【文章內容簡介】 例8(★★)試證明在11，111，1111，…中沒有完全平方數(shù)。例9(★★★)一個四位數(shù)具有這樣的性質：用它的后兩位數(shù)（如果它的十位數(shù)是零，就只用個位數(shù)字）去除這個四位數(shù)得到一個完全平方數(shù)（即一個自然數(shù)的平方），且這個平方數(shù)正好是四位數(shù)的前兩位數(shù)加1后平方。試寫出所有具有上述性質的四位數(shù)。魔法訓練營 1．試求一個四位數(shù)，它是一個完全平方數(shù)，并且它的前兩位數(shù)字相同，后兩位數(shù)字也相同。 2．有兩個數(shù)，它們各個數(shù)位的數(shù)字從左到右越來越大，其中一個六位數(shù)是另一個數(shù)的平方，求這兩個數(shù)。3．求一個四位數(shù)，使它等于它的四個數(shù)字和的四次方，并證明此數(shù)是唯一的。4．能不能找到自然數(shù)n，使凡，n +97都是完全平方數(shù)？ 5. 2904是否為完全平方數(shù)？ 6．有多少個小于2004的數(shù)，使得它們與72相乘均為完全平方數(shù)？ 7．試證不論o、6是什么整數(shù)，35a 45b +2都不可能是完全平方數(shù)。高僧下棋 在古代印度，一位高僧十分精通棋術，國王正好也喜歡下棋。有一天，國王把這位高僧召到宮里，要與他對奕。國王對他說：“聽說你棋術十分高超，所以把你請來與我下棋。你不要因為我是國王就不敢贏我，你要拿出真本事來。如果你贏了我，我可以答應你提出的任何條件?！备呱f：“既然陛下恩準，我就斗膽與陛下下上幾盤。不過如果我贏了你，我只有一個小小的要求。”國王說：“剛才我說了，你可以提任何條件，我將滿足你的要求。”高僧說：“我的要求很簡單，這棋盤上不是有64個格嗎？我贏你一盤，你在第一個格給我一粒米，贏兩盤，第二個格里給我兩粒米，贏三盤，給我四粒米，四盤給我八粒米……每一盤都比前一盤多一倍，直到這第六十四格?！眹跻宦牴笮Γf：“這還不容易，我國庫里有的是米，這點米連九牛一毛也沒有。”高僧說：“陛下可不要反悔。”國王說：“一言為定。”于是兩人就下起棋來，結果高僧贏了30盤。 你猜國王應該給高僧多少米？專題九 棋盤中的數(shù)學知識對對碰 所謂棋盤，常見的有中國象棋棋盤(如圖91(1)) ，圍棋盤(如圖9—1(2))，還有國際象棋棋盤(如圖91(3)) 。以這些棋盤為背景而提出的問題統(tǒng)稱為棋盤問題。這里面與數(shù)學推理、計算相關的棋盤問題，就叫做棋盤中的數(shù)學問題。解決棋盤中的數(shù)學問題所使用的數(shù)學知識，統(tǒng)稱為棋盤中的數(shù)學。名題典中典例1(★★)這是一個中國象棋盤，（圖92中小方格都是相等的正方形，“河界”的寬等于小正方形的邊長）黑方有一個“象”，它只能在1，2，3，4，5，6，7位置中的一個，紅方有兩個“相”，它們只能在8，9，10，11，12，13，14中的兩個位置。 問：這三個棋子（一個黑“象”和兩個紅“相”）各在什么位置時，以這三個棋子為頂點構成的三角形的面積最大？例2(★★)如圖94是一個圍棋盤，另有一堆圍棋子，將這堆棋子往棋盤上放，當按格點擺成某個方陣時，尚余12枚棋子，如果要將這個方陣改擺成每邊各加一枚棋子正方陣，則差9枚棋子才能擺滿。問：這堆棋子原有多少枚？例3(★★)如圖9 6(1)是一個國際象棋棋盤，A處有只螞蟻，螞蟻只能由黑格進入白格再由白格進入黑格這樣黑白交替地行走，已經走過的格子不能第二次進入。請問，螞蟻能否從A出發(fā)，經過每個格子最后返回到A處？若能，請你設計一種路線，若不能，請你說明理由。例4(★★)國際象棋的棋盤有64個方格，有一種威力很大的棋子叫“皇后”，當它放在某格上時，它能吃掉此格所在的斜線和直線上對方的棋子（中間沒有棋子的情況下），如圖9 7(1)上虛線所示。如果有五個“皇后”放在棋盤上，就能把整個棋盤都“管”住，不論對方棋子放在哪一格，都會被吃掉。那么，這五個“皇后”應該放在哪幾格上才能控制整個棋盤？例5(★★)如圖98是半張棋盤，請你用兩個車、兩個馬、兩個炮、一個相和一個兵這八個子放在這半個棋盤上，使得其余未被占據的點都在這八個點的控制二下（要符合象棋規(guī)則，“相”走“田”字，只能放在“相”所能到的位置，同樣“兵”也只能放在“兵”所能到的位置?！榜R”走“日”字，“車”走直線，“炮”隔子控制等）。