【文章內(nèi)容簡介】 例8(★★)試證明在11，111，1111，…中沒有完全平方數(shù)。例9(★★★)一個(gè)四位數(shù)具有這樣的性質(zhì)：用它的后兩位數(shù)（如果它的十位數(shù)是零，就只用個(gè)位數(shù)字）去除這個(gè)四位數(shù)得到一個(gè)完全平方數(shù)（即一個(gè)自然數(shù)的平方），且這個(gè)平方數(shù)正好是四位數(shù)的前兩位數(shù)加1后平方。試寫出所有具有上述性質(zhì)的四位數(shù)。魔法訓(xùn)練營 1．試求一個(gè)四位數(shù)，它是一個(gè)完全平方數(shù)，并且它的前兩位數(shù)字相同，后兩位數(shù)字也相同。 2．有兩個(gè)數(shù)，它們各個(gè)數(shù)位的數(shù)字從左到右越來越大，其中一個(gè)六位數(shù)是另一個(gè)數(shù)的平方，求這兩個(gè)數(shù)。3．求一個(gè)四位數(shù)，使它等于它的四個(gè)數(shù)字和的四次方，并證明此數(shù)是唯一的。4．能不能找到自然數(shù)n，使凡，n +97都是完全平方數(shù)？ 5. 2904是否為完全平方數(shù)？ 6．有多少個(gè)小于2004的數(shù)，使得它們與72相乘均為完全平方數(shù)？ 7．試證不論o、6是什么整數(shù)，35a 45b +2都不可能是完全平方數(shù)。高僧下棋 在古代印度，一位高僧十分精通棋術(shù)，國王正好也喜歡下棋。有一天，國王把這位高僧召到宮里，要與他對奕。國王對他說：“聽說你棋術(shù)十分高超，所以把你請來與我下棋。你不要因?yàn)槲沂菄蹙筒桓亿A我，你要拿出真本事來。如果你贏了我，我可以答應(yīng)你提出的任何條件?！备呱f：“既然陛下恩準(zhǔn)，我就斗膽與陛下下上幾盤。不過如果我贏了你，我只有一個(gè)小小的要求?！眹跽f：“剛才我說了，你可以提任何條件，我將滿足你的要求?！备呱f：“我的要求很簡單，這棋盤上不是有64個(gè)格嗎？我贏你一盤，你在第一個(gè)格給我一粒米，贏兩盤，第二個(gè)格里給我兩粒米，贏三盤，給我四粒米，四盤給我八粒米……每一盤都比前一盤多一倍，直到這第六十四格?！眹跻宦牴笮?，說：“這還不容易，我國庫里有的是米，這點(diǎn)米連九牛一毛也沒有?！备呱f：“陛下可不要反悔?！眹跽f：“一言為定?！庇谑莾扇司拖缕鹌鍋?，結(jié)果高僧贏了30盤。 你猜國王應(yīng)該給高僧多少米？專題九 棋盤中的數(shù)學(xué)知識對對碰 所謂棋盤，常見的有中國象棋棋盤(如圖91(1)) ，圍棋盤(如圖9—1(2))，還有國際象棋棋盤(如圖91(3)) 。以這些棋盤為背景而提出的問題統(tǒng)稱為棋盤問題。這里面與數(shù)學(xué)推理、計(jì)算相關(guān)的棋盤問題，就叫做棋盤中的數(shù)學(xué)問題。解決棋盤中的數(shù)學(xué)問題所使用的數(shù)學(xué)知識，統(tǒng)稱為棋盤中的數(shù)學(xué)。名題典中典例1(★★)這是一個(gè)中國象棋盤，（圖92中小方格都是相等的正方形，“河界”的寬等于小正方形的邊長）黑方有一個(gè)“象”，它只能在1，2，3，4，5，6，7位置中的一個(gè)，紅方有兩個(gè)“相”，它們只能在8，9，10，11，12，13，14中的兩個(gè)位置。 問：這三個(gè)棋子（一個(gè)黑“象”和兩個(gè)紅“相”）各在什么位置時(shí)，以這三個(gè)棋子為頂點(diǎn)構(gòu)成的三角形的面積最大？例2(★★)如圖94是一個(gè)圍棋盤，另有一堆圍棋子，將這堆棋子往棋盤上放，當(dāng)按格點(diǎn)擺成某個(gè)方陣時(shí)，尚余12枚棋子，如果要將這個(gè)方陣改擺成每邊各加一枚棋子正方陣，則差9枚棋子才能擺滿。問：這堆棋子原有多少枚？