【文章內(nèi)容簡介】 ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ?加減： 標(biāo)積： 矢積： HARBIN ENGINEERING UNIVERSITY 二、矢量分析 坐標(biāo)單位矢量之間的關(guān)系 xe? ye? ze??e??e?ze??cos ?sin 0?cos?sin? 00 0 1直角坐標(biāo) 與 圓柱坐標(biāo)系 ?e? ?e? ze?re??e??e??sin 0 ?cos?sin??cos 00 01圓柱坐標(biāo) 與 球坐標(biāo)系 直角坐標(biāo) 與 球坐標(biāo)系 ze?re??e??e??? co ssin ?cos?sin??? sinc o s?0xe? ye??? sinsin?? sinco s?cos?sin?o φ x y 單位圓 直角坐標(biāo)系與柱坐標(biāo)系之間 坐標(biāo)單位矢量的關(guān)系 φ xe?ye??e??e?o θ r z 單位圓 柱坐標(biāo)系與球坐標(biāo)系之間 坐標(biāo)單位矢量的關(guān)系 θ θ ze??e?re??e?HARBIN ENGINEERING UNIVERSITY 二、矢量分析 三種坐標(biāo)系有不同適用范圍： 直角坐標(biāo)系適用于場呈 面對稱分布 的問題求解，如無限大面電荷分布產(chǎn)生電場分布。 柱面坐標(biāo)系適用于場呈 軸對稱分布 的問題求解，如無限長線電流產(chǎn)生磁場分布。 球面坐標(biāo)系適用于場呈 點(diǎn)對稱分布 的問題求解，如點(diǎn)電荷產(chǎn)生電場分布。 HARBIN ENGINEERING UNIVERSITY 三、場論 標(biāo)量場的梯度 ? 如果物理量是標(biāo)量，稱該場為 標(biāo)量場 。 例如 ：溫度場、電位場、高度場等。 ? 如果物理量是矢量，稱該場為 矢量場 。 例如 ：流速場 、 重力場 、電場、磁場等。 ? 如果場與時間無關(guān)，稱為 靜態(tài)場 ，反之為 時變場 。 時變標(biāo)量場和矢量場可分別表示為： ( , , , )u x y z t 、 ( , , , )F x y z t 確定空間區(qū)域上的每一點(diǎn)都有確定物理量與之對應(yīng)，稱在該區(qū)域上定義了一個 場 。 從數(shù)學(xué)上看，場是定義在空間區(qū)域上的函數(shù)： ? 標(biāo)量場和矢量場 ( , , )u x y z 、 ( , , )F x y z靜態(tài)標(biāo)量場和矢量場可分別表示為： HARBIN ENGINEERING UNIVERSITY 三、場論 標(biāo)量場的等值面 標(biāo)量場空間中，由所有場值相等的點(diǎn)所構(gòu)成的面，即為等值面。即若標(biāo)量函數(shù)為 ，則等值面方程為： ( , , )u u x y z?( , , )u x y z c c on st?? 方向?qū)?shù) 方向?qū)?shù)表征標(biāo)量場空間中， 某點(diǎn)處 場值沿 特定方向 變化的規(guī)律。 方向?qū)?shù)定義： 000( ) ( )l imlMu M u Mull???? ??? M0Ml?l()ur方向?qū)?shù)與選取的 考察方向 有關(guān)。 HARBIN ENGINEERING UNIVERSITY 三、場論 若函數(shù) φ=φ(x, y, z)在點(diǎn) M0(x0, y0, z0)處可微 ， cosα、 cosβ、 cosγ為 l方向的方向余弦 ， 則函數(shù) φ在點(diǎn) M0處沿 l方向的方向?qū)?shù)必定存在 ，且為 ??????? c osc osc os0zxxl M ??????????? 證明： M點(diǎn)的坐標(biāo)為 M(x0+Δx, y0+Δy, z0+Δz)， 由于函數(shù) φ在 M0處可微 ， 故 0( ) ( )M M x y z lx y z? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?HARBIN ENGINEERING UNIVERSITY 三、場論 兩邊除以 ，可得 c o s c o s c o sx y zl x l y l z lx y z? ? ? ??? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ?當(dāng) ρ趨于零時對上式取極限，可得 ??????? c osc osc os zyxl ???????????l?HARBIN ENGINEERING UNIVERSITY 三、場論 方向?qū)?shù)物理意義： 00Mul? ??，標(biāo)量場 在 處沿 方向增加率； u0M00Mul? ??，標(biāo)量場 在 處沿 方向減小率； u0Mll00Mul? ??，標(biāo)量場 在 處沿 方向?yàn)榈戎得娣较颍o改變） u0Ml 方向?qū)?shù)的計算 c o s c o s c o su u u ul x y z? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ?—— 的方向余弦。 l?式中 ： c o s c o s c o s? ? ?、 、? ? ?