【正文】 目標(biāo)函數(shù)，最大化即構(gòu)成報(bào)童賣報(bào)的最優(yōu)化模型。三． 模型求解令，可得最優(yōu)性條件為。可以如下理解：、分別為一份報(bào)紙?jiān)谫u出時(shí)所得利潤(rùn)和在賣不出去時(shí)所受損失；、分別表示顧客對(duì)報(bào)紙的需求量不足和超過(guò)的概率，假設(shè)購(gòu)進(jìn)份報(bào)紙是最優(yōu)的，那么考慮購(gòu)買份報(bào)紙，多增加的那一份報(bào)紙所能給報(bào)童帶來(lái)利潤(rùn)與損失從數(shù)學(xué)期望的角度將是“接近”相等的。讀者可以給出視為離散變量處理時(shí)，模型的描述與模型解的最優(yōu)性條件。167。 隨機(jī)貯存模型——策略 由于顧客對(duì)一種商品的需求是隨機(jī)的，因此在實(shí)際生活中，還有一種進(jìn)貨策略——策略被廣為采用：商店老板每隔一定時(shí)間要對(duì)商品的存貨進(jìn)行清點(diǎn)，只有當(dāng)存貨數(shù)量不足時(shí)才決定進(jìn)貨，且一次進(jìn)貨的訂貨量取與當(dāng)前存貨數(shù)量的差值。一． 模型假設(shè)1． 假設(shè)商店經(jīng)營(yíng)的商品單一，商店采用周期進(jìn)貨策略：每隔一定時(shí)間，比方一周，商店老板要對(duì)商品的存貨進(jìn)行清點(diǎn)，以決定是否進(jìn)貨。只有當(dāng)存貨數(shù)量不足時(shí)才決定進(jìn)貨，且一次進(jìn)貨的訂貨量取與當(dāng)前存貨數(shù)量的差值，表示進(jìn)貨量；2． 顧客在一周時(shí)間內(nèi)對(duì)該物品的需求量是一隨機(jī)變量，表示隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)；3． 商店在一周可能支付的費(fèi)用有：每次的訂貨費(fèi)，其取值與進(jìn)貨數(shù)量無(wú)關(guān)；每件商品在一周的貯存費(fèi)。、分別表示一件商品的購(gòu)進(jìn)價(jià)格和售出價(jià)格；4． 商店在一周的銷售活動(dòng)全部集中在一周的周初，因此商店須為剩余商品支付一周的貯存費(fèi)用；二． 模型建立首先考慮的確定，設(shè)當(dāng)前存貨數(shù)量，且決定進(jìn)貨，這時(shí)進(jìn)貨數(shù)量成為決策變量。和報(bào)童賣報(bào)一樣，的取值應(yīng)當(dāng)在期望值的意義上使得利潤(rùn)最大化。為進(jìn)貨數(shù)量取，而需求量為時(shí)商店在下周的利潤(rùn)。取其數(shù)學(xué)期望，得：若記，則。三． 模型求解令，得最優(yōu)性條件： ，其經(jīng)濟(jì)意義和對(duì)報(bào)童購(gòu)報(bào)的訣竅導(dǎo)出的最優(yōu)性條件的解釋是類似的，不在贅述。我們也直接從最優(yōu)性條件獲得，不論當(dāng)前存貨數(shù)量取何值，只要決定進(jìn)貨，那么最優(yōu)的訂貨量總是使得下期起初的貨物量達(dá)到確定的值： ，即應(yīng)滿足。按照前面的進(jìn)貨策略，根據(jù)當(dāng)前存貨數(shù)量，要么選擇進(jìn)貨，這時(shí)下周銷售利潤(rùn)的期望；要么選擇不進(jìn)貨，這時(shí)下周銷售利潤(rùn)的期望。顯然，若時(shí)，應(yīng)當(dāng)選擇不進(jìn)貨。如圖所示，函數(shù)在上通常為一單峰曲線，可得，也即關(guān)于變量方程在內(nèi)的解。四． 點(diǎn)評(píng)在本章涉及的四個(gè)貯存模型均被歸結(jié)為最優(yōu)化問(wèn)題，或成本最小化，或利潤(rùn)最大化，這并非偶然，因?yàn)槿祟愃鶑氖碌囊磺猩a(chǎn)或社會(huì)活動(dòng)均是有目的的，其行為總是在特定的價(jià)值觀念或?qū)徝廊∠虻闹湎逻M(jìn)行的，因此，當(dāng)可行方案不唯一的前提下，總是在某中評(píng)價(jià)指標(biāo)下選擇最優(yōu)的方案。