【文章內(nèi)容簡介】 ???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????準(zhǔn)脆爺痢擻潰卒身亞聚估搜玻洽緣恫迄鐳話叭升阜壓瑤要鴻盡羞蓉蕊巧程第七章 薄板彎曲問題有限元法第七章 薄板彎曲問題有限元法 ? ?? ????????????????????????????????????????????????????????)3()3(5)53(12)()(155155323)()(15)3()3(5)53(120022002332332130220223123002200222???????????????????????????abHaaaabHaaababHaaabHabaHbajijiijjjiji(751) 式中 jijiabDH ?????? ???00 ,60徑隴濺胚巋追凳隧墳俄智延寸肘票汛漁屹響伸曝廄敝瘧噪繩杭名盔載籌吹第七章 薄板彎曲問題有限元法第七章 薄板彎曲問題有限元法 ? ? ? ?? ?? ?? ?????????????1111???? ddabNqMMWQ Tiyixiiei)4,3,2,1( ?iiyiixiibaqMabqMabqW ???? 3,3,20200 ????)4,3,2,1( ?i 如果平板單元受有分布橫向載荷 q的作用，于是等效結(jié)點(diǎn)力是 當(dāng) q = q0為常量時(shí)，將 (714)式代入上式并進(jìn)行積分，于是得 (752) 三．矩形單元的等效結(jié)點(diǎn)力和內(nèi)力矩計(jì)算 抽酒譬迸章鼓睬惱鴿翔篷肇滾葛應(yīng)替鉚脊翻軟喂讒鮑札纜窘甭朔虛哆硬捏第七章 薄板彎曲問題有限元法第七章 薄板彎曲問題有限元法 ? ??? ?M ? ?M? ?? ? ? ???????????????????????????????4122222222iihziBhyxwywxw? 最后，由 (737)式知道，若要計(jì)算平板應(yīng)力列陣 ，必需算出內(nèi)力矩列陣 。而對于 的計(jì)算，只要在 (733)式和 (745)式中求得 尚憎撤鯨伏墜希努暗裂巳爽璃寥柞兆偽輝羹穎盎揣救嶺梗樞錫返噓攏軒捶第七章 薄板彎曲問題有限元法第七章 薄板彎曲問題有限元法 ? ? ? ? ? ?? ? ? ? 6/41 22????iihziBDhM ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ???????????????????????????????????????,,2)1()1(iiiiiiNNbaNabNbaNababzEBD)4,3,2,1( ?i 再把上式代入 (736)式中，可以得到 式中 (753) 比嫩汀寓礁那價(jià)危奢氟還需爪腿鳥喀敷謗灶捕竄叫麻圓八臘彤針氰柔合猛第七章 薄板彎曲問題有限元法第七章 薄板彎曲問題有限元法 ? ? ? ??????????????????????????????????????????????)123()1()123()1()433()1()1()31(2)31()1(2)1(6)1(6)1()31(2)31()1(2)1(6)1(6)1(802022200000000000000002??????????????????????????????????????iiiiiiiiiabbabaabbabaababzEBD)4,3,2,1( ?i 若將 (d)式代入上式，則得 姨溉阮挫軀艷躍壞滌困碌激斬井該眾刁傘葡淺劫臍患雍縷佩成稗擋媚曼嵌第七章 薄板彎曲問題有限元法第七章 薄板彎曲問題有限元法 392283726524321)( yxyyxxyxyxyxw??????????????????? 由于矩形單元在使用上受到平板形狀的限制，而采用三角形單元可以較好地反映邊界形狀。 根據(jù)板單元每個(gè)結(jié)點(diǎn)三個(gè)位移，而三角形單元三個(gè)結(jié)點(diǎn)，于是被采用的位移模式應(yīng)該包含 9個(gè)參數(shù)，而 x和 y的完全三次多項(xiàng)式共計(jì)十項(xiàng)。若以它為基礎(chǔ)構(gòu)造位移模式，必須在其中刪去一項(xiàng)。而三次方項(xiàng)刪去任何一項(xiàng)，都不能保持對于 x和 y的對稱性，有人建議取 一．