例3(★★)如圖9 6(1)是一個(gè)國際象棋棋盤，A處有只螞蟻，螞蟻只能由黑格進(jìn)入白格再由白格進(jìn)入黑格這樣黑白交替地行走，已經(jīng)走過的格子不能第二次進(jìn)入。請問，螞蟻能否從A出發(fā)，經(jīng)過每個(gè)格子最后返回到A處？若能，請你設(shè)計(jì)一種路線，若不能，請你說明理由。例4(★★)國際象棋的棋盤有64個(gè)方格，有一種威力很大的棋子叫“皇后”，當(dāng)它放在某格上時(shí)，它能吃掉此格所在的斜線和直線上對方的棋子（中間沒有棋子的情況下），如圖9 7(1)上虛線所示。如果有五個(gè)“皇后”放在棋盤上，就能把整個(gè)棋盤都“管”住，不論對方棋子放在哪一格，都會被吃掉。那么，這五個(gè)“皇后”應(yīng)該放在哪幾格上才能控制整個(gè)棋盤？例5(★★)如圖98是半張棋盤，請你用兩個(gè)車、兩個(gè)馬、兩個(gè)炮、一個(gè)相和一個(gè)兵這八個(gè)子放在這半個(gè)棋盤上，使得其余未被占據(jù)的點(diǎn)都在這八個(gè)點(diǎn)的控制二下（要符合象棋規(guī)則，“相”走“田”字，只能放在“相”所能到的位置，同樣“兵”也只能放在“兵”所能到的位置?！榜R”走“日”字，“車”走直線，“炮”隔子控制等）。例6(★★★)如圖9 10(1)，在中國象棋盤上，乙方一只邊卒已經(jīng)過河，它可以向前移一步到8，也可以橫行一步到A，要使這個(gè)小卒沿最短路線走到對方帥所在的位置（假定前進(jìn)路上沒任何阻難），問有多少種不同的走法。例7(★★★)圍棋盤上橫豎各有19條線（如圖9 12），在棋盤上組成許多大小不同的正方形，問其中有多少個(gè)和圖中右側(cè)小正方形大小一樣的正方形（小正方形面積是這個(gè)圍棋盤面積的）。魔法訓(xùn)練營1. 如圖916是一個(gè)棋盤，將一個(gè)白子和一個(gè)黑子放在棋盤線交叉點(diǎn)上，但不能在同一條棋盤線上，問：共有多少種不同的放法？ 2．如圖9 17是象棋盤的一部分，一個(gè)小卒過河后沿最短的路線走到對方“帥”處，試問這小卒有多少種不同的走法。3．如圖9 18表示某城市的街道圖，若從A走到日（只能由北往南，由西向東），問共有多少種不同的走法。4．圖9 19是一個(gè)道路圖，4處有一大群孩子，這群孩子向東或向北走，在從A開始的每個(gè)路口，都有一半人向北走，另一半人向東走，如果最后有60個(gè)孩子到過路口B，問：先后共有多少孩子到過路口C?5．如圖9 20，在55的棋盤上放了二十枚棋子，問：以這些棋子為頂點(diǎn)的正方形共有多少個(gè)？ 6．從8x8的方格棋盤（圖921）中取出一個(gè)由三個(gè)小方格組成的“L”形（，可旋轉(zhuǎn)），問有多少種不同的取法。7．如圖9 22在5x5棋盤格中，共有多少個(gè)正方形？ 8．圖9 23中的正方形被分成9個(gè)相同的小正方形，它們一共有16個(gè)頂點(diǎn)（共同的頂點(diǎn)算一個(gè)），以其中不在一條直線上的三個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)，可以構(gòu)成三角形，在這些三角形中，與陰影三角形有同樣大小面積的有多少個(gè)？數(shù)學(xué)家劉徽 劉徽（生于公元250年左右），是中國數(shù)學(xué)史上一個(gè)非常偉大的數(shù)學(xué)家，在世界數(shù)學(xué)史上，也占有重要的地位。他的杰作《九章算術(shù)》和《海島算經(jīng)》是我國寶貴的數(shù)學(xué)遺產(chǎn)。 《九章算術(shù)》約成書于東漢之初，共有246個(gè)問題的解法。在許多方面：如解聯(lián)立方程，分?jǐn)?shù)四則運(yùn)算，正負(fù)數(shù)運(yùn)算，幾何圖形的體積面積計(jì)算等，都屬于世界先進(jìn)之列，但在此之前因解法比較原始，缺乏必要的證明，而劉徽則對此均作了補(bǔ)充證明。