、 、 分別為 與 x,y,z坐標(biāo)軸的夾角。 l?HARBIN ENGINEERING UNIVERSITY 三、場論 例 11 求數(shù)量場 φ =(x+y)2z通過點(diǎn) M(1, 0, 1)的等值面方程 。 22)(0)(yxzzyx?????或 解： 點(diǎn) M的坐標(biāo)是 x0=1, y0=0, z0=1，則該點(diǎn)的數(shù)量場值為φ=(x0+y0)2z0=0。其等值面方程為 HARBIN ENGINEERING UNIVERSITY 三、場論 例 13 求數(shù)量場 在點(diǎn) M(1, 1, 2)處沿l=ex+2ey+2ez方向的方向?qū)?shù) 。 解： l方向的方向余弦為 zyxu 22 ??322212c o s322212c o s312211c o s222222222???????????????HARBIN ENGINEERING UNIVERSITY 三、場論 而 222 )(,2,2 z yxzuz yyuz xxu ???????????數(shù)量場在 l方向的方向?qū)?shù)為 22232232231c o sc o sc o szyxzyzxzuyuxulu??????????????????在點(diǎn) M處沿 l方向的方向?qū)?shù) 324232132131 ?????????Ml?HARBIN ENGINEERING UNIVERSITY 三、場論 梯度的定義 m a x( , , ) lug r a d u x y z el???式中： 為場量 最大變化率 的方向上的單位矢量。 le 梯度的性質(zhì) 標(biāo)量場的梯度為 矢量 ，且是坐標(biāo)位置的函數(shù) 標(biāo)量場梯度的幅度表示標(biāo)量場的 最大增加率 標(biāo)量場梯度的方向 垂直于 等值面，為標(biāo)量場 增加最快 的方向 標(biāo)量場在給定點(diǎn)沿任意方向的 方向?qū)?shù) 等于 梯度在該方向投影 標(biāo)量場的梯度 uHARBIN ENGINEERING UNIVERSITY 三、場論 梯度的運(yùn)算 1zu u uu e e erz????? ? ?? ? ? ?? ? ?11s inru u uu e e er r r??? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? 直角坐標(biāo)系： ()xyxyzzu u ue e exg ra d ue e exzzuyy? ? ???? ? ??? ? ?? ? ?? ? ?哈密頓算符 ?u?? 球面坐標(biāo)系： 11( ( ) )s inre e er r r?? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? 柱面坐標(biāo)系： 1()ze e erz????? ? ?? ? ? ?? ? ?HARBIN ENGINEERING UNIVERSITY 三、場論 0()()()( ) ( )CC u C uu v u vuv u v v uf u f u u????? ? ???? ? ? ? ? ???? ? ? ? ???? ? ??? 梯度運(yùn)算相關(guān)公式 式中： 為常數(shù)； C,uv 為坐標(biāo)變量函數(shù)； HARBIN ENGINEERING UNIVERSITY 三、場論 矢量場的通量與散度 矢量線（力線） 矢量場的通量 矢量線的 疏密 表征矢量場的 大小 矢量線上每點(diǎn)的切向代表該處矢量場的方向 ()S F r d? ? ? S 若 矢量場 分布于空間中，在空間中存在任意曲面 S，則定義： ()Fr為 矢量 沿 有向曲面 S 的通量 。 矢量場的通量 ()Fr矢量線 O M Fdrr?rdr問題 ： 如何定量描述矢量場的大小？ 引入 通量 的概念。 HARBIN ENGINEERING UNIVERSITY 三、場論 c o sns s sF d S F e d S F d S?? ? ? ?? ? ? 1) 面元矢量 定義：面積很小的 有向 曲面。 dS：面元面積，為微分量， 無限小 dSne：面元法線方向， 垂直于 面元平面。 說明： nedS2) 面元法向 的確定方法： 對非閉合曲面：由曲面邊線繞向按 右手螺旋法則 確定； 對閉合曲面：閉合面 外法線方向 ne 若 S 為閉合曲面 ()s rd? ? ?? AS物理意義：表示穿入和穿出閉合面 S的通量的 代數(shù)和 。 HARBIN ENGINEERING UNIVERSITY 三、場論 若 ，通過閉合曲面有凈的矢量線穿出，閉合面內(nèi)有發(fā)出矢量線的 正源 ； 0?? 若 ，有凈的矢量線進(jìn)入，閉合面內(nèi)有匯集矢量線的 負(fù) 源 ； 0?? 若 ，進(jìn)入與穿出閉合曲面的矢量線相等，閉合面內(nèi) 無源 ， 或 正源負(fù)源代數(shù)和為 0。 0?? 通過 閉合面 S的通量 的物理意義： 0?? 0?? 0??HARBIN ENGINEERING UNIVERSITY 三、場論 、矢量場的散度 散度的定義 在場空間 中任意點(diǎn) M 處作一個閉合曲面，所圍的體積為 ，則定義場矢量 在 M 點(diǎn)處的散度為： ()FrV?0()d iv ( ) l im sVF r dFr V??? ??S()Fr即 流出單位體積元封閉面的通量。 HARBI