[經(jīng)濟(jì)學(xué)]第12講求導(dǎo)法則-wenkub
2023-02-03 16:29:23 本頁(yè)面
【正文】 均可導(dǎo) , 則 )()()()())()(( )2( xvxuxvxuxvxu ?????)()()()()()()( )3(2 xvxvxuxvxuxvxu ????????????? )0)(( ?xv( 1 ) ( ( ) ( ) ) ( ) ( ) ,u x v x u x v x? ? ?? ? ????????nininii xuxuxuxuxu1211)()()()())(( ???????nininii xuxxuxuxuxux 1 211 )(d)(d)( )()(dd ??)()()()( 211xuxuxuxu nnii ????.推廣至有限個(gè)可導(dǎo)函數(shù)的情形 : 11( ( ) ) ( ) ,nniiiiu x u x???????11d ( )d ()ddnniiiiuxuxxx?? ???( ) , ( )u x v x x( ) ( )y au x bv x?? x[ ( ) ( ) ] ( ) ( )y au x bv x au x bv x? ? ? ?? ? ? ?代數(shù)和函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 在點(diǎn) 處可導(dǎo)， a， b為常數(shù)， 在點(diǎn) 處也可導(dǎo)， （可推廣到有限個(gè)代數(shù)和） 定理 ： 設(shè)函數(shù) 則線(xiàn)性函數(shù) 且有 )()())()(( xvxuxvxu ??????xxvxuxxvxxuxvxux ?????????????))()(())()((l i m ))()(( 0xx ?? ?? l i m0xxuxxux ???????)()(lim0)()( xvxu ????xxvxxvx ???????)()(l i m0))()(( xuxxu ??? ))()(( xvxxv ????證： 解 0)s i n(c o s2 ????? xxxxxx s i nc o s2 ???。求 , 1c o ss i n2 yxxxy ?????)( 2 ??? xy )( si n ?? x )( c o s ?? x )1( ??例 5 ，設(shè) nnnnn axaxaxaxay ?????? ??? 121110 ?)()()()()( 122110 ???????????? ??? nnnnn axaxaxaxay ?10 ?? nxna。求 , )3)(2)(1( 3?????? xyxxxy解 )3)(2)(1( ???? xxx′ ′ ′ 例 10 ( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) ( ) ( 3 )y x x x G x x? ? ? ? ? ?( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) ( ) ( 3 )( ) ( 3 ) ( )y x x x g x xy g x x g x? ? ? ? ? ???? ? ?3 ?xy ??( ) , ( )u x v x x()()uxyvx? x2( ) ( ) ( ) ( ) ( )[]( ) ( )u x u x v x u x v xyv x v x?? ?????商的函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 在點(diǎn) 處可導(dǎo)， 在點(diǎn) 處也可導(dǎo)， 定理 ： 設(shè)函數(shù) 則函數(shù) 且有 故 )()()()()()()(2 xvxvxuxvxuxvxu ??????????? )0)(( ?xv,)( )()( xv xux ??令)()()()()( xvxxvxxu ????? ??)()()()()(xvxvxxux ????? ?? )0)(( ?xv, )( 可導(dǎo)則 x? ),()()( xvxxu ??且)()()()()(2 xvxvxuxvxu ???? 用乘法公式證明除法公式 )( c o t ??? xyxxx222s i nc oss i n ???解 ????????xxs inc os ?x2sin1??x2csc?? )c o t1( 2 x???。求 39。 設(shè) f (x) 為 (– a, a) 內(nèi)的偶函數(shù) , 則 f (?x) = f (x). )()()())(( xfxxfxf ????????????Q)()( xfxf ???即偶函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是奇函數(shù) . 同理可證 , 奇函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是偶函數(shù) . 證 )()( xfxf ?????例 28 ))(()( ???? xfxf而五. 隱函數(shù)的求導(dǎo)法則 F ( x, f (x) ) ? 0 對(duì)上式兩邊關(guān)于 x 求導(dǎo)： 0),(dd ?yxFx然后 , 從這個(gè)式子中解出 y ?, 就得到隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù) . 方法： 則將 y = f (x) 代入方程中 , 得到 如果由方程 F(x, y) = 0 確定隱函數(shù) y = f (x) 可導(dǎo) , 求由方程 0),( ???? yx eexyyxF ( x ? 0 ) 所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù) y?, 并求 .0?? xy 方程兩邊關(guān)于 x 求導(dǎo)： 0?????? yeeyxy yx故 xeyeyyx????由原方程可得： F(0, y) = 0?y ? e0 + ey = 0 從而 00 ??xy解 例 29 1 00 ???????xyxx xeyey故 求橢圓 . ),( 1 002222處的切線(xiàn)方程在點(diǎn) yxbyax ??對(duì)方程兩邊關(guān)于 x 求導(dǎo) 得
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