【文章內(nèi)容簡介】 ，在邊緣灰度值 過渡比較尖銳 且圖像中 噪聲比較小時 ，梯度算子效果好。 對 1個連續(xù)圖像函數(shù) f(x,y)， 它在位置 (x,y)的梯度可表示為 1個矢量： ?????????????????????????yfxfGGyxf這個矢量的幅度 (也常直接簡稱為梯度 )和方向角分別為： 22 yx GGm a gf ????? )( f?????????? ?xyGGtanyx 1),(有時用其它方式計算幅度，如： yx GGf ???},m a x { yx GGf ??上面各式中的偏導(dǎo)數(shù)都需對一個象素位置計算，在實際中，常用小區(qū)域模板進(jìn)行卷積近似計算 梯度運(yùn)算比較復(fù)雜一點，在數(shù)字圖像梯度運(yùn)算過程中，可以按圖像內(nèi)容試用一些近似運(yùn)算，以獲得既能滿足要求又能使運(yùn)算簡單的方法。對于數(shù)字圖像，可用一階差分代替一階微分 )1,(),(),(),1(),(),(????????yxfyxfyxfyxfyxfyxfyx在數(shù)字圖像中，還經(jīng)常使用 Robert和 Sobel等算子檢測邊緣 Robert梯度采用的是對角方向相鄰兩象素之差，即 )1,(),1(),()1,1(),(),(????????yxfyxfyxfyxfyxfyxfyx－－1 1 1 － 1 Roberts模板 Sobel梯度算子先做加權(quán)平均，然后再微分，即 )]1,1(),1(2)1,1()]1,1(),1(2)1,1([),()]1,1()1,(2)1,1([)]1,1()1,(2)1,1([),(????????????????????????????????yxfyxfyxfyxfyxfyxfyxfyxfyxfyxfyxfyxfyxfyxfyx－－1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Prewitt模板 1 1 2 1 1 2 1 2 1 1 2 1 Sobel模板 水平 水平 垂直 垂直 Sobel算子是常用的，而且效果較其它兩種算子好 實例 原圖 水平方向 垂直方向 梯度 ?f ? |Gx| + |Gy| Sobel算子 Roberts算子 Prewitt算子 原圖 拉普拉斯算子 ?一階微分是一種矢量，不但有其大小，還有方向，和標(biāo)量相比較，它 數(shù)據(jù)存儲量大 ，在具有相等斜率的寬區(qū)域上，有 可能將全部區(qū)域都當(dāng)作邊緣提取出來 ? Lapplacian 算子是一種二階導(dǎo)數(shù)算子，是不依賴于邊緣方向的二階微分算子，是一個標(biāo)量而不是矢量，具有旋轉(zhuǎn)不變即各向同性的性質(zhì)，對一個連續(xù)函數(shù) f(x,y)， 它在圖像中位置 (x,y)的拉普拉斯值定義為： 22222yfxff???????拉普拉斯算子是 無方向性 的算子，它比前述計算多個方向?qū)?shù)算子的 計算量要小 ，因為只需 用一個模板 ，且不必綜合各模板的值。 在數(shù)字圖像中，計算函數(shù)的拉普拉斯也可以借助各種模板卷積實現(xiàn)。這里對 模板的基本要求 是對應(yīng) 中心象素的系數(shù)應(yīng)是正的，而對應(yīng)中心象素鄰近象素的系數(shù)應(yīng)是負(fù) 的，且所有 系數(shù)的和應(yīng)為 0，這樣就不會產(chǎn)生 灰度偏移 1 1 1 1 4 1 1 1 1 4 1 1 1 1 1 1 1 1 8 在數(shù)字圖像情況下的近似為： ),(4)1,()1,(),1(),1(),(2 yxfyxfyxfyxfyxfyxf ??????????拉普拉斯是一種二階導(dǎo)數(shù)算子，所以對圖像中的 噪聲相當(dāng)敏感 。在實際中，常常在進(jìn)行平滑操作地同時進(jìn)行二階微分，如圖所示是具有平滑效果的二階微分算子操作。 另外它常產(chǎn)生 雙象素寬的邊緣 ，且也 不能提供邊緣方向 的信息。 由于以上原因，拉普拉斯算子很少直接用于邊緣檢測，而主要用于 已知邊緣象素后， 確定 該象素是在圖像的暗區(qū)或明區(qū)一邊 。 另一方面，一階差分算子會在 較寬范圍 形成較大的梯度值，因此 不適合于精確定位 ，而利用二階差分算子 過 0點可以 精確定位邊緣 1 1 1 1 1 1 1 1 1 4 4 4 4 4 4 4 4 4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 馬爾算子 ?