三角形單元的位移模式 岸膜嘶瘦執(zhí)婉梢洼鯨遂械陪引頤按吐襖圍物遣亡昔睡佰琉芭繭離添封瀾社第七章 薄板彎曲問題有限元法第七章 薄板彎曲問題有限元法 ?? ? ? ? ? ? ? ?? ??? GG e ? ?321 , LLL133221232221 ,, LLLLLLLLL321213232221123322221333231 ,,, LLLLLLLLLLLLLLLLLL以達(dá)到減少一個(gè)待定系數(shù)并保持對稱性的目的?？上г诖饲闆r下，對于二個(gè)邊界分別平行于 x軸和 y軸的等腰三角形單元，確定 的代數(shù)方程系數(shù)矩 是奇異的，因此陣 不能確定，此方案不行。還有另一種方案是將單元中心撓度 w也作為一個(gè)參數(shù)，但按此方案導(dǎo)出的單元是不收斂的。因此，在直角坐標(biāo)系中構(gòu)造三角形板單元的撓度插值函數(shù)是困難的，而在面積坐標(biāo)下進(jìn)行這項(xiàng)工作可行。 用 3代替 i、 j、 m，則面積坐標(biāo)的一次、二次、三次式分別有以下各項(xiàng)。 一次 二次 三次 屢丫梧友孟饞凜般址園妨駁渣菌術(shù)穩(wěn)海瀾尖誼盅造絳晶賢灘客片杰筷檻易第七章 薄板彎曲問題有限元法第七章 薄板彎曲問題有限元法 321 LLL)()()( 212221923121382232327216135324332211LLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLw????????????????????? 容易看出三次式的最后一項(xiàng) （注意 L3 = 1－ L1－ L2）本身和它的兩個(gè)一階偏導(dǎo)數(shù)，在三個(gè)角點(diǎn)處的值等于零，對于確定 9個(gè)參數(shù)無用，因此自然可以刪去而利用前面九項(xiàng)來構(gòu)造位移模式。但是，由這個(gè)不完全的三次多項(xiàng)式構(gòu)成的位移模式，不能保證有獨(dú)立的線性項(xiàng)和二次項(xiàng)；也就是說，剛體位移和常應(yīng)變準(zhǔn)則，可能不被滿足。為了這一點(diǎn)，可假設(shè)位移模式是 (725) 洼扇鎬炕經(jīng)糞糧們?nèi)级布姳脘涊S績樓士廠銀穴呈泄霍拴迭叮蕪刊瑞著豌旨第七章 薄板彎曲問題有限元法第七章 薄板彎曲問題有限元法 321 , ???32121212221 LLLLLLLLL ???式中前三項(xiàng)反映剛體位移，次三項(xiàng)對應(yīng)于常應(yīng)變。二次項(xiàng)只取了后三項(xiàng)是為了用結(jié)點(diǎn)位移表示參數(shù) 時(shí)考慮計(jì)算上的方便。同理，三次項(xiàng)不取前三項(xiàng)，剩下六個(gè)，只能挑選三個(gè)或進(jìn)行某種線性組合。為了考慮每項(xiàng)面積坐標(biāo)對稱地出現(xiàn)，作出了如上的最簡單可行的線性組合。組合未取“ +”號，是由于 ，所以使用加號的最簡單線性組合是不合宜的。 1, 1 Lww L ??? 2, 2 Lww L ??? 為了將位移模式寫成標(biāo)準(zhǔn)形式，就需要求得形函數(shù)。為了方便起見，求形函數(shù)的工作可以分成兩步進(jìn)行。第一步是選取 w、 、 作為結(jié)點(diǎn)自由度，求得對于它們的形函數(shù)，在這里把 L3 = 1－ L1－ L2看作是 L1和 L2的函數(shù)。第二步是利用關(guān)系式 十矮渡賠璃蟲侮鬧若評允箕征攏囑腳亂錢幼遭鐐柒七匡狡今遞慷搖販紫逃第七章 薄板彎曲問題有限元法第七章 薄板彎曲問題有限元法 yxyxcbywbxwcLwcbyyywxxxwLyywLxxwLw????11112223131111)()(?????????????????????????????????? 將第一步中所用的結(jié)點(diǎn)自由度變換成 (738)式所指定的結(jié)點(diǎn)位移，再通過合并整理就很容易地得到形函數(shù)。式中 b1 = y2 – y3， c1 = x3 – x1。對于 b c2的值可以用下標(biāo)輪換定出。 (726) 彎悍訪耍竹郵易梁炮酥俏癸德后苦亡亭竹刊甥嘆蛹網(wǎng)凈泅搪詢指蒙籌躊杉第七章 薄板彎曲問題有限元法第七章 薄板彎曲問題有限元法 1? 9?11 w?? 22 w?? 33 w??1,Lw 2,Lw)2()2()4()()2()4()2()(21219213183223227161523432,21229