可以說(shuō)，最優(yōu)化思想和方法是數(shù)學(xué)建模的靈魂。另外，在兩個(gè)隨機(jī)性模型分析中，目標(biāo)函數(shù)選擇利潤(rùn)函數(shù)，其避免了在“允許缺貨的貯存模型”討論中的許多含糊的地方。第五章 幾個(gè)經(jīng)濟(jì)模型167。 實(shí)物交換模型一． 問(wèn)題分析與模型假設(shè):1． 討論甲、乙雙方，限于A、B兩種物品；2． 以、分別表示甲方、乙方擁有A、B兩種物品的量，以、分別表示甲方、乙方相應(yīng)的滿意程度，稱之為滿意度函數(shù)；3． 以、分別表示甲方、乙方在交易前擁有A、B兩種物品的量。二． 模型建立：顯然甲、乙雙方均希望通過(guò)交易以得到更大的滿意度，即從甲方的角度，應(yīng)極大化，從乙方的角度，應(yīng)極大化，當(dāng)然還應(yīng)考慮一些約束條件，我們一并歸結(jié)為如下多目標(biāo)最優(yōu)化問(wèn)題：三． 模型求解：作定性的分析，滿意度函數(shù)、應(yīng)具有如下性質(zhì)：1． 滿意度函數(shù)連續(xù)、非負(fù)，且對(duì)各自變量單調(diào)遞增，即；2． 考察滿意度函數(shù)的等值線（族），這里稱之為甲方的無(wú)差別曲線（族），應(yīng)滿足：對(duì)不同的二常數(shù)，無(wú)差別曲線與不交；若將視為一隱函數(shù)，變量對(duì)于變量單調(diào)遞減；曲線為下凸的，即在通常情況下，人們當(dāng)在擁有一種物品（A）的量相對(duì)多時(shí)，傾向以較多的這種物品（A）來(lái)?yè)Q取較少的另一種物品（B）。3． 而滿足如上特點(diǎn)的函數(shù)類有很多，比如（其中為參數(shù)）、（其中為參數(shù)）、（其中為參數(shù)）等。進(jìn)而可得，問(wèn)題的一個(gè)有效解須滿足的必要條件：1． ，；2． ，即；3． 。所有有效解構(gòu)成一段有限曲線段，稱之為交換路徑。167。 經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)模型問(wèn)題：大到一個(gè)國(guó)家的國(guó)民產(chǎn)值，小到一個(gè)企業(yè)中某種產(chǎn)品的生產(chǎn)量，其值通常取決于相關(guān)的生產(chǎn)資料和勞動(dòng)力等重要因素。而這些量之間究竟存在何種依賴關(guān)系，進(jìn)而勞動(dòng)生產(chǎn)率提高的條件是什么？一． 模型假設(shè)1． 生產(chǎn)量，只取決于兩個(gè)重要因素：生產(chǎn)資料（廠房、設(shè)備、技術(shù)革新等）和勞動(dòng)力（數(shù)量、素質(zhì)等），即；另外，這幾個(gè)量又是隨著時(shí)間的變化而不斷改變的，因此也把它們視為時(shí)間的函數(shù)：、在勞動(dòng)生產(chǎn)率增長(zhǎng)的條件的討論中，服從指數(shù)增長(zhǎng)規(guī)律，相對(duì)增長(zhǎng)率為常數(shù)，而的增長(zhǎng)率正比于生產(chǎn)量，即將按照某一固定比率用于生產(chǎn)（資料）性擴(kuò)大再生產(chǎn)投資；2． 勞動(dòng)生產(chǎn)率可由生產(chǎn)量與勞動(dòng)力之比來(lái)表征。定性分析，關(guān)于均單調(diào)增，即二． 模型建立與求解1． 道格拉斯（Douglas）生產(chǎn)函數(shù)在附表中美國(guó)馬薩諸塞州1890~1926年生產(chǎn)資料指數(shù)、勞動(dòng)力指數(shù)與總產(chǎn)量指數(shù)的一組統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，取1899年為基年，即，以此為參照，也許我們很難直接從表上發(fā)現(xiàn)什么，但若定義，并作的散點(diǎn)圖，發(fā)現(xiàn)基本上服從正比例關(guān)系，利用數(shù)據(jù)擬合，可得。