【文章內(nèi)容簡介】 外。該公理表示，若某成員對于他參加的任何一個合作都不會帶來效益，那他不應(yīng)當(dāng)從全體合作的收益中獲得報酬，而各成員所分得的報酬之和應(yīng)等于全體合作的收益；6） 可加性：設(shè)均為n人合作對策的特征函數(shù)，不難證明：對均有同樣為n人合作對策的一個特征函數(shù)，此時應(yīng)有。該公理表示當(dāng)同時進(jìn)行兩項(xiàng)合作時，而各成員所分得的報酬應(yīng)等于兩項(xiàng)合作分別分配的收益之和。Shapley利用邏輯推理的方法證明，存在唯一的滿足以上三條公理的效益分配算法： 表示集合中元素的個數(shù)。四． 點(diǎn)評這里并不打算討論Shapley值的推導(dǎo)和給出過程,而是試圖對其結(jié)果作一些后驗(yàn)的分析,發(fā)現(xiàn)這個結(jié)果完全可以避開構(gòu)造和求解方程組,而只作一些適當(dāng)?shù)睦硇运伎季涂山o出.事實(shí)上,在利益分配中容易出現(xiàn)矛盾通常是因?yàn)槟惆l(fā)現(xiàn)分配規(guī)則是由別人制訂的,而類似的規(guī)則由你同樣也能夠制訂,你和你的合作伙伴的力量,當(dāng)你面對大自然時,你只能適應(yīng),很少表現(xiàn)不滿.為此,每個人都可將他的合作伙伴視為客觀世界的一部分,而每一次可能的合作是大自然隨機(jī)呈現(xiàn)在你面前的一次機(jī)會,其中, 則可表示出現(xiàn)在 面前可供其選擇的合作機(jī)會,若 加入, 則可增加收益若將增加的這部分收益全部給 ,顯然從 的角度看, 他應(yīng)相當(dāng)滿意.然而這種39。機(jī)會的出現(xiàn)是隨機(jī)的, 恰出現(xiàn)在之前, 而恰好出現(xiàn)在之后的概率為. 在具有隨機(jī)性的客觀世界面前, 只能取走所有可能合作增加效益的平均值——數(shù)學(xué)期望.從這個例子說明, 對實(shí)際問題的重視, 可以為理論研究挖掘豐富多彩的素材, 而就后來對結(jié)果所作的分析, 我們也看到科學(xué)研究同樣不排斥近乎玄的想象力, 純粹計算、求解并非構(gòu)成數(shù)學(xué)的全部, 合理的想象可以直接給出漂亮的結(jié)果.167。 投入產(chǎn)出分析模型問題：大到國家甚至整個國際社會，小到一家企業(yè)，我們均可以將其視為一個經(jīng)濟(jì)體系來加以考察。一個國家其國民經(jīng)濟(jì)的各個組成部分間、一家企業(yè)的不同車間部門或產(chǎn)品間，投入與產(chǎn)出存在怎樣的相互依存關(guān)系，對其進(jìn)行合理準(zhǔn)確的建模分析為管理者做出科學(xué)的決策有著非常重要的意義。特別對于一家大型的工業(yè)制造企業(yè)，其部門數(shù)、原料與產(chǎn)品種類通常都比較多，且不同部門不同產(chǎn)品的間的技術(shù)經(jīng)濟(jì)聯(lián)系非常緊密，生產(chǎn)計劃、產(chǎn)品價格的科學(xué)制定，原材料的順利采購等均直接關(guān)系企業(yè)的效益。投入產(chǎn)出法最早是有美國經(jīng)濟(jì)學(xué)家瓦西里列昂剔夫在20世紀(jì)30年代初提出的，迄今已發(fā)展為一個內(nèi)容相當(dāng)豐富并有著廣泛應(yīng)用的方法體系。本文只介紹體系中最基本的一個方法模型。一． 模型假設(shè)考慮一家大型的工業(yè)制造企業(yè)，按照產(chǎn)品來劃分其組成部門：1． 種自產(chǎn)產(chǎn)品，種外購原料，其中自產(chǎn)產(chǎn)品有一部分是供應(yīng)市場需求的，也有一部分是在生產(chǎn)其它產(chǎn)品時作為原料而被中間消耗；2． 