馬爾 (MarrHildreth)算子是在拉普拉斯算子的基礎(chǔ)上實現(xiàn)的。 ?主要得益于對人的視覺機(jī)理的研究，具有一定的生物學(xué)和生理學(xué)意義 ?在較大噪聲場合，由于微分算子會起到放大噪聲的作用，因此梯度算子和拉普拉斯算子對噪聲較敏感 ?一種改進(jìn)的方法是對圖像先進(jìn)行適當(dāng)?shù)钠交砸种圃肼?，然后再進(jìn)行求微分； ?基本原理 雖然邊緣檢測的基本思想很簡單，但在實際實現(xiàn)時卻遇到很大困難，其根本原因是實際信號都是有噪聲的，如圖所示 理想邊緣信號 有噪聲邊緣信號 如果用前面所說的一階導(dǎo)數(shù)最大值或二階導(dǎo)數(shù)過 0點的方法檢測邊緣點，檢測出的都是噪聲引起的假的邊緣點。 噪聲一般是 高頻信號 ，在噪聲前沿或后沿，噪聲信號的導(dǎo)數(shù)一般要 高于邊緣點處信號 的導(dǎo)數(shù) 解決方法－先對信號進(jìn)行 平滑濾波 ，以濾去噪聲 如平滑濾波器的沖激響應(yīng)函數(shù)用 h(x)表示，可對信號先濾波，濾波后的信號為： g(x)=f(x) ⊙ h(x) 然后再對 g(x)求一 階或二階導(dǎo)數(shù)，以檢測邊緣點 )()()()()()()()()( 39。39。39。 xhxfdssxhsfdssxhsfdxddx xhxdfxg ???????? ?? ????????可以將先平滑、后微分的兩部分運(yùn)算合并 將平滑濾波器的導(dǎo)數(shù) h’(x)稱為一階微分濾波器， h’’(x)稱為二階微分濾波器 邊緣檢測的基本方法為： 設(shè)計平滑濾波器 h(x)， 檢測 f(x) ⊙ h’(x)的局部最大值或 f(x) ⊙ h’’(x)的過 0點 平滑濾波器 h(x)應(yīng)滿足下列條件： （ 1）當(dāng) |x|→∞ ， h(x) →0 ， h(x)為偶函數(shù) （ 2） ∫∞+∞h(x)dx=1 （ 3） h(x)一階和二階可微 保證了信號經(jīng)平滑濾波器 h(x)濾波后，其均值不變 常用的平滑濾波器為高斯 (Gauss)函數(shù)： )1(21)(2)(21)(222339。39。2339。2222222???????????????xeπxheπxxheπxhxxxσ為高斯函數(shù)的方差，稱為高斯分布的 空間尺度因子 。 σ小，則函數(shù)“集中”，即僅在一個很小的局部范圍內(nèi)平滑，隨 σ的增大，平滑范圍也相應(yīng)增大，但 σ太大 ，噪聲雖然平滑了，但信號的突變部分 (即邊緣點處的信號 )也被平滑了。 Marr邊緣檢測算法 : h(x) h’(x) h’’(x) 對于二維圖像信號， Marr提出先用下述高斯函數(shù)進(jìn)行平滑： h(x,y)=exp[(x2+y2)/2?2] 對待檢測圖像 f(x,y)的平滑結(jié)果為： g(x,y)=h(x,y)⊙ f(x,y) 由于邊緣點是圖像中灰度值變化劇烈的地方，這種圖像強(qiáng)度的突變將在一階導(dǎo)數(shù)中產(chǎn)生一個峰，或等價于二階導(dǎo)數(shù)中產(chǎn)生一個 0交叉點，而沿梯度方向的二階導(dǎo)數(shù)是非線性的，計算較為復(fù)雜。 Marr提出用拉普拉斯算子來代替，即用： 2g(x,y)= 2[h(x,y)⊙ f(x,y)] =( 2h(x,y))⊙ f(x,y) 的 0交叉點作為邊緣點 這樣利用二階導(dǎo)數(shù)算子過 0點的性質(zhì)，可確定圖像中階梯狀邊緣的位置，上式中的 2h也稱為高斯 拉普拉斯 (Laplacian0fGaussian,LOG)l濾波器或算子，是一個軸對稱函數(shù)，其剖面圖如圖所示 函數(shù)在 r=177。 σ處有 0點，在 |r σ |時為正，在|r σ |時為負(fù) 由于相當(dāng)光滑，與圖像卷積，會模糊圖像，且其模糊程度正比于 σ， σ小時位置精度高，但邊緣細(xì)節(jié)變化多 )](2 1e x p [)12(1),( 222222422222 yxyxyhxhyxh ????????????????Marr所提出的邊緣檢測算子 LOG函數(shù)在 (x,y)空間中的圖形，以原點為中心旋轉(zhuǎn)對稱的 LOG濾波器具有兩個顯著的特點： （ 1） 該濾波器中的高斯函數(shù)部分能把 圖像平滑 ，有效的消除一切尺度遠(yuǎn)小于高斯分布因子 σ的圖像強(qiáng)度變化。 （ 2）該濾波器采用拉普拉斯算子 2可以減少計算量。如果使用 一階方向 導(dǎo)數(shù)，就必須沿每個 取向找出它們的峰、谷值 ；如果使用 二階導(dǎo)數(shù)就必須檢測它們的 0交叉 點。但所有的這些算子都有一個共同特點： 具有方向性，它們 全部與取向有關(guān) 拉普拉斯算子與取向無關(guān) 先用算子 2h對圖像進(jìn)行 濾波 ，再確定濾波處理后的圖像中的 0交叉點 的位置。 0交叉點的 斜率和方向 反映了原圖像邊緣的 強(qiáng)度和方向 ，因此用Marr方法求得的 0交叉點中包含了比邊緣位置更多的有關(guān)邊緣特性的信息 在具體實現(xiàn) f(x,y)與 2h之間的卷積運(yùn)算時，應(yīng)取一個N N的窗口，由于 2h有無限長拖尾，因此所用的窗口不能太小，以免過分截去拖尾，窗口的尺寸與主瓣寬度有關(guān)，窗口模板內(nèi)各系數(shù)之和應(yīng)為 0，通常 N≈3σ時，檢測效果較好。 原圖 與高斯核卷積結(jié)果 一般 0交叉點法 LOG零交叉點法 坎尼算子 ?坎尼－把邊緣檢測問題轉(zhuǎn)換為 檢測單位函數(shù)極大值的問題 。 ?一個好的邊緣檢測算子應(yīng) 具有三個指標(biāo) ： 低失誤率：既要少將真正的邊緣丟失，也要少將非邊緣判為邊緣 高位置精度：檢測出的邊緣應(yīng)在真正的邊界上 對每個邊緣有唯一的響應(yīng)，得到的邊界為單象素寬 ?坎尼提出判定邊緣檢測算子的三個準(zhǔn)則： （ 1）信噪比準(zhǔn)則 信噪比越大，提取的邊緣質(zhì)量越高，信噪比 SNR定義為： ????????WWWWdxxhdxxhxGS N R)()()(?邊緣函數(shù) 帶寬為 W的濾波器的脈沖響應(yīng) （ 2）定位精度準(zhǔn)則 邊緣定位精度 L定義為： ????????WWWWdxxhdxxhxGL)()()(239。39。39。?L越大，表明定位精度越高 （ 3）單邊緣響應(yīng)準(zhǔn)則 要保證對單邊緣只有一個響應(yīng)，檢測算子的脈沖響應(yīng) 導(dǎo)數(shù)的 0交叉點平均距離 Dzca(f’)應(yīng)滿足(h’’(x)為 h(x)的二階導(dǎo)數(shù) )： 2/139。39。239。39。)()()(???????????????????WWz c adxxhdxxhfD ?以上面的指標(biāo)和準(zhǔn)則為基礎(chǔ)，利用泛函求導(dǎo)的方法，可導(dǎo)出一個由邊緣定位精度和信噪比乘積組成的表達(dá)式，這個表達(dá)式近似于高斯函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)。 坎尼算子的基本原理 ?坎尼首次將上述判據(jù)用 數(shù)學(xué)的形式 表示出來，然后采用 最優(yōu)化數(shù)值 方法，得到了對應(yīng)給定邊緣類型的 最佳邊緣檢測模板 。 對于二維圖像，需要使用 若干方向 的模板，分別對圖像進(jìn)行卷積處理，再取 最可能邊緣 的方向 坎尼的分析針對的是 一維邊緣 ，對于 階躍形 的邊緣，坎尼推導(dǎo)出的 最優(yōu)邊緣檢測器的形狀與高斯函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)類似 ，利用二維高斯函數(shù)的 圓對稱性和可分解性 ，很容易計算高斯函數(shù)在任一方向上的導(dǎo)數(shù)與圖像的卷積 在實際應(yīng)用中，選取高斯函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)作為階躍形邊緣的次最優(yōu)檢測算子 推導(dǎo)二維次最優(yōu)階躍邊緣檢測算子的數(shù)學(xué)表達(dá)式 設(shè)二維高斯函數(shù)為 )2e x p (2 1),( 2222 ???yxyxG ???在某方向 n上 G(x,y)的一階方向?qū)?shù)為： ????????????????????????yGxGGnGnGG n??s i nc o sn將圖像 f(x,y)與 Gn作卷積，同時改變 n的方向， Gn⊙ f(x,y)取得最大值時的 n就是正交于檢測邊緣的方向 ),(),(yxfGyxfGn?????在該方向上 Gn ⊙ f(x,y)有最大輸出響應(yīng)，此時 ),(),()(s i n),()