這一結(jié)果并非偶然，事實(shí)上它被后來(lái)更多地區(qū)或國(guó)家的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)所肯定：存在常數(shù)。當(dāng)然常數(shù)取值通常和相應(yīng)地區(qū)或國(guó)家的經(jīng)濟(jì)發(fā)展階段以及主要產(chǎn)業(yè)類型等因素有關(guān)。 進(jìn)而可得：，即（這里），它是著名的CobbDouglas生產(chǎn)函數(shù)。由此不難得到，即生產(chǎn)量、生產(chǎn)資料和勞動(dòng)力三者的相對(duì)增長(zhǎng)率服從簡(jiǎn)單的線性規(guī)律。其中系數(shù)分別為產(chǎn)量對(duì)勞動(dòng)力、生產(chǎn)資料的彈性系數(shù)，說(shuō)明產(chǎn)量增長(zhǎng)主要靠勞動(dòng)力的增長(zhǎng)；說(shuō)明產(chǎn)量增長(zhǎng)主要靠生產(chǎn)資料的增長(zhǎng)。附表：美國(guó)馬薩諸塞州1890~1926年數(shù)據(jù)94178518761967205821492231023211241122501326114272153162． 勞動(dòng)生產(chǎn)率增長(zhǎng)的條件：根據(jù)模型假設(shè)，勞動(dòng)生產(chǎn)率，其持續(xù)增長(zhǎng)的條件應(yīng)為恒成立?？紤]我們討論的幾個(gè)主要經(jīng)濟(jì)變量通常均恒取正值，故可以等價(jià)地用勞動(dòng)生產(chǎn)率的相對(duì)增長(zhǎng)率來(lái)刻劃。將代入，得，兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)，然后對(duì)求導(dǎo)，可得：令之恒取正值，得等價(jià)條件：恒成立，即對(duì)生產(chǎn)資料投入的相對(duì)增長(zhǎng)率恒大于勞動(dòng)力的相對(duì)增長(zhǎng)率。同樣根據(jù)模型假設(shè)，、為如下初值問(wèn)題的解，得。因此，就這一具體經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)模式，其恒取正值的充分必要條件為，其經(jīng)濟(jì)意義為：只要在初始時(shí)，對(duì)生產(chǎn)資料的相對(duì)增長(zhǎng)率大于勞動(dòng)力的相對(duì)增長(zhǎng)率，就能保證勞動(dòng)生產(chǎn)率的不斷增長(zhǎng)，反之，勞動(dòng)生產(chǎn)率只會(huì)不斷降低。三．點(diǎn)評(píng)在本文中CobbDouglas生產(chǎn)函數(shù)的給出，是通過(guò)對(duì)大量統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)分析的基礎(chǔ)上得到的。統(tǒng)計(jì)分析方法是一類重要的數(shù)學(xué)建模途徑：首先對(duì)一些變量或他們的導(dǎo)出變量之間的關(guān)系，根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)作定性的分析判斷，比方文中提及的借助對(duì)一些變量統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖的直觀表現(xiàn)作定性分析，然后在用數(shù)據(jù)擬合等方法給出相應(yīng)變量間的具體函數(shù)依賴關(guān)系。另外一類建模方法這里稱之為機(jī)理分析方法，盡管一些變量間的依賴關(guān)系難于把握，但它們的某些導(dǎo)出變量之間所服從的規(guī)律卻是相對(duì)簡(jiǎn)單的，比方一些變量的變化率、相對(duì)變化率等。這樣，我們通常首先得到的是我們所關(guān)心的變量的一些微分方程（組）或積分方程（組），然后通過(guò)解析的或數(shù)值的方法給出具體的解，這樣的例子可參考幾個(gè)人口增長(zhǎng)模型的建立。