【文章內容簡介】 ，則稱 R關于 具有 代換性質 。 (2)若 R關于每個 都有代換性質，則稱 R為 上的 同余關系 。 ??? 1 1 2 2, , , , , ,nna b a b a b G????? ?, nna R b????? 1 2 1 2( , , , ) ( , , , )nna a a R b b b????? ??? ? ? ??? ????? ,G? ??同余關系 例：考察代數系統 ，其中 I是整數集合， *是個一元運算，并定義成 ,I? ??2( ) ( ) ( m od )i i m??設 R是 I中的這樣一個關系 :當且僅當 時，有 。試證明 R是代數系統 中的同余關系。 12( ) ( m od ) ( ) ( m od )i m i m?12iRi ,*I??解：不難看出，這里 R是一種等價關系。設 且滿足 ,因此可有 ，并可寫出 和 ，這里 。于是可寫出 12,i i I?12iRi 12( ) ( m od ) ( ) ( m od )i m i m?11i a m r?? 22i a m r?? 0 rm??同余關系 22112 2 2112( ) ( m od ) ( ( ) ) ( m od )( 2 ) ( m od )( ) ( m od )i m a m r ma m a m r r mrm??? ? ??222 2 2222( ) ( m od ) ( ( ) ) ( m od )( 2 ) ( m od )( ) ( m od )i m a m r ma m a m r r mrm??? ? ??所得結果說明， 。所以， R是代數系統 中的同余關系。 12* ( ) * ( )i R i,*I??同余關系 例：設 ，驗證 是 上的同余關系。 mI?? m? ,I? ? ?解：顯然關系 是個等價關系，故只要驗證 關于 +和 具有代換性質即可。 m? m?對任意的 ,若 且 ，即存在 使 1 1 2 2, , ,x y x y I? 11mxy? 22mxy?,p q I?1 1 2 2 , x y p m x y q m? ? ? ?而 1 2 1 2 1 1 2 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x x y y x y x yp m q mp q m? ? ? ? ? ? ?????所以， 關于 +滿足代換性質。 m?同余關系 同理， 2 2 1 2 1 2 2 1 1 21 2 1 2( ) ( ) ( ) ( ) + ( ) ( ) x x y y x x y x y yx m q p m y m x q p yp q m? ? ? ? ?? ? ???所以， 關于 也滿足代換性質。 m?同余關系 定理：設 f是 到 的同態(tài)，定義 G1上的關系 Rf如下：對任意的 ， 當且僅當f(x1)=f(x2)，則 Rf是 上的同余關系。 11,VG? ? ? ? 22,UG? ? ? ?1 2 1,x x G? 12fx R x11,VG? ? ? ?定理：設 是 到 的同態(tài)，定義 上的關系 如下：對任意的 ， 當且僅當，則 是 上的同余關系。證：顯然， Rf是 G1上的等價關系。下面證明 Rf關于每個 滿足代換性質。 1???任取 ，若 和 ，則有 1??? 1 1 2 2 1, , , , , ,nna b a b a b G????? ?1 1 2 2, , ,f f n f na R b a R b a R b?????( ) ( ) 1 , 2 , ,iif a f b i n ?? ? ???(轉下頁 ) 同余關系 因為 12121212( ( , , , ) )( ( ) , ( ) , , ( ) )( ( ) , ( ) , , ( ) )( ( , , , ) )nnnnf a a af a f a f af b f b f bf b b b????????? ??? ?? ? ??? ?? ? ??? ?? ? ??? ?故 1 2 1 2( , , , ) ( , , , )n f na a a R b b b????? ? ? ? ? ? ? ? ? ?因此， Rf是 上的同余關系。 11,VG? ? ? ?這個定理說明，如果存在 到 的同態(tài)，則可以定義相應于這一同態(tài)的同余關系。 11,VG? ? ? ? 22,UG? ? ? ?第六章 代數系統 ? ? ? ? ? 定義： 設 R為代數系統 上的同余關系，代數系統 稱為 關于 R的 商代數 ，其中 ，對于每個 ，與 同型的 運算定義為：對任意的 ,有 ,VG? ? ??/, RGR? ? ? ,VG? ? ??{ | }RR??? ? ? ? ???R??? ? ? ?12, , . nRR Rx x x G R?????? ???? ? ? ?1 2 1 2( , , . ) ( , , )R n nRR RRx x x x x x???? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?商代數 為了保證 確實是一個代數系統，必須驗證每個 是良定的，即 與等價類中代表元素 的選取無關。 /, RGR? ? ?RR? ?? ? ? ? ?12( , , . )RnRR Rx x x ?? ??? ??? ???12, nx x x ????任取 ,則有 ，而 R是 上的同余關系，所以 ? ? ( 1 , 2 , , )ii Ry x i n ?? ? ??? ( 1 , 2 , , )iix Ry i n ?? ???,G? ??1 2 1 2[ ( , , , ) ] [ ( , , , ) ]n R n Rx x x y y y????? ? ? ? ?定義：設 R是集合 G上的等價關系，定義函數 g: G→ G/R為 ，稱 g為 G到 G/R的 正規(guī)映射 。 ( ) [ ] Rg x x?商代數