每一種產(chǎn)品的生產(chǎn)均有穩(wěn)定的技術(shù)條件：、分別表示生產(chǎn)單位第種產(chǎn)品需要消耗的第種自產(chǎn)產(chǎn)品、第種外購原料的量，分別稱之為對自產(chǎn)產(chǎn)品、外購原料的直接消耗系數(shù)，它們均為常數(shù)，與產(chǎn)品的產(chǎn)量無關(guān)；3． 、分別表示在某一時期自產(chǎn)產(chǎn)品的總產(chǎn)（向）量、最終產(chǎn)出（供應(yīng)市場需求的）（向）量、對自產(chǎn)產(chǎn)品的直接消耗（向）量，以及對外購原料的直接消耗（向）量。二． 模型建立若記、分別稱之為對自產(chǎn)產(chǎn)品、外購原料的直接消耗系數(shù)矩陣，根據(jù)模型假設(shè)，可得如下數(shù)學(xué)模型：模型中第一個方程是一平衡模型方程，而后兩個分別稱之為中間（對自產(chǎn)產(chǎn)品的）消耗、原始（對外購原料的）消耗函數(shù)模型。顯然，模型中所涉及的變量所服從的關(guān)系是線性的，稱之為線性投入產(chǎn)出模型。三． 模型求解從所建模型可得，若矩陣可逆（表示階單位矩陣），則有，即考慮中間消耗，一家企業(yè)在接到的市場需求定單后，需要組織的實(shí)際生產(chǎn)總量和為此需準(zhǔn)備的外購原料量。特別當(dāng)各種外購原料的單位價格已知的情況下，還可以算出各種產(chǎn)品的理論成本。矩陣可逆嗎？其逆矩陣如何計算？下面給出理論回答。定理：對于方陣，若1） （此時稱矩陣非負(fù)，記為）；2） 、（此時稱向量非負(fù)，記為），使得則：矩陣可逆，且。證明：（只須證明在題設(shè)條件下收斂即可）這里記，因?yàn)榫仃嚪秦?fù)，容易得非負(fù)且單調(diào)增，；另一方面，有界（即指有界）:由已知具有特點(diǎn): ,. 又, 所以, 即各分量間有一致的關(guān)系. 考慮二次間接消耗.依此類推, ,即對任意,我們有，即.. 特別. 推出. 所以為有界數(shù)列. 因此當(dāng)時必收斂, 即收斂.記，稱之為對自產(chǎn)產(chǎn)品的完全消耗系數(shù)矩陣，而以上定理也被稱為完全消耗系數(shù)的存在性定理。四． 點(diǎn)評以下是一張簡單的投入產(chǎn)出表（外購原料部分略）, 它是投入產(chǎn)出分析模型應(yīng)用的基礎(chǔ)：中 間 產(chǎn) 出最終產(chǎn)出總產(chǎn)出12…n合計中間投入1…2………………………n…假定一個企業(yè)或經(jīng)濟(jì)部門生產(chǎn)n種產(chǎn)品, 這n種產(chǎn)品又在生產(chǎn)中同時又被作為原料, 該投入產(chǎn)出表反映這一產(chǎn)業(yè)在某一生產(chǎn)周期內(nèi)的統(tǒng)計結(jié)果: 表示第i種產(chǎn)品在生產(chǎn)第j種產(chǎn)品時作為原料企業(yè)自己消耗的數(shù)量, 表示在該周期中企業(yè)自己消耗第i種產(chǎn)品的數(shù)量, 則表示作為投放市場的最終產(chǎn)出部分, 則表示第i種產(chǎn)品的總產(chǎn)量.表示生產(chǎn)每單位第j種產(chǎn)品消耗掉第i種產(chǎn)品的數(shù)量, 即直接消耗系數(shù),直接消耗系數(shù)矩陣反映了一個企業(yè)的產(chǎn)品生產(chǎn)工藝.而由此得到的直接消耗系數(shù)矩陣，通常自然地滿足完全消耗系數(shù)的存在性定理的題設(shè)條件。