另外，盡管CobbDouglas生產(chǎn)函數(shù)的導(dǎo)出在本文中介紹的是采用統(tǒng)計(jì)分析方法的途徑，但對(duì)其最終形式的表現(xiàn)，我們注意到有如下特點(diǎn)：其中，且。若用財(cái)富的單位來(lái)統(tǒng)一考察生產(chǎn)量、生產(chǎn)資料和勞動(dòng)力等三個(gè)量，生產(chǎn)函數(shù)的形式符合量綱齊次原則。量綱分析是20世紀(jì)初被提出的在物理領(lǐng)域中建立數(shù)學(xué)模型的一種方法，而其方法的核心思想——量綱齊次原則，要求當(dāng)用數(shù)學(xué)公式表示一個(gè)物理定律時(shí)，等號(hào)兩端必須保持量綱一致。事實(shí)上，對(duì)經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)條件的討論，后來(lái)學(xué)者的研究工作對(duì)生產(chǎn)值（量）的影響因素已不局限于只對(duì)生產(chǎn)資料和勞動(dòng)力兩個(gè)量的考慮，而是將像對(duì)科技進(jìn)步、對(duì)教育的投入等比較重要的量作為獨(dú)立的生產(chǎn)要素加以討論，所用模型是對(duì)CobbDouglas生產(chǎn)函數(shù)的擴(kuò)展，而上述量綱齊次原則被先驗(yàn)地利用起來(lái)。167。 多人合作分益模型與公理化方法建模問(wèn)題：設(shè)想n個(gè)人從事某項(xiàng)經(jīng)濟(jì)活動(dòng), 對(duì)于他們之中若干人組合的每一種合作 (特別, 單人也視為一種合作), 都會(huì)得到一定的效益, 當(dāng)人們之間的利益是非對(duì)抗性的, 合作中人數(shù)的增加不會(huì)引起效益的減少, 這樣, 全體n個(gè)人的合作將帶來(lái)最大效益. n個(gè)人組成的集合及各種可能合作的效益就構(gòu)成n人合作對(duì)策, 而一個(gè)重要的問(wèn)題是如何將合作收益合理的分配給每個(gè)人, Shapley L. ——Shapley值.一． 模型假設(shè)1． 個(gè)人或合作主體地位平等，其利益非對(duì)抗；2． 對(duì)于他們之中的任何一種組合均被視為某種合作且可創(chuàng)造一定的收益，合作中人數(shù)的增加不會(huì)引起效益的減少。這樣，全體個(gè)人的合作將帶來(lái)最大的效益，而個(gè)人單干時(shí)所收到的整體效益最小。二． 模型建立根據(jù)模型假設(shè)，合作收益是集合的冪集合上的一個(gè)實(shí)值函數(shù),滿足： 1） ；2） 對(duì)任意，均有。稱任何滿足如上性質(zhì)的函數(shù)為n人合作對(duì)策的特征函數(shù)。以表示對(duì)應(yīng)合作收益的一個(gè)合作對(duì)策的分配算法，表示第個(gè)人按照算法從最大的合作效益中分得的份額。我們的目標(biāo)是構(gòu)造盡可能合理的分配算法。三． 模型求解——Shapley值：許多類似的問(wèn)題的解答，合理性有賴于特定的價(jià)值體系。在這里我們給出三條準(zhǔn)則——Shapley公理：1） 對(duì)稱性：設(shè)均為n人合作對(duì)策的特征函數(shù)，若存在上的一置換（即到自身的一個(gè)一一映射，可以理解為的一全排列），使得（這里，必有。它可以被理解為每人的分配只與他在合作中發(fā)揮的作用有關(guān)，而與他被賦予的記號(hào)無(wú)關(guān)；2） 有效性：若某成員，對(duì)均有，則；另外。該公理表示，若某成員對(duì)于他參加的任何一個(gè)合作都不會(huì)帶來(lái)效益，那他不應(yīng)當(dāng)從全體合作的收益中獲得報(bào)酬，而各成員所分得的報(bào)酬之和應(yīng)等于全體合作的收益；3） 可加性：設(shè)均為n人合作對(duì)策的特征函數(shù)，不難證明：對(duì)均有同樣為n人合作對(duì)策的一個(gè)特征函數(shù)，此時(shí)應(yīng)有。該公理表示當(dāng)同時(shí)進(jìn)行兩項(xiàng)合作時(shí)，而各成員所分得的報(bào)酬應(yīng)等于兩項(xiàng)合作分別分配的收益之和。