在這些證明中，顯示了他在多方面的創(chuàng)造性的貢獻(xiàn)。他是世界上最早提出十進(jìn)小數(shù)概念的人，并用十進(jìn)小數(shù)來表示無理數(shù)的立方根。在代數(shù)方面，他正確地提出了正負(fù)數(shù)的概念及其加減運(yùn)算的法則；改進(jìn)了線性方程組的解法。在幾何方面，提出了“割圓術(shù)”，即將圓周用內(nèi)接或外切正多邊形窮竭的一種求圓面積和圓周長的方法。劉徽在割圓術(shù)中提出的“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割以至于不可割，則與圓合體而無所失矣”，這可視為中國古代極限觀念的佳作。 《海島算經(jīng)》一書中，劉徽精心選編了九個(gè)測量問題，這些題目的創(chuàng)造性、復(fù)雜性和富有代表性，都在當(dāng)時(shí)為西方所矚目。 劉徽思想敏捷，方法靈活，既提倡推理又主張直觀。他是我國最早明確主張用邏輯推理的方式來論證數(shù)學(xué)命題的人。 劉徽的一生是為數(shù)學(xué)刻苦探求的一生。他雖然地位低下，但人格高尚。他不是沽名釣譽(yù)的庸人，而是學(xué)而不厭的偉人，他給我們中華民族留下了寶貴的財(cái)富。專題十 平面圖形的面積知識對對碰(1)三角形面積=底高247。2(2)平行四邊形面積=底高(3)梯形面積=（上底+下底）高247。2(4)長方形面積=長寬(5)正方形面積=邊長2(6)圓的面積=(7)菱形的面積=兩條對角線乘積的一半(8)扇形面積=(9)環(huán)形面積=（大圓半徑2小圓半徑2）(1)等底等高的三角形面積相等。(2)高不變，底擴(kuò)大（或縮?。樵瓉淼亩嗌俦叮ɑ驇追种唬?，三角形面積就擴(kuò)大（或縮?。樵瓉淼亩嗌俦叮ɑ驇追种唬?3)底不變，高擴(kuò)大（或縮?。樵瓉淼亩嗌俦叮ɑ驇追种唬切蚊娣e就擴(kuò)大（或縮?。樵瓉淼亩嗌俦叮ɑ驇追种唬?。(4)高相等的兩個(gè)三角形的面積比等于它們的底之比，類似地，底相等的兩個(gè)三角形的面積比等于它們的高之比。名題典中典例1(★)正方形ABCD的面積是16平方米(見圖10 1)，E、F分別是AB和BC的中點(diǎn)，求梯形AEFC的面積是多少。例2(★)圖10 2是平行四邊形，面積是48平方厘米，求陰影部分的面積。（單位：厘米）例3(★)如圖10 3所示，△ABC中，BD=3AD，AE=EC，S△ADE=6cm2，求S△ABC。例4(★)有一個(gè)等腰梯形，底角為上底為8厘米，下底為12厘米，如圖10 4所示，求這個(gè)梯形的面積是多少平方厘米。例5(★)如圖10 5，在正方形ABCD中，△ABE的面積是8平方厘米，它是△DEC面積的，求正方形ABCD的面積。例6(★★)如圖106所示，四邊形ABCD和四邊形EFDG都是平行四邊形，證明它們的面積相等。例7(★★)如圖10 7(1)矩形被分成A、B、C、D四個(gè)小矩形。已知A的面積是2平方厘米，日的面積是4平方厘米，C的面積是6平方厘米，問原矩形的面積是多少。例8(★★)如圖108所示，在邊長為8厘米的一個(gè)正方形內(nèi)，以正方形的三條邊為直徑向正方形內(nèi)作三個(gè)半圓。求陰影部分的面積。例9(★★)如圖10 9，兩個(gè)正方形邊長分別是10厘米和6厘米，求陰影部分的面積。，(取3）例10(★★)一條正方形手帕，它的邊長是18厘米，手帕上橫豎各有兩道彩條，其他部分為白色，如圖10 10(1)所示，彩條寬都是2厘米，問這條手帕白色部分的面積是多少平方厘米。例11(★★)將長15厘米，寬9厘米的長方形的長和寬都分成三等份，長方形內(nèi)任意一點(diǎn)與分點(diǎn)及頂點(diǎn)連接，如圖10 11(1)，求陰影部分的面積。魔法訓(xùn)練營1．如圖1012，大圓的直徑為4厘米，求陰影部分的面積。(）2．