以下給出完全消耗系數(shù)的經(jīng)濟(jì)意義解釋：考慮中間（對自產(chǎn)產(chǎn)品的）消耗函數(shù)模型, 顯然為得到原料, 企業(yè)須先投入, 稱之為二次間接消耗向量, 依此類推, 可有三次間接消耗, 四次間接消耗…, 依此得到一個無窮鏈條, 為生產(chǎn), 須投入,稱之為完全消耗向量, 根據(jù)完全消耗系數(shù)的存在性定理該無窮和式收斂，而不會是和向量的某一分量趨于無窮大, 使得生產(chǎn)沒有意義。借助線性代數(shù)的特征值理論, 同樣可以給出完全消耗系數(shù)的存在性定理的證明, 然而作為對一個很典型的經(jīng)濟(jì)問題的研究, 該論證方式對模型內(nèi)在的經(jīng)濟(jì)意義揭示很少,而本文的論證過程充分利用了投入產(chǎn)出表的特點(diǎn),其過程非常簡明,避免了一些相當(dāng)專業(yè)化的理論，這也部分揭示了多數(shù)實(shí)際應(yīng)用問題具有許多好的性質(zhì)。第六章 軍事模型167。 核武器競賽問題：甲乙雙方（兩國），均將對方視為假想敵，在某種“國家安全”的定義下發(fā)展核武器，展開核軍備競賽。問題：在這場核軍備競賽中，雙方擁有的核武器會無限增長呢，還是存在某種平衡狀態(tài)？一． 模型假設(shè)1． 分別以、表示甲乙雙方擁有的核武器數(shù)目，這里視之為非負(fù)實(shí)數(shù)（即連續(xù)型變量），以、表示甲乙雙方對對方施行一次致命性打擊所需的核武器數(shù)目；2． 甲乙雙方的“國家安全”概念均采用保守定義：即在招到對方“傾瀉性”核打擊后，保證有足夠的核武器被保存下來以給對方致命的還擊；3． 分別以、（）表示甲乙雙方，其一枚核彈頭在遭受對方一枚核彈頭襲擊后有可能被保存下來的概率，這里假定不同核彈頭在遭受對方一枚核彈頭襲擊后有可能被保存下來的機(jī)會是相對獨(dú)立的。二． 模型建立定性分析模型：應(yīng)當(dāng)存在二函數(shù)、分別表示當(dāng)甲乙雙方擁有的核武器數(shù)目為、時，對方在遵照模型假設(shè)中所給出的有關(guān)“國家安全”概念，乙方、甲方所應(yīng)擁有最少的核武器數(shù)目。即當(dāng)甲方擁有的核武器數(shù)目為時，須有時，乙方才會確認(rèn)自己是安全的。顯然，、均應(yīng)當(dāng)為單調(diào)增函數(shù)。這里稱為雙方安全區(qū)，是核軍備競賽的穩(wěn)定區(qū)域。問：是否為空集？若為空集，即說明核軍備競賽是沒有盡頭的，其終究構(gòu)成人類持久和平愿望的最大威脅。所附四圖僅僅是在雙方安全曲線滿足單調(diào)增函數(shù)的條件下給出的四種可能情形，有陰影存在的區(qū)域表示存在雙方安全區(qū)。但實(shí)際當(dāng)中應(yīng)當(dāng)是哪一種呢？定量分析模型：在前述模型假設(shè)的基礎(chǔ)上，不難得到：，即、分別為甲乙雙方的安全曲線，而上面附圖的后三幅給出的三種可能的典型情形，顯然第四幅表示與兩者至少有一個滿足時方可出現(xiàn)。 在模型中涉及到的幾個參數(shù)的取值，比如影響的主要因素可以考慮雙方的國土、一枚核彈爆炸的破壞力，以及各自的防空能力。三． 模型分析通過定量分析模型得到的結(jié)果表明，核武器競賽是不容樂觀的，要么不存在穩(wěn)定區(qū)域，要么穩(wěn)定區(qū)域是一有界區(qū)域。也即表明建立在本文“安全概念”基礎(chǔ)上的核武器競賽從根本上應(yīng)當(dāng)撇棄，因?yàn)榧词乖诜€(wěn)定區(qū)域非空，由于某一方（或雙方）不克制的態(tài)度最終導(dǎo)致核武器競賽的災(zāi)難性后果。