【文章內(nèi)容簡介】 ()()(2)( ???? ???（ 249） n? ? ?＝第 2章 單自由度系統(tǒng)的振動 由（ 251）式，可見 的模 等于響應(yīng)幅值和激勵幅值 的無量綱比，即 )(?H)(?HA? ?2 221()12H ?? ? ????????稱為 幅值因子 或 振幅放大因子 。 （ 253） ()( ) ( )()( ) ( ) ( )sFtx t k x tHf t F t F t? ? ? ?響 應(yīng) ＝激 勵（ 252） 這表明復(fù)頻響應(yīng)是彈簧力與實際的外激勵 的無量綱比。這里 中的 是由靜平衡位置算起的。 )(tF)(tF )(tx由（ 250）、（ 251）式 單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動 n? ? ?＝第 2章 單自由度系統(tǒng)的振動 單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動 幅頻響應(yīng) 曲線 ? 阻尼使系統(tǒng)的振幅值減小， ? 阻尼使峰值相對于 ?/?n=1 的位置左移。 ? 對 (253)求導(dǎo)，并令其等于零，得到幅值最大點的 ω 212n? ? ???（ 254） ? ζ=0時 ,系統(tǒng)就是 簡諧振子 。 ? 當(dāng)驅(qū)動頻率 ω=ωn時 共振 。 ? ω/ωn1， |H(?)|≈1。 ? ω/ωn1， |H(?)|→ 0。 ? ? =c/2m?n=c/ccr,系統(tǒng)實際阻尼與臨界阻尼之比 。 ? 共振區(qū)附近阻尼作用顯著 ，遠(yuǎn)離共振區(qū) ， 作用很小 。 第 2章 單自由度系統(tǒng)的振動 單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動 12Q ?＝（ 255） ? 品質(zhì)因子 Q： 共振時的放大因子 ? 幅頻曲線上 ， ?/?n=1兩側(cè)的曲線可近似看成是對稱的。 ? 在兩側(cè)取放大因子為 的兩個點 ?1/?n和 ?2/?n為 半功率點。 ? 帶寬： 半功率點所對應(yīng)頻率之差。 ? 若 ? 很小，帶寬 2Q/21 2 n? ? ? ? ?? ? ? ?（ 256） 2112nnQ ??? ? ? ?? ? ???2 2 20 .7 0 7 122 ( 1 ) ( 2 )? ? ? ??? ??Q 2 221 22( 1 2 ) 2 1 1 2? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?半功率點關(guān)于 ?＝ 1對稱，所以?1+?2=2?n 222 1 2 122 ( )4nn? ? ? ????????第 2章 單自由度系統(tǒng)的振動 單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動 ? 阻尼大，帶寬就寬；過共振點時振幅變化平緩，振幅較小。 ? 阻尼小，帶寬就窄；過共振點時振幅變化陡，振幅較大。 ? Q反映了系統(tǒng)阻尼的大小，及共振峰的陡峭程度。 ? 機(jī)械系統(tǒng)中，為平穩(wěn)通過共振，希望 Q值小些（阻尼大些）。 12nQ ????? ?第 2章 單自由度系統(tǒng)的振動 單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動 ??? ieHH ?? )()( （ 258） 這里 122ta n1???????（ 259） ? ? ? ?? ???? ?? ??? titi e)(HARee)(AHRe)t(x （ 260） ? 相角 φ 21()12H i? ? ? ?? ??n???? 2( ) R e 12itAext i?? ? ??????????前面得到 第 2章 單自由度系統(tǒng)的振動 單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動 ? ω /ωn=1處通過共同點 ?=?/2， 與阻尼大小無關(guān) （ 共振時的共同特征 ） 。 ? ζ=0, 隨 ω/ωn變化 , 曲線在 ω/ωn=1處間斷。 從 ω/ωn1的 φ= 0 跳到 ω/ωn＞ 1時的φ=π 。 ? ω/ωn＜ 1, ω/ωn減小 ， 相角趨于零 ? ω/ωn＞ 1， ω/ωn增大 ， 相角趨于 π 簡諧激勵的相頻曲線 ? 即 ω/ωn＜ 1時響應(yīng) 同相 ， ω/ωn＞ 1時響應(yīng) 反相 。 第 2章 單自由度系統(tǒng)的振動 對于簡諧振動，當(dāng) ω→ ωn時， x→∞ 。 ? ? 21( ) R e1itnx t A e ?????? ?????