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正文內(nèi)容

[經(jīng)濟學]第12講求導法則(編輯修改稿)

2025-02-15 16:29 本頁面
 

【文章內(nèi)容簡介】 s ?x2sin1??x2csc?? )c o t1( 2 x???。求 yxy ?? , c o txx s in)( c o s ? )( s inc o s ?? xxx2sinxx 2s in1)( c ot ??? x2c sc?? )c o t1( 2 x???例 11 設函數(shù) v(x) 可導 , 且 v(x) ? 0, 證明 令 u(x) =1, )( )()(1 2 xv xvxv ??????????證 由商的導數(shù)公式 , 得 )()(1)()1()(12 xvxvxvxv????????????)()(2 xvxv???例 12 )( ??? ? xeyxxee2??解 . , yey x ?? ? 求???????? xe12)()(1)1(xxxeee ??????xx ee????? 1例 13 )( s e c ??? xyxx2c oss in???. , s e c yxy ?? 求解 : ???????? xc o s1xx2c os)(c o s ???xx s e ct a n? s e ct a n)( s e c xxx ??例 14 點 (x, y) 處的切線相同 . y ? T A(x,y) x x O ? y 若 y = ? (x) 的反函數(shù) x = f (y) 存在 , 則 x = f (y) 與 y = ? (x) 的圖形相同 , 故 x = f (y) 與 y = ? (x) 在 ? 是 y = ? (x)的圖形與 x 軸正向的夾角 . ? 是 x = f (y)的圖形與 x 軸正向的夾角 . )(39。t a n yf?? 2 ??? ??三 .反函數(shù)的導數(shù) ????? )2t a n (t a n)( ???yf) 0)(( ?? x? 反函數(shù)的導數(shù)是其直接函數(shù)導數(shù)的倒數(shù) . )(1t a n1c o tx??? ????)(1)(yxf ? ???定理 設單調(diào)函數(shù) x = ? (y) 在區(qū)間 I 內(nèi)可導 , ??(x) ? 0 , 某區(qū)間 J 內(nèi)單調(diào)、可導 , 且 該定理說明:一個函數(shù)單調(diào)、連續(xù)、可導 , 則它的反函數(shù)存在 , 且單調(diào)、連續(xù)、可導 . 則它的反函數(shù) y = f (x) 在相應的 這里仍指嚴格單調(diào) 它是 x = sin y 的反函數(shù) 22 )( ?? ??? y且導數(shù)不為 0, 上單調(diào)、連續(xù)、可導 , 又 yxxyxydd1dd)( a r c s i n ?????故 。求 yxxy ????? , )11( a r c s i n解 sin 在 y x = 2 ,2 )(???yy c os1)(s i n1 ??? 你覺得做完了嗎? 例 15 而 于是 22 1s i n1c os xyy ????211c o s1)(arcs i nxyxy??????)11( ??? x 1)1( 11)( a r c s i n 2?????? xxx。求 39。 ),11( ,a r c c o s yxxy ????它是 x = cos y , , ),0( 的反函數(shù)??y 0s i n)(c osdd ????? yyyx解 例 16 c os ( 0 , ) , x y ??又 在 內(nèi)單調(diào)、連續(xù)、可導 且故 )( c o s1dd1dd)( a r c c o s???????yyxxyxy )11( 11)( a r c c os 2??????? xxx22 11c os11s i n1xyy ????????)11( ??? x ,2,2 , t a n )( 的反函數(shù)它是 ????? yy x又 0t a n1)(t a n 2 ???? yy故 )(t a n1)(a rc t a n?????yxy),( ?????x解 。求 yxxy ???????? ),( ,a r c t a ny2t a n11? 211x??例 17 x=t a ny ,且 滿足定理的條件 ),( 1 1)( a r c t a n 2 ???????? xxx類似可得 ),( 1 1)a r c c ot( 2 ????????? xxx四 .復合函數(shù)的導數(shù) 且 )())(()))((( xxfxf ??? ????xuuyxydddddd ?或 定理 設 u = ? (x) 在點 x 處可導 , y = f (u) 在對應 點 u ( u = ? (x) ) 處也可導 , 復合函數(shù) y = f (? (x)) 在 U(x) 內(nèi)有定義 , 則 y = f (? (x)) 在點 x 處可導 , Q y = f (u) 在相應點 u 處可導 , ? uuufuuufy ??????????? ?)()o()(( 當 ?u? 0, ? ? 0 ) 以 ?x 除上式 , 得 xuxuufxy????????? ?)(證 給 x 以增量 ?x, 相應地 u = ? (x) 有增量 ?u, 對于 ?u, y = f (u) 有增量 ?y.
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