身處曲面內(nèi)扁小甲蟲所經(jīng)驗的屬性 ， 與其外在的 ，即依賴於曲面如何置於空間的性質(zhì)區(qū)分開來 ，而只有內(nèi)在性質(zhì) ， 才值得 「 幾何學(xué)家焚膏繼晷 ， 兀兀窮年地上下求索 」 (most worthy of being diligently explored by geometers)。 內(nèi)蘊幾何 30 從球面剪取一片曲面 ， 其高斯曲率為正常數(shù) 。 類似地 ， 從雙曲曲面剪取的一片 ， 其高斯曲率恒等於負(fù)一 ， 而反過來說曲率等於負(fù)一的曲面與雙面曲面局部相等 。 高斯曲率決定曲面的內(nèi)蘊幾何 31 高斯顯然因他的定理興奮不已 。 高斯： 「 我愈來愈相信 ， 人類的理性並不能證明或理解幾何的必要性 。 」 “ I am being more and more convincing that the necessity of our geometry cannot be proved, at least not by human reason nor for human reason. Perhaps in another life we will be able to obtain insight into the nature of space which is now unattainable.” 高斯對幾何的深思 32 高斯： 「 當(dāng)下我們不能把幾何與本質(zhì)是先驗的算術(shù)相提並論 ， 只適宜將它與力學(xué)並列 。高維流形的內(nèi)蘊幾何是由黎曼提出的 。 在那裏高斯曲率有了明確的涵義 。 黎曼 抽象空間 （現(xiàn)代幾何學(xué)的誕生） 34 黎曼在 1852年的就職演說 在無窮小區(qū)域內(nèi)幾何諸假設(shè)是否真確 ，與空間尺度關(guān)係的本質(zhì)有關(guān) …… 要回答這個問題 ， 就必須從這些現(xiàn)象的有關(guān)概念入手 。 35 Riemann (1826 – 1866) The question of the validity of the hypothesis of geometry in the infinitely small is connected with the question of the basis for the metric relation of space…… An answer to these questions can be found only by starting from that conception of phenomena which has hitherto been approved by experience, for which Newton laid the foundation, and gradually modifying it under the assumption of facts which cannot be explained by it…… This leads us away into the domain of another science, the realm of physics. 36 黎曼的新發(fā)現(xiàn)從根本上改變了數(shù)學(xué)家對幾何的看法 。他的後繼者 Christoffel、 Ricci、 LeviCivita和 Beltrami開拓了流形上的微積分和張量分析等研究 。 Christoffel Ricci Beltrami 黎曼幾何 37 狹義相 對論 的背景 第一個對牛頓絕對空間提出具建設(shè)性質(zhì)疑的是奧地利學(xué)者馬赫 。 這 項 假設(shè) 被稱 為馬赫原理 。 不久又發(fā)現(xiàn)了麥?zhǔn)想姶欧匠倘菁{ 羅 倫玆變換為對稱群 。 其 中一個重要 的 環(huán)節(jié) 乃 是：空間和時間藉著羅倫茲變換 融合 起來了 。 愛恩斯坦寫信給 Sommerfeld: I am now working exclusively on the gravity problem… one thing is certain – that never in my life have I tormented myself anything like this. 40 引力場 、 加速度和幾何學(xué) 引力是力場的一種 ， 它使物體加速 ， 由於狹義相對論的要求 ，在速度平行的方向 ， 速度加快使長度加長 ， 在與速度垂直的方向 ，長度不變 ， 長度會在不同的方向和點改變正是黎曼幾何的特點 。 愛恩斯坦花了十年的功夫 ， 才能
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