例6(★★★)如圖9 10(1)，在中國象棋盤上，乙方一只邊卒已經過河，它可以向前移一步到8，也可以橫行一步到A，要使這個小卒沿最短路線走到對方帥所在的位置（假定前進路上沒任何阻難），問有多少種不同的走法。例7(★★★)圍棋盤上橫豎各有19條線（如圖9 12），在棋盤上組成許多大小不同的正方形，問其中有多少個和圖中右側小正方形大小一樣的正方形（小正方形面積是這個圍棋盤面積的）。魔法訓練營1. 如圖916是一個棋盤，將一個白子和一個黑子放在棋盤線交叉點上，但不能在同一條棋盤線上，問：共有多少種不同的放法？ 2．如圖9 17是象棋盤的一部分，一個小卒過河后沿最短的路線走到對方“帥”處，試問這小卒有多少種不同的走法。3．如圖9 18表示某城市的街道圖，若從A走到日（只能由北往南，由西向東），問共有多少種不同的走法。4．圖9 19是一個道路圖，4處有一大群孩子，這群孩子向東或向北走，在從A開始的每個路口，都有一半人向北走，另一半人向東走，如果最后有60個孩子到過路口B，問：先后共有多少孩子到過路口C?5．如圖9 20，在55的棋盤上放了二十枚棋子，問：以這些棋子為頂點的正方形共有多少個？ 6．從8x8的方格棋盤（圖921）中取出一個由三個小方格組成的“L”形（，可旋轉），問有多少種不同的取法。7．如圖9 22在5x5棋盤格中，共有多少個正方形？ 8．圖9 23中的正方形被分成9個相同的小正方形，它們一共有16個頂點（共同的頂點算一個），以其中不在一條直線上的三個點為頂點，可以構成三角形，在這些三角形中，與陰影三角形有同樣大小面積的有多少個？數(shù)學家劉徽 劉徽（生于公元250年左右），是中國數(shù)學史上一個非常偉大的數(shù)學家，在世界數(shù)學史上，也占有重要的地位。他的杰作《九章算術》和《海島算經》是我國寶貴的數(shù)學遺產。 《九章算術》約成書于東漢之初，共有246個問題的解法。在許多方面：如解聯(lián)立方程，分數(shù)四則運算，正負數(shù)運算，幾何圖形的體積面積計算等，都屬于世界先進之列，但在此之前因解法比較原始，缺乏必要的證明，而劉徽則對此均作了補充證明。在這些證明中，顯示了他在多方面的創(chuàng)造性的貢獻。他是世界上最早提出十進小數(shù)概念的人，并用十進小數(shù)來表示無理數(shù)的立方根。在代數(shù)方面，他正確地提出了正負數(shù)的概念及其加減運算的法則；改進了線性方程組的解法。在幾何方面，提出了“割圓術”，即將圓周用內接或外切正多邊形窮竭的一種求圓面積和圓周長的方法。劉徽在割圓術中提出的“割之彌細，所失彌少，割之又割以至于不可割，則與圓合體而無所失矣”，這可視為中國古代極限觀念的佳作。 《海島算經》一書中，劉徽精心選編了九個測量問題，這些題目的創(chuàng)造性、復雜性和富有代表性，都在當時為西方所矚目。 劉徽思想敏捷，方法靈活，既提倡推理又主張直觀。他是我國最早明確主張用邏輯推理的方式來論證數(shù)學命題的人。 劉徽的一生是為數(shù)學刻苦探求的一生。他雖然地位低下，但人格高尚。他不是沽名釣譽的庸人，而是學而不厭的偉人，他給我們中華民族留下了寶貴的財富。專題十 平面圖形的面積知識對對碰(1)三角形面積=底高247。2(2)平行四邊形面積=底高(3)梯形面積=（上底+下底）高247。2(4)長方形面積=長寬(5)正方形面積=邊長2(6)圓的面積=(7)菱形的面積=兩條對角線乘積的一半(8)扇形面積=(9)環(huán)形面積=（大圓半徑2小圓半徑2）(1)等底等高的三角形面積相等。(2)高不變，底擴大（或縮小）為原來的多少倍（或幾分之一），三角形面積就擴大（或縮?。樵瓉淼亩嗌俦叮ɑ驇追种唬?。(3)底不變，高擴大（或縮?。樵瓉淼亩嗌俦叮ɑ驇追种唬?，三角形面積就擴大（或縮?。樵瓉淼亩嗌俦叮ɑ驇追种唬?。(4)高相等的兩個三角形的面積比等于它們的底之比，類似地，底相等的兩個三角形的面積比等于它們的高之比。名題典中典例1(★)正方形ABCD的面積是16平方米(見圖10 1)，E、F分別是AB和BC的中點，求梯形AEFC的面積是多少。例2(★)圖10 2是平行四邊形，面積是48平方厘米，求陰影部分的面積。（單位：厘米）例3(★)如圖10 3所示，△ABC中，BD=3AD，AE=EC，S△ADE=6cm2，求S△ABC。例4(★)有一個等腰梯形，底角為上底為8厘米，下底為12厘米，如圖10 4所示，求這個梯形的面積是多少平方厘米。