如圖10 13，大扇形半徑是6厘米，小扇形半徑是3厘米，求陰影部分的面積。3．如圖10 14，正方形ABCD的邊長為5厘米，△CEF的面積比△ADF的面積大5平方厘米，求CE的長。4．如圖1015，四個(gè)一樣大的長方形和一個(gè)小的正方形拼成一個(gè)大正方形，其中大、小正方形的面積分別是64平方米和9平方米。求長方形的長、寬各是多少。5．如圖10 16，ABCD的底邊長BC=10，直角三角形BCE的直角邊長EC=8，已知陰影部分的面積比△EFG的面積大10。求CF的長。6．已知正方形ABCD的邊長為10厘米，過這個(gè)正方形的四個(gè)頂點(diǎn)可作一個(gè)大圓，過它的各邊中點(diǎn)可作一個(gè)小網(wǎng)，此時(shí)再將正方形的對邊中點(diǎn)用直線連接起來，得到網(wǎng)1017，那么圖中陰影部分面積是多少？7．如圖1018，A，B是兩個(gè)扇形的圓心，那么兩個(gè)陰影部分的面積差是多少？8．如圖10 19，在一個(gè)直角邊長分別為3和4，斜邊長為5的直角三角形上作三個(gè)半圓，求陰影部分的面積。9．將正面是紅色，背面是白色的紙剪成一個(gè)直角三角形ABC（如圖10 20）蓋在桌面上，然后將A向上折疊使A與C重合，蓋住桌面的面積比原來減少了9. 375平方分米，BD =，問折痕的長度是多少分米。，一張斜邊長為49的藍(lán)色直角三角形紙片，一張黃色的正方形紙片，如圖10 21所示拼成一個(gè)直角三角形。問紅、藍(lán)兩張三角形紙片面積之和是多少？ 22，ABCD是直角梯形，AB =4厘米，AD =5厘米，DE =3厘米，那么△OBC的面積是多少？ 23，甲、乙兩圖形都是正方形，它們的邊長分別是10厘米和12厘米。求陰影部分的面積。，M是AB的中點(diǎn)，NCD的中點(diǎn)，P是EF的中點(diǎn)，如圖10 24所示，問三角形MNP的面積是多少平方厘米。 25所示，紅紅家遷入新居，衛(wèi)生間和三個(gè)臥室是正方形，其余各室都是長方形，各房間內(nèi)墻長度都是整米數(shù)，陰影部分為儲藏室，其面積是3平方米，儲藏室的寬是過廳寬的一半，紅紅家房的使用面積是多少？（墻厚度忽略不計(jì)） 26，正方形的周長是36厘米，EC和DF分別是BE和FC的2倍，求陰影部分的面積是多少平方厘米。 27．在△ABC中，則陰影部分面積占三角形ABC面積的幾分之幾？證明 證明：所有大于2的奇數(shù)都是質(zhì)數(shù)。不同專業(yè)的人給出不同的證明： 數(shù)學(xué)家：3是質(zhì)數(shù)，5是質(zhì)數(shù)，7是質(zhì)數(shù)，由數(shù)學(xué)歸納法可知，所有大于2的奇數(shù)都是質(zhì)數(shù)。 物理學(xué)家：3是質(zhì)數(shù)，5是質(zhì)數(shù)，7是質(zhì)數(shù)，9是實(shí)驗(yàn)誤差，11是質(zhì)數(shù)…… 工程師：3是質(zhì)數(shù)，5是質(zhì)數(shù)，7是質(zhì)數(shù)，9是質(zhì)數(shù)，11是質(zhì)數(shù)…… 計(jì)算機(jī)程序員：3是質(zhì)數(shù)，5是質(zhì)數(shù)，7是質(zhì)數(shù)，7是質(zhì)數(shù)，7是質(zhì)數(shù)…… 統(tǒng)計(jì)學(xué)家：讓我們來試幾個(gè)隨機(jī)抽取的數(shù)：17是質(zhì)數(shù)，23是質(zhì)數(shù)，11是質(zhì)數(shù)…… 同學(xué)們，他們證的對嗎？專題十一 長方體、正方體的表面積知識對對碰 (1)找出必備條件（長、寬、高或棱長），如題中沒有直接給出，則先求出必備條件，再求表面積（有蓋還是無蓋）。 (2)統(tǒng)一計(jì)量單位。單位不統(tǒng)一的，一般要通過化、聚，使單位統(tǒng)一后再計(jì)算。 (3)求