這一結(jié)果與我們對當(dāng)前國際上一些有核國家在發(fā)展核武器的現(xiàn)狀有一定距離，考察本模型，應(yīng)當(dāng)注意的是在第二條模型假設(shè)中提到的“安全概念”，事實(shí)上，一個和平國家在發(fā)展核武器時所遵循的原則是在遭到強(qiáng)大敵國的全面入侵，核武器應(yīng)當(dāng)作為一種先發(fā)性威懾力量而進(jìn)行有效阻止——而不應(yīng)當(dāng)作為一種后發(fā)性的在已遭到毀滅性打擊后的純粹報復(fù)行為。事實(shí)上在保留模型假設(shè)二中提到的“安全概念”，對其余假設(shè)作更為貼近問題真相的改進(jìn)只能導(dǎo)出對核武器競賽的前途更加悲觀的結(jié)論。四． 點(diǎn)評本例是在作了相當(dāng)程度的簡化假設(shè)下考慮了核武器競賽問題，我們很難期望模型能對所考慮問題給出比較樂觀的指導(dǎo)意義，但其整個建模過程卻對我們有很大的啟發(fā)：1． 定性分析與定量分析：在對一個應(yīng)用問題分析，通常包括定性分析與定量分析這樣兩個有機(jī)統(tǒng)一的環(huán)節(jié)，定性分析是數(shù)學(xué)建模的初級階段，在這一環(huán)節(jié)著力解決2． 隨機(jī)性模型：3． 建模的最終目的在于應(yīng)用：167。 戰(zhàn)爭模型一．問題分析影響一個軍隊(duì)?wèi)?zhàn)斗力的因素是多方面的，比方士兵人數(shù)、單個士兵的作戰(zhàn)素質(zhì)以及部隊(duì)的軍事裝備，而具體到一次戰(zhàn)爭的勝負(fù)，部隊(duì)采取的作戰(zhàn)方式同樣至關(guān)重要，此時作戰(zhàn)空間同樣成為討論一個作戰(zhàn)部隊(duì)整體戰(zhàn)斗力的一個不可忽略的因素。本節(jié)介紹幾個作戰(zhàn)模型，導(dǎo)出評估一個部隊(duì)綜合戰(zhàn)斗力的一些方法，以預(yù)測一場戰(zhàn)爭的大致結(jié)局。總以、表示甲乙交戰(zhàn)雙方在時刻的兵力，不妨視為雙方的士兵人數(shù)，、表示甲乙雙方在開戰(zhàn)時的初始兵力，顯然。在整個戰(zhàn)爭期間，雙方的兵力在不斷發(fā)生變化，而影響兵力變化主要有如下三個因素：1． 戰(zhàn)斗減員率，它取決于雙方的兵力，不妨以、分別表示甲乙雙方的戰(zhàn)斗減員率；2． 非戰(zhàn)斗減員率，比方由于疾病或逃跑等因素導(dǎo)致一個部隊(duì)減員，它通常可被設(shè)與本方的兵力成正比，比例系數(shù)分別對應(yīng)甲乙雙方；3． 增援率，它通常取決于一個已投入戰(zhàn)爭部隊(duì)以外的因素，甲乙雙方的增援率函數(shù)分別以表示。由此，可以得到一般的戰(zhàn)爭模型：而評價雙方的勝負(fù)，總認(rèn)定兵力先降為“零”（全部投誠或被殲滅）的一方為敗。以下分正規(guī)戰(zhàn)和游擊戰(zhàn)來討論。二． 正規(guī)作戰(zhàn)模型模型假設(shè)：1． 不考慮增援，忽略非戰(zhàn)斗減員；2． 甲乙雙方均以正規(guī)部隊(duì)作戰(zhàn)，每一方士兵的活動均公開，處于對方士兵的監(jiān)視與殺傷范圍之內(nèi)，一旦一方的某個士兵被殺傷，對方的火力立即轉(zhuǎn)移到其他士兵身上。因此，甲乙雙方的戰(zhàn)斗減員率僅與對方的兵力有關(guān)，簡單的設(shè)為是正比關(guān)系，以、分別表示甲乙雙方單個士兵在單位時間的殺傷力。若以、分別表示甲乙雙方單個士兵的射擊率，它們通常主要取決于部隊(duì)的武器裝備；以、分別表示甲乙雙方士兵一次射擊的（平均）命中率，它們主要取決于士兵的個人素質(zhì)，則有、。