【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 rad/s, Ωs1=2π 980rad/s, Ωs2= 2π 1020rad/s,Ωu=2π 1105rad/s,αp=3dB, αs=25dB。 試設(shè)計(jì)巴特沃斯帶阻濾波器 。 解： (1) 模擬帶阻濾波器的技術(shù)要求： Ωl=2π 905,Ωu=2π 1105。 Ωs1=2π 980,Ωs2=2π 1020。 Ω20=ΩlΩu=4π+2 1000025, B=ΩuΩl=2π 200。 ηl=Ωl/B=,ηu=Ωu/B=。 ηs1=Ωs1/B=,ηs2=。 η20=ηlηu=25 (2) 歸一化低通的技術(shù)要求： 222101 , 5 , 53 , 25sp s ssps dB dB?? ? ?????? ? ? ? ????(3)設(shè)計(jì)歸一化低通濾波器 G(p): 0. 10. 1210 110 1lg , 2lg1()21psspssppspspkkNNGppp????????????? ? ? ???? (4) 帶阻濾波器的 H(s)為 2204 2 2 4004 2 2 2 2 2 40 0 02( ) ( )2 ( 2 ) 2sBp ssssH s G ps B B s B s? ??? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ?64 沖激響應(yīng)不變法 AF設(shè)計(jì)完畢以后，還應(yīng)將 變換成 H(z)，也就是將 S平面映射到 Z平面。通常有三種方法： （ 1） 沖激響應(yīng)不變法 ； （ 2） 階躍響應(yīng)不變法 ； （ 3） 雙線性變換法 。 )S(Ha一、變換原理 h(n)為 DF的單位沖激響應(yīng)序列， 為 AF的 沖激響應(yīng)，沖激響應(yīng)不變法就是使 h(n)正好等于 的抽樣值，即 如果 則有 上式表明，先對(duì) 沿虛軸作周期延拓，再經(jīng)過(guò) 的映射關(guān)系映射到 Z平面。 二、混迭失真 DF的頻響并不是簡(jiǎn)單的重復(fù) AF的頻響，而是 AF 的頻響的周期延拓 ，即 )t(ha)t(ha )nT(h)n(h a?)],n(h[Z)Z(H)],t(h[L)S(H aa ???????? ??kaeZ kTjSHTzH ST )2(1)( ?)S(Ha STeZ ??????? ????haj )Tk2j(HT1)e(H?根據(jù)取樣定理，只有當(dāng) AF的頻響帶限于折疊頻率以內(nèi) 時(shí)，即 才能使 DF在折疊頻率 內(nèi)重現(xiàn) AF的頻響，而不產(chǎn)生混 疊失真。但是，任何一個(gè)實(shí)際 AF的頻響卻不是嚴(yán)格帶 限的，就會(huì)產(chǎn)生 混迭 失真，如下圖 2T,0)j(HSa????????)T/j(H a ????? 0 ??2 ?2三、 AF的數(shù)字化方法 一般方法 。先 ，再對(duì) 抽樣，使 ，最后 H(z)=Z[h(n)]，一般說(shuō)來(lái) 過(guò)程復(fù)雜。 方法的簡(jiǎn)化 設(shè) 只有單階極點(diǎn)，而且分母的階次大于分 子的階次， 可展成如下的部分公式 )Z(H)S(H a ? )]S(H[L)t(h a1a ?? )t(ha)nT(h)n(h a?)S(Ha)S(Ha?? ??N1k kka SSA)S(H??? ???N1ktSka1a )t(ueA)]S(H[L)t(hk因此， ? ?? ????N1kN1knTSknTSka )n(u)e(A)n(ueA)nT(h)n(hkk????????nnZ)n(h)]n(h[Z)Z(H? ??? ???0nN1kkn1TS A)ze( k? ??????N1k 0nn1TSk )ze(Ak?????N1k1TSkZe1Ak幾點(diǎn)結(jié)論 （ 1） S平面的單極點(diǎn) 變?yōu)?Z平面單極點(diǎn) 就可求得 H(z)。 （ 2） 與 H(z)的系數(shù)相同，均為 （ 3） AF是穩(wěn)定的， DF也是穩(wěn)定的。 （ 4） S平面的極點(diǎn)與 Z平面的極點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)，但兩 平面并不一一對(duì)應(yīng)。 例如，零點(diǎn)就沒(méi)有這種對(duì)應(yīng)關(guān)系。 修正的 H(z) 由于 DF的頻響與 T成反比，當(dāng) T很小時(shí)， DF的增益 過(guò)高，這樣很不好，為此做如下修正： kSS ?TS keZ ?) S( HakA)nT(Th)n(h a??????N1k1TSkZe1TA)Z(Hk????????? ??????kaaj ),Tj(H)kT2jTj(H)e(H[例 ] AF的系統(tǒng)函數(shù)為 ， 試用沖激響應(yīng)不變法設(shè)計(jì) IIRDF， T=1。 解： 設(shè) T=1， 3S11S1)S(Ha ????T31T1 eZ1TeZ1T)Z(H???? ????42311311T3111 eZ)ee(Z1)ee(ZeZ11eZ11)Z(H???????????? ?????????0 8 3 1 5 6 7 ,0 4 9 7 8 9 0 6 ,3 6 7 8 7 9 4 4 431 ??? ???211)Z(H?????? 