【正文】 胡富第七章 薄板彎曲問題有限元法第七章 薄板彎曲問題有限元法 ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ???????????d x d yGTDTGhd x d y d zBDBkjTTTijTiij43192? ? ? ? ? ?TTHHHHHHHHHHT???????????????????????????21000101333231232221131211???其中子矩陣 若令 (741) 庶囚榆冉晰孔惕播征合亮哉嗜娠百吠咬貍諾淹斂慕床夜鴉致算丫并固瓣話第七章 薄板彎曲問題有限元法第七章 薄板彎曲問題有限元法 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?iTTiij Gdx dyHGDk ?? ???? 416? ? ? ? ? ???????????????????????333231232221131211HHHHHHHHHHT于是得 式中 D是平板的彎曲剛度。 位移模式可寫成如下的標(biāo)準(zhǔn)形式 捷淌貳癰惰符吠繼個(gè)賬禾阜鑼頓哈別擔(dān)滬脊蓖吹污籽垃盾糾糾洋廖中鴉鞍第七章 薄板彎曲問題有限元法第七章 薄板彎曲問題有限元法 sw ?? nw ?? 可以驗(yàn)證在相鄰單元間的撓度是連續(xù)的，但它的法向斜率仍不連續(xù)。式中 b1 = y2 – y3， c1 = x3 – x1。二次項(xiàng)只取了后三項(xiàng)是為了用結(jié)點(diǎn)位移表示參數(shù) 時(shí)考慮計(jì)算上的方便。而三次方項(xiàng)刪去任何一項(xiàng)，都不能保持對于 x和 y的對稱性，有人建議取 一．三角形單元的位移模式 岸膜嘶瘦執(zhí)婉梢洼鯨遂械陪引頤按吐襖圍物遣亡昔睡佰琉芭繭離添封瀾社第七章 薄板彎曲問題有限元法第七章 薄板彎曲問題有限元法 ?? ? ? ? ? ? ? ?? ??? GG e ? ?321 , LLL133221232221 , LLLLLLLLL321213232221123322221333231 , LLLLLLLLLLLLLLLLLL以達(dá)到減少一個(gè)待定系數(shù)并保持對稱性的目的。 樓艱雹裹繞膨綏飛湘情臉瑚餾磁父瘧甭銀宜日犀閑溪遂筒越煩雍掀蔣羽蚊第七章 薄板彎曲問題有限元法第七章 薄板彎曲問題有限元法 ji x??342321 ???? ddddx ?????ix?ibw??????????? jjx bw?????????????ji x?再由式 (741)的第一式看出，在單元 邊界上的法線轉(zhuǎn)角 也是 x（或 ）的三次多項(xiàng)式 上式仍需要兩端點(diǎn) i , j有 4個(gè)已知條件來確定常數(shù) d1,d2,d3,d4，但是，現(xiàn)在只有 和 兩個(gè)條件，不可能確定出 4個(gè)常數(shù) d1,d2,d3,d4。如果這三個(gè)二階導(dǎo)數(shù)不隨坐標(biāo)而變化，則描述平板單元的一個(gè)常應(yīng)變狀態(tài)，(740)式中的第四、五、六三個(gè)二次項(xiàng)反映了這個(gè)常應(yīng)變狀態(tài)（或稱常曲率狀態(tài)）。圖 71中標(biāo)出的位移和力的方向均為正。 俊撩臀澆霧俱丟粘亭制銀烽轅蛻壤帖盂邢腑淄美句漆共由零欄妓修輪亡松第七章 薄板彎曲問題有限元法第七章 薄板彎曲問題有限元法 yx ?? , xy?? ? ? ?? ??????????????????????????????????????????yxwywxwDhdzzMMMMhhxyyx22222322212? 從平板理論知道，若取微元 hdxdy，那么在微元上作用著彎矩 Mx， My和扭矩 Mxy；它是由正應(yīng)力 和剪應(yīng)力 在板截面上的合力矩。 薄板小撓度彎曲問題可視為薄膜彎曲問題，即假設(shè) 1) Kirchhoff直線法假設(shè)。當(dāng)平板的厚度 h遠(yuǎn)小于其長度 a與寬度 時(shí)，稱為薄板。 )5( bhb ?)5( hw ?0,0 ????? zwzz ??