模型建立：根據(jù)模型假設(shè)，得正規(guī)作戰(zhàn)的數(shù)學(xué)模型：模型求解：從模型方程得到，進(jìn)而得該模型的解滿足：不難發(fā)現(xiàn)，甲方獲勝的充要條件為，即。進(jìn)一步可得甲方獲勝的充要條件為，從其形式，可以發(fā)現(xiàn)一種用于正規(guī)作戰(zhàn)部隊(duì)的綜合戰(zhàn)斗力的評價函數(shù)，以甲方為例，其綜合戰(zhàn)斗力的評價函數(shù)可取為，它與士兵的射擊率（武器裝備的性能）、士兵一次射擊的（平均）命中率（士兵的個人素質(zhì)）、士兵數(shù)的平方均服從正比例關(guān)系，這樣在三個因素中只有條件使其中的一個提升到原有水平的兩倍這樣的選擇時，顯然要選士兵數(shù)的增加，它可以帶來部隊(duì)綜合戰(zhàn)斗力四倍的提升。因此，正規(guī)作戰(zhàn)模型又被稱為平方率模型。三． 游擊作戰(zhàn)模型模型假設(shè)：1． 不考慮增援，忽略非戰(zhàn)斗減員；2． 甲乙雙方均以游擊作戰(zhàn)方式，每一方士兵的活動均具有隱蔽性，對方的射擊行為局限在某個范圍考慮可以被認(rèn)為是盲目的。因此，甲乙雙方的戰(zhàn)斗減員率不光與對方的兵力有關(guān)，同樣設(shè)為是正比關(guān)系；而且與自己一方的士兵數(shù)有關(guān)，這主要是由于其活動空間的限制所引起的，士兵數(shù)越多，其分布密度會越大，顯然二者服從正比例關(guān)系，這樣對方投來的一枚炮彈的平均殺傷力（期望值）也會服從正比例關(guān)系增加；3． 若以、分別表示甲乙雙方的有效活動區(qū)域的面積，以、分別表示甲乙雙方一枚炮彈的有效殺傷范圍的面積，以、分別表示甲乙雙方單個士兵的射擊率，、主要取決于部隊(duì)的武器裝備的性能和貯備；、也取決于士兵的個人素質(zhì)。模型建立：根據(jù)模型假設(shè)，得游擊作戰(zhàn)的數(shù)學(xué)模型：模型求解：從模型方程得到，進(jìn)而得該模型的解滿足：不難發(fā)現(xiàn)，甲方獲勝的充要條件為，即。從其形式，可以發(fā)現(xiàn)一種用于游擊作戰(zhàn)部隊(duì)的綜合戰(zhàn)斗力的評價函數(shù)，以甲方為例，其綜合戰(zhàn)斗力的評價函數(shù)可取為，它與士兵的射擊率（武器裝備的性能）、炮彈的有效殺傷范圍的面積、部隊(duì)的有效活動區(qū)域的面積、士兵數(shù)四者均服從正比例關(guān)系，這樣在四個要素中只要有條件使其中的一個提升到原有水平的兩倍這樣的選擇時，它們均可以帶來部隊(duì)綜合戰(zhàn)斗力成倍的提升，即沒有像在正規(guī)作戰(zhàn)模型中所表現(xiàn)出的差別。特別考慮士兵數(shù)在表達(dá)式中的地位，游擊作戰(zhàn)模型又被稱為線性率模型。四． 混合作戰(zhàn)模型（思考題）最后，直接給出一個混合作戰(zhàn)模型：讀者試著理解其意義，并通過求解給出甲方取勝的條件。第七章 生態(tài)學(xué)模型167。 微分方程穩(wěn)定性理論簡介一． 基本概念考慮維空間中的向量值函數(shù)，當(dāng)、時我們可以將之想象為平面或空間中一質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動曲線，它描述質(zhì)點(diǎn)在時刻的位置。許多物理或社會系統(tǒng)均可以被一組形如的微分方程描述，簡記為，其中，通常稱之為自治的動力系統(tǒng)。稱點(diǎn)為動力系統(tǒng)的一個平衡點(diǎn)，若。這時為動力系統(tǒng)的一個奇解。平衡點(diǎn)在對一個動力系統(tǒng)的定性分析中具有特殊的意義，稱動力系統(tǒng)的平衡點(diǎn)是（漸近）穩(wěn)定的，若對該動力系統(tǒng)的任一解，均有。例