（ 261） 單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動 無阻尼 第 2章 單自由度系統(tǒng)的振動 單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動 sgn( ) 0dm x f x k x? ? ? ( 0 ) ( 0 )m x k x m g xm x k x m g x??? ? ? ?? ? ?2222( 0 ) ( 0 )n n Dn n Dx x x xx x x x????? ? ? ?? ? ?? 考慮摩擦阻尼的 SDOF自由振動 ? 常見，非線性 m k x m v fs fd fs＝ kx fd＝ ? mg （與運(yùn)動方向相反） 令 2||dDnf gxk????第 2章 單自由度系統(tǒng)的振動 單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動 2222( 0 ) ( 0 )n n Dn n Dx x x xx x x x????? ? ? ?? ? ?1 = nt ??解：設(shè)初始位移足夠大，彈簧恢復(fù)力超過靜摩擦力，開始運(yùn)動。 1） x(0)=x0, v(0)=0. 運(yùn)動從右向左。 v 0 求解 0( ) ( ) si nn D nx t x x t??? ? ?220 ( 0 )( 0 ) , ( 0 ) 0n n Dx x x xx x x??? ? ???10( ) ( 2 )Dx t x x? ? ?0( ) ( ) c o sD n Dx t x x t x?? ? ?平均響應(yīng) xD加上簡諧振動 （ I） 是滿足速度為零（將變號）的最小時間 此時 第 2章 單自由度系統(tǒng)的振動 單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動 0( ) ( 3 ) c o sD n Dx t x x t x?? ? ?20( ) 4 Dx t x x??2) 若 x(t1)足夠大，彈簧恢復(fù)力 大于 靜摩擦力，則 從左向右 運(yùn)動 221 0 1( ) ( 2 ) , ( ) 0n n DDx x xx t x x x t????? ? ? ?(0) 0x ? 求解 初始條件 平均響應(yīng) xD，（ II）比（ I）的幅值減小了 2xD （ II） t=t2＝ 2?/?n，速度再次為零，（ II）式成立的時間： t1≤t≤t2 只要彈簧恢復(fù)力 大于 靜摩擦力，則上述過程不斷重復(fù) 第 2章 單自由度系統(tǒng)的振動 單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動 ? 運(yùn)動模式 – 系統(tǒng)運(yùn)動＝頻率為 ?n的簡諧運(yùn)動＋定常分量（解的平均值） – 每半個周期，解的平均值在 xD到 xD之間交替變化 – 每半個周期，解的幅值減小 2xD＝ 2? mg/k – 對于摩擦阻尼，振幅衰減是線性的，而粘性阻尼，衰減是指數(shù)形式。 – 位移不足以產(chǎn)生足夠的恢復(fù)力時，運(yùn)動停止 – 令 n等于運(yùn)動停止前的那半個周期，那么 n是滿足下式的最小整數(shù)解： x0－ (2n1)xD (1+?s /?) xD ?s：靜摩擦系數(shù) 4xD xD xD 第 2章 單自由度系統(tǒng)的振動 單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動 特解 ttAtx nn ?? s i n2)( ?（ 263） ? 幅值隨時間線性增加的振蕩響應(yīng)，隱含了隨著時間的增大，解將趨于無窮。在工程上，共振是很危險的狀態(tài)，一定要避免。 簡諧振子的共振響應(yīng) ? 有阻尼單自由度系統(tǒng)的總響應(yīng)＝自由響應(yīng)＋強(qiáng)迫響應(yīng)。 ? 簡諧振子的共振響應(yīng) tAtxtx nnn ??? c o s)()( 22 ???? （ 262） 運(yùn)動方程 第 2章 單自由度系統(tǒng)的振動 例 有兩個帶有偏心的質(zhì)量 m/2反向旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角速度為常數(shù) ?，不平衡質(zhì)量的垂直位移為 x+lsin?t， x由靜平衡算起。求 x(t)。 解 :系統(tǒng)的運(yùn)動方程 : 2222( sin )( ) 0d x d x l t dxM m m c k xdt dt dt??? ? ? ? ?