例 已知模擬濾波器的傳輸函數(shù) Ha(s)為 用脈沖響應(yīng)不變法將 Ha(s)轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù) H(z)。 解 : 首先將 Ha(s)寫成部分分式： 20 . 5 0 1 2()0 . 6 4 4 9 0 . 7 0 7 9aHs ss? ??0 . 3 2 2 4 0 . 3 2 2 4()0 . 3 2 2 4 0 . 7 7 7 2 0 . 3 2 2 4 0 . 7 7 7 2ajjHss j s j???? ? ? ?極點(diǎn)為 12( 0 .3 2 2 4 0 .7 7 2 ) , ( 0 .3 2 2 4 0 .7 7 7 2 )s j s j? ? ? ? ? ?那么 H(z)的極點(diǎn)為 1212 ,s T s Tz e z e??按照 ()式 ， 并經(jīng)過(guò)整理 ， 得到 設(shè) T=1s時(shí)用 H1(z)表示 ， T= H2(z)表示 ， 則 11 1212 120 .3 2 7 6()1 1 .0 3 2 8 0 .2 4 70 .0 4 8 5()1 1 .9 3 0 7 0 .9 3 7 5zHzzzzHzzz???????????? 轉(zhuǎn)換時(shí) ， 也可以直接按照 (),()式進(jìn)行 轉(zhuǎn)換 。 首先將 Ha(s)寫成 ()式的形式 ， 如極點(diǎn) s1,2=σ1177。 jΩ1,則 112 2 2 21 1 1 1 10 . 5 0 1 2( ) 0 . 6 4 4 9( ) ( )aHs ss??????? ? ? ? ? ? ?再按照 ()式 ， H(z)為 111112121sin( ) 0 . 6 4 4 91 2 co sTTTz e THzz e T z e???????????? ? ?圖 例 65 雙線性變換法 通常，信號(hào)大都為時(shí)限的，據(jù)信號(hào)理論可知，時(shí)限信號(hào)變換到 頻域， 將變成非帶限信號(hào)，系統(tǒng)也遵循這一原則。這樣當(dāng)用沖激 響應(yīng)不變法設(shè)計(jì) DF時(shí)，不可避免的產(chǎn)生混疊失真。為了克服混疊 失真，可采用 雙變換 法。這種方法的基本思想是，先將 S平面中 非帶限的所設(shè)計(jì)的系統(tǒng)函數(shù)變換到 平面，并使其為帶限的，然 后再轉(zhuǎn)換到 Z平面。 1S一、變換原理 在 S平面與 Z平面的映射關(guān)系中 ,我們知道， S平面中一條寬為 （如 到 ）的橫帶就可以變換到整個(gè) Z平 面 .因此，可先將整個(gè) S平面壓縮到一個(gè)中介的 平面的一條橫帶里，再通過(guò) 將此橫帶變換到整個(gè) Z平面上。這樣就 使 S平面和 Z平面是一一映射關(guān)系。如下圖所示： 1ST?2 T?T??TSeZ 1? 時(shí)，將由 經(jīng)過(guò) 0變到 由上圖可知，將 S平面進(jìn)行壓縮，實(shí)際上，就是將其 軸壓縮到 平面的 軸上的 到 的范圍內(nèi)。這可通過(guò) 正切變換實(shí)現(xiàn)： 1S?j1?jT?T??)2( 1 TtgC ???? 其中 C為任意常數(shù)。由上式可知，當(dāng) 由 經(jīng)過(guò) 0變到 1?T?? T??? ??通過(guò)歐拉公式，可得： CeeeejTjTjTjTj???????????22221111 上式表示兩個(gè)線性函數(shù)之比，稱作線性分式變換，若用 S表示 Z，可得： 將上式關(guān)系延拓到整個(gè) S和 平面，則有： 1SCeeS TSTS???? ??1111借助于 平面和 Z平面的映射關(guān)系： ，可以得到： 1S TSeZ 1?111111??????????ZZCZZCSSCSCZ??? 可見(jiàn)，也是線性分式變換（函數(shù)），這樣 ( )間的變換是 雙向 的，故稱作雙線性變換 ZS ?二、 S平面與 Z平面的映射關(guān)系 由于 ??????????jCjCSCSCZ??可得： 2222_)(_)(?????????CCZ（ 1）當(dāng) 時(shí)， ；這就是說(shuō)， S平面的 軸映射 Z平 面的單位圓上。 0?? 1?Z ?j（ 1）當(dāng) 時(shí)，上式的分母大于分子，則有 ；這表明 S左半平面映射到 Z平面的單位圓內(nèi)。兩者均是穩(wěn)定的。 0?? 1?Z三、 變換常數(shù) C的選擇 由于 ，所以只有當(dāng) 很小 （一般 ）， 和 之間才存在線性關(guān)系，即： )2( 1 TtgC ???? T1?? ?? T ? 1?21TC ??? AF和 DF在低頻處有較確切的對(duì)應(yīng)關(guān)系，則選擇 1???這時(shí)有 ，即 211 TC ?????TC 2? DF的某一穩(wěn)定頻率（如 ）與 AF的一特定頻 c?嚴(yán)格相對(duì)應(yīng)，則有 )2()2( 1 ccc tgCTtgC ???????Tcc 1???率 即 2cc c t gC???四、雙線性變換的特點(diǎn) 1。 S平面的虛軸（ ）映射到 Z平面的單位圓上 。這是因?yàn)? 時(shí)，不管常數(shù) C為何值， 均為 1。 ?j0?? Z2。 穩(wěn)定的 AF，經(jīng)雙線性變換后所得 DF也一定是穩(wěn)定的 ，這是 因?yàn)榉€(wěn)定的 AF，其極點(diǎn)必全部位于 S的左半平面上，經(jīng)雙線性變 換后，這些極