例5(★)如圖10 5，在正方形ABCD中，△ABE的面積是8平方厘米，它是△DEC面積的，求正方形ABCD的面積。例6(★★)如圖106所示，四邊形ABCD和四邊形EFDG都是平行四邊形，證明它們的面積相等。例7(★★)如圖10 7(1)矩形被分成A、B、C、D四個小矩形。已知A的面積是2平方厘米，日的面積是4平方厘米，C的面積是6平方厘米，問原矩形的面積是多少。例8(★★)如圖108所示，在邊長為8厘米的一個正方形內，以正方形的三條邊為直徑向正方形內作三個半圓。求陰影部分的面積。例9(★★)如圖10 9，兩個正方形邊長分別是10厘米和6厘米，求陰影部分的面積。，(取3）例10(★★)一條正方形手帕，它的邊長是18厘米，手帕上橫豎各有兩道彩條，其他部分為白色，如圖10 10(1)所示，彩條寬都是2厘米，問這條手帕白色部分的面積是多少平方厘米。例11(★★)將長15厘米，寬9厘米的長方形的長和寬都分成三等份，長方形內任意一點與分點及頂點連接，如圖10 11(1)，求陰影部分的面積。魔法訓練營1．如圖1012，大圓的直徑為4厘米，求陰影部分的面積。(）2．如圖10 13，大扇形半徑是6厘米，小扇形半徑是3厘米，求陰影部分的面積。3．如圖10 14，正方形ABCD的邊長為5厘米，△CEF的面積比△ADF的面積大5平方厘米，求CE的長。4．如圖1015，四個一樣大的長方形和一個小的正方形拼成一個大正方形，其中大、小正方形的面積分別是64平方米和9平方米。求長方形的長、寬各是多少。5．如圖10 16，ABCD的底邊長BC=10，直角三角形BCE的直角邊長EC=8，已知陰影部分的面積比△EFG的面積大10。求CF的長。6．已知正方形ABCD的邊長為10厘米，過這個正方形的四個頂點可作一個大圓，過它的各邊中點可作一個小網，此時再將正方形的對邊中點用直線連接起來，得到網1017，那么圖中陰影部分面積是多少？7．如圖1018，A，B是兩個扇形的圓心，那么兩個陰影部分的面積差是多少？8．如圖10 19，在一個直角邊長分別為3和4，斜邊長為5的直角三角形上作三個半圓，求陰影部分的面積。9．將正面是紅色，背面是白色的紙剪成一個直角三角形ABC（如圖10 20）蓋在桌面上，然后將A向上折疊使A與C重合，蓋住桌面的面積比原來減少了9. 375平方分米，BD =，問折痕的長度是多少分米。，一張斜邊長為49的藍色直角三角形紙片，一張黃色的正方形紙片，如圖10 21所示拼成一個直角三角形。問紅、藍兩張三角形紙片面積之和是多少？ 22，ABCD是直角梯形，AB =4厘米，AD =5厘米，DE =3厘米，那么△OBC的面積是多少？ 23，甲、乙兩圖形都是正方形，它們的邊長分別是10厘米和12厘米。求陰影部分的面積。，M是AB的中點，NCD的中點，P是EF的中點，如圖10 24所示，問三角形MNP的面積是多少平方厘米。 25所示，紅紅家遷入新居，衛(wèi)生間和三個臥室是正方形，其余各室都是長方形，各房間內墻長度都是整米數(shù)，陰影部分為儲藏室，其面積是3平方米，儲藏室的寬是過廳寬的一半，紅紅家房的使用面積是多少？（墻厚度忽略不計） 26，正方形的周長是36厘米，EC和DF分別是BE和FC的2倍，求陰影部分的面積是多少平方厘米。 27．在△ABC中，則陰影部分面積占三角形ABC面積的幾分之幾？證明 證明：所有大于2的奇數(shù)都是質數(shù)。不同專業(yè)的人給出不同的證明： 數(shù)學家：3是質數(shù)，5是質數(shù)，7是質數(shù)，由數(shù)學歸納法可知，所有大于2的奇數(shù)都是質數(shù)。 物理學家：3是質數(shù)，5是質數(shù)，7是質數(shù)，9是實驗誤差，11是質數(shù)…… 工程師：3是質數(shù)，5是質數(shù)，7是質數(shù)，9是質數(shù)，11是質數(shù)…… 計算機程序員：3是質數(shù)，5是質數(shù)，7是質數(shù)，7是質數(shù)，7是質數(shù)…… 統(tǒng)計學家：讓我們來試幾個隨機抽取的數(shù)：17是質數(shù)，23是質數(shù)，11是質數(shù)…… 同學們，他們證的對嗎？專題十一 長方體、正方體的表面積知識對對碰 (1)找出必備條件（長、寬、高或棱長），如題中沒有直接給出，則先求出必備條件，再求表面積（有蓋還是無蓋）。 (2)統(tǒng)一計量單位。單位不統(tǒng)一的，一般要通過化、聚，使單位統(tǒng)一后再計算。 (3)求