簡化為 : ? ?tiemltmltkxtxctxM ???? 22 Ims i n)()()( ???? ??? 單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動 ? ?22( ) I m ( ) ( ) s i n ( )itnnmmx t l H e l H tMM???? ? ? ? ????? ? ? ???? ? ?? ? ? ?? ? ? ???2n km? ?響應(yīng) 第 2章 單自由度系統(tǒng)的振動 單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動 相角 φ由（ 238）式給出 )s i n ()( ?? ?? tXtx響應(yīng)幅值 )(2??? HMmlXn?????????無量綱比 )(2??? HmlMXn?????????Mxml? 激振力幅值可變，與轉(zhuǎn)速平方成正比 ? ?1,Mx/ml→ 0 ? ?1,Mx/ml→ 1 ? 振動振幅與初始條件無關(guān) ?初始條件至影響瞬態(tài)響應(yīng) 第 2章 單自由度系統(tǒng)的振動 單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動 ? 基礎(chǔ)激振 解 :運(yùn)動微分方程 : 基礎(chǔ)振動 ? ? ? ? 0m x c x y k x y? ? ? ? ?簡化為 : yyxxx nnnn 22 22 ?????? ???? ????設(shè)基礎(chǔ)作簡諧運(yùn)動 : ? ?tiAety ?Re)( ?系統(tǒng)響應(yīng) 212( ) R e 12 itix t A ei ???? ? ????? ??????n? ? ??? 基礎(chǔ)運(yùn)動相當(dāng)于系統(tǒng)上施加了 兩個 激振力 ? 兩者相位不同 第 2章 單自由度系統(tǒng)的振動 將 寫成 )(tx? ?1c o s)( ?? ?? tXtx那么 ? ?? ?? ?222 22121 2 ( )12X A A H??? ? ?? ? ??? ? ???????? ?311 222ta n12???? ? ?????振幅放大因子 ? ? 21 2 ( )X HA ? ? ??? 單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動 第 2章 單自由度系統(tǒng)的振動 單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動 XA? ， X/A=1 ? ?sqrt(2), 振幅小于基礎(chǔ)運(yùn)動振幅，阻尼大的系統(tǒng)振幅反而大 ? 支承運(yùn)動還可以用速度或加速度表達(dá)。 2??第 2章 單自由度系統(tǒng)的振動 系統(tǒng)對周期激勵的響應(yīng) 在工程振動中 ， 也遇到大量其他類型的非簡諧周期激勵 。 F(t)=F(t+kT), k=1,2,3… ..， 可以寫成 ? ?0 001( ) ( ) c o s s in2 pppaF t k f t k a p t b p t??????? ? ? ??????T?? 20 ? （ 272） 2022022022()2( ) c o s 0 , 1 , 22( ) s in 1 , 2 , 3TTTTpTTpa f t d tTa f t p td t pTb f t p td t pT?????????????（ 273） 單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動 第 2章 單自由度系統(tǒng)的振動 系統(tǒng)運(yùn)動方程 ? ?22 0 0012 c o s s in2n n n p ppax x x a p t b p t? ? ? ? ? ?????? ? ? ? ??????? a0是常力，只影響系統(tǒng)的靜平衡位置，只要坐標(biāo)原點取在靜平衡位置，該項就不會出現(xiàn)。 ? 系統(tǒng)響應(yīng)分為：齊次解 /瞬態(tài)解，非齊次解 /穩(wěn)態(tài)解 ? 穩(wěn)態(tài)響應(yīng) 單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動 002221c o s ( ) s in ( )()1 ( 2 )p p p ppppa p t b p txt ? ? ? ?? ? ???? ? ????????? 1 22ta n 1 ppp???????0pnp???＝? 當(dāng)某個