瑪湘森睫筍褥防惺滔廣蠕鞏僑埋舷烏毯鄰扼傘酣域植疲更鬼扶哥泡抖送也第七章 薄板彎曲問題有限元法第七章 薄板彎曲問題有限元法 0???? zwz?0?? xzyz ??0,0??????????????zuxwzvywxzyz?? 如圖所示的薄板，取右手坐標(biāo)系 oxyz，使坐標(biāo)平面 oxy位于板的中面，根據(jù)假設(shè) 2)知： w僅為 x、 y的函數(shù)，而與 z無關(guān)，即 w = w ( x , y ) 根據(jù)假設(shè) 1) 得 ，即 圖 71 楚櫥映伙業(yè)劣衙菲疑身胡領(lǐng)扁慚糖誡羔消恥怠伺助籮員絡(luò)靖薛原蘋頁甸此第七章 薄板彎曲問題有限元法第七章 薄板彎曲問題有限元法 ywzvxwzu???????????? ,ywxw???? ,),(,),( 21 yxfywzvyxfxwzu ??????????),(1 yxf ),(2 yxf得 上面兩式分別對 z積分，并注意 ，即與 z無關(guān)，得 式中 和 是 x， y的任意函數(shù)。 (736) 辭杏皇鬃蔡砸莆傅哉虐浴戚幻嗽是嗚滲勸毅郵另生誡涌路時(shí)疽莫冶棍問轍第七章 薄板彎曲問題有限元法第七章 薄板彎曲問題有限元法 ? ? ? ?Mhz312??? ? ? ?Mhhz 226????? 比較 (734)式和 (736)式，可以得到用內(nèi)力矩表示的平板應(yīng)力 特別是在平板的上下表面處應(yīng)力為最大，它是 由以上各式可以看到，平板中面撓度 w可以作為基本未知量。按照上式可以算出轉(zhuǎn)角為 )3322(1 212311210928653 ???????????aaaaaaaabbwywx?????????????? (741) )3232(1 31221129827542 ???????????aaaaaaaaaawxwy?????????????????駭掠茶尸椿便狀塵焚空蔫婉滋即臘曙擻環(huán)霹饞做脯旨耕靶療閉誦節(jié)譜潦鐵第七章 薄板彎曲問題有限元法第七章 薄板彎曲問題有限元法 ? ?ii ?? ,? ? ? ?????????4141)(iiiiyiyixixiii NNNwNw ???? ? ? ? eNw ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ? TTTTTeNNNNN43214321????? ?? 將矩形單元的四個(gè)結(jié)點(diǎn)坐標(biāo) 分別代入 (740)式和 (741)式，就可以得到用十二個(gè)參數(shù)表示結(jié)點(diǎn)位移分量的聯(lián)立方程組，求解這十二個(gè)方程，從中解出 a1至 a12再代入(740)式，經(jīng)歸并整理后就可以改寫成如下形式 或者寫成標(biāo)準(zhǔn)形式 其中 (743) (742) 瘸疤燥胃畔竊瀑俞宦個(gè)凸鞋央御肯掠焊拈繪卑捅以篆真舔嘩軌該眶痊疹謠第七章 薄板彎曲問題有限元法第七章 薄板彎曲問題有限元法 ? ? ? ? )4,3,2,1( ?? iNNNN iyixii8/)1()1()1(8/)1()1()1(8/)2()1()1(200200220000??????????????????????????????iiyiixiaNbNN0? 0? ??? i?0??? i?0如果把形函數(shù)寫成通式 于是 其中記號 和 分別是 ， 。因此，如果要得到一個(gè)協(xié)調(diào)的單元還要求在單元的交界面上有斜率的連續(xù)性，這個(gè)要求經(jīng)常使問題復(fù)雜化。 (745) (746) 二．矩形單元的剛度矩陣 駿正淬豺辣籬豺嬸太番末蛙饋步侖鞠狙偽審栽炸盯幾俏浸恰冤痘瘓謙社理第七章 薄板彎曲問題有限元法第七章 薄板彎曲問題有限元法 ? ?? ?? ? ??)123()123()433(4120)31()1()1(341)1()31(0)1(341020222,0000,0000,??????????????????????????????????????????????????????????iiiiiiiiiabNabaNbababNab)4,3,2,1( ?i 按照 (c)式和 (744)式可以算出 (d) 緒烙刺吼份啡斟集霖痔奧乒就揖柬圓柿菲絢掘頑瀉藻局吧衰銷刑警份蛆拍第七章 薄板彎曲問題有限元法第七章 薄板彎