Shapley利用邏輯推理的方法證明，存在唯一的滿足以上三條公理的效益分配算法： 表示集合中元素的個(gè)數(shù)。四． 點(diǎn)評(píng)這里并不打算討論Shapley值的推導(dǎo)和給出過(guò)程,而是試圖對(duì)其結(jié)果作一些后驗(yàn)的分析,發(fā)現(xiàn)這個(gè)結(jié)果完全可以避開構(gòu)造和求解方程組,而只作一些適當(dāng)?shù)睦硇运伎季涂山o出.事實(shí)上,在利益分配中容易出現(xiàn)矛盾通常是因?yàn)槟惆l(fā)現(xiàn)分配規(guī)則是由別人制訂的,而類似的規(guī)則由你同樣也能夠制訂,你和你的合作伙伴的力量,當(dāng)你面對(duì)大自然時(shí),你只能適應(yīng),很少表現(xiàn)不滿.為此,每個(gè)人都可將他的合作伙伴視為客觀世界的一部分,而每一次可能的合作是大自然隨機(jī)呈現(xiàn)在你面前的一次機(jī)會(huì),其中, 則可表示出現(xiàn)在 面前可供其選擇的合作機(jī)會(huì),若 加入, 則可增加收益若將增加的這部分收益全部給 ,顯然從 的角度看, 他應(yīng)相當(dāng)滿意.然而這種39。機(jī)會(huì)的出現(xiàn)是隨機(jī)的, 恰出現(xiàn)在之前, 而恰好出現(xiàn)在之后的概率為. 在具有隨機(jī)性的客觀世界面前, 只能取走所有可能合作增加效益的平均值——數(shù)學(xué)期望.從這個(gè)例子說(shuō)明, 對(duì)實(shí)際問(wèn)題的重視, 可以為理論研究挖掘豐富多彩的素材, 而就后來(lái)對(duì)結(jié)果所作的分析, 我們也看到科學(xué)研究同樣不排斥近乎玄的想象力, 純粹計(jì)算、求解并非構(gòu)成數(shù)學(xué)的全部, 合理的想象可以直接給出漂亮的結(jié)果.167。 多人合作分益模型與公理化方法建模問(wèn)題：設(shè)想n個(gè)人從事某項(xiàng)經(jīng)濟(jì)活動(dòng), 對(duì)于他們之中若干人組合的每一種合作 (特別, 單人也視為一種合作), 都會(huì)得到一定的效益, 當(dāng)人們之間的利益是非對(duì)抗性的, 合作中人數(shù)的增加不會(huì)引起效益的減少, 這樣, 全體n個(gè)人的合作將帶來(lái)最大效益. n個(gè)人組成的集合及各種可能合作的效益就構(gòu)成n人合作對(duì)策, 而一個(gè)重要的問(wèn)題是如何將合作收益合理的分配給每個(gè)人, Shapley L. ——Shapley值.一． 模型假設(shè)3． 個(gè)人或合作主體地位平等，其利益非對(duì)抗；4． 對(duì)于他們之中的任何一種組合均被視為某種合作且可創(chuàng)造一定的收益，合作中人數(shù)的增加不會(huì)引起效益的減少。這樣，全體個(gè)人的合作將帶來(lái)最大的效益，而個(gè)人單干時(shí)所收到的整體效益最小。二． 模型建立根據(jù)模型假設(shè)，合作收益是集合的冪集合上的一個(gè)實(shí)值函數(shù),滿足： 3） ；4） 對(duì)任意，均有。稱任何滿足如上性質(zhì)的函數(shù)為n人合作對(duì)策的特征函數(shù)。以表示對(duì)應(yīng)合作收益的一個(gè)合作對(duì)策的分配算法，表示第個(gè)人按照算法從最大的合作效益中分得的份額。我們的目標(biāo)是構(gòu)造盡可能合理的分配算法。三． 模型求解——Shapley值：許多類似的問(wèn)題的解答，合理性有賴于特定的價(jià)值體系。在這里我們給出三條準(zhǔn)則——Shapley公理：4） 對(duì)稱性：設(shè)均為n人合作對(duì)策的特征函數(shù)，若存在上的一置換（即到自身的一個(gè)一一映射，可以理解為的一全排列），使得（這里，必有。它可以被理解為每人的分配只與他在合作中發(fā)揮的作用有關(guān)，而與他被賦予的記號(hào)無(wú)關(guān)；5） 有效性：若某成員，對(duì)均有，則；另