文科數(shù)學第五章第一節(jié)(編輯修改稿)
2025-02-11 12:39 本頁面
【文章內容簡介】 3。瑞安市十校聯(lián)考 )若數(shù)列 {an}的通項公式 an＝ ，記 Cn＝ 2(1－ a1)(1－ a2)… (1－ an)，試通過計算 C1， C2， C3的值，推測出 Cn＝ ________. 21( +1)n思路點撥： 根據(jù)已知等式寫出前 3項，注意將 C1， C2，C3的結果寫成相同的結構形式 (不要寫成小數(shù) )，這樣方便觀察規(guī)律，得出一般表達式． ◆ 高考總復習 ?數(shù)學 ?(文科 )◆ 解析： C1＝ 2(1 － a1) ＝ 2????????1 －14＝32， C2＝ 2(1 － a1) (1 － a2) ＝ C1(1 － a2) ＝32 ????????1 －19＝43， C3＝ C2(1 － a3) ＝ 43 ????????1 －116＝54，觀察得 Cn＝n ＋ 2n ＋ 1. 答案：n ＋ 2n ＋ 1 ◆ 高考總復習 ?數(shù)學 ?(文科 )◆ 點評： (1)從特殊的事例，通過分析、歸納，抽象總結出一般規(guī)律，再進行科學的證明，這是創(chuàng)新意識的具體體現(xiàn)，這種探索問題的方法，在解數(shù)列的有關問題中經(jīng)常用到，應引起足夠的重視． (2)對遞推公式，要求寫出前幾項，并猜想其通項公式，此外了解常用的處理辦法，如迭加、迭代、迭乘及變形后結合等差 (比 )數(shù)列公式，也很必要． (3)求本題數(shù)列的通項公式還可用倒數(shù)法來推導，同學們不妨一試． ◆ 高考總復習 ?數(shù)學 ?(文科 )◆ 變式探究 2． (1)(2022成都市模擬 )設數(shù)列 中， a1＝ 2， an＋ 1＝ an＋ n＋ 1，則通項 an＝ ________. ? ?na解析： ∵ a 1 ＝ 2 ， a n ＋ 1 ＝ a n ＋ n ＋ 1 ， ∴ a n ＋ 1 － a n ＝ n ＋ 1. 由此得 a n － a n － 1 ＝ n ， a n － 1 － a n － 2 ＝ n － 1 ， a n － 2 － a n － 3 ＝ n － 2 ， ? ， a 3 － a 2 ＝ 3 ， a 2 － a 1 ＝ 2 ， ◆ 高考總復習 ?數(shù)學 ?(文科 )◆ 將以上各式相加，得 an－ a1＝ n ＋ ????n － 1 ＋????n － 2 ＋????n － 3 ＋ ? ＋ 2 ＝????n － 1????n ＋ 22， ∴ an＝????n － 1????n ＋ 22＋ 2 ＝n2＋ n ＋ 22. 答案：n2＋ n ＋ 22 ◆ 高考總復習 ?數(shù)學 ?(文科 )◆ (2)在數(shù)列 {an}中，已知 a1＝ 1， an＋ 1＝ ，則 an＝________. 1nnana?答案： (提示：用倒數(shù)法、迭加法即可求得 ) 2 2 2nn??◆ 高考總復習 ?數(shù)學 ?(文科 )◆ 考點三 已知 Sn與 an的關系式，求通項公式 an 【 例 3】 (2022漳州市模擬 )已知各項均為正數(shù)的數(shù)列 {an}的前 n項和滿足 Sn1，且 6Sn＝ (an＋ 1)(an＋ 2)， n∈ N*.求 {an}的通項公式． 解析： 由 a1＝ S1＝ (a1＋ 1)(a1＋ 2)，解得 a1＝ 1或 a1＝ 2，由題設知 a1＝ S1＞ 1，因此 a1＝ 2. 又由 an＋ 1＝ Sn＋ 1－ Sn＝ (an＋ 1＋ 1)(an＋ 1＋ 2)－ (an＋1)(an＋ 2)，得 an＋ 1－ an－ 3＝ 0或 an＋ 1＝－ an， 因 an＞ 0，故 an＋ 1＝－ an不成立，舍去． 因此 an＋ 1－ an－ 3＝ 0，從而 {an}是公差為 3，首項為 2的等差數(shù)列，故 {an}的通項為 an＝ 3n－ 1. 161616◆ 高考總復習 ?數(shù)學 ?(文科 )◆ 點評： 已知 {an}的前 n項和 Sn，求 an時應注意以下三點： (1)應重視分類討論法的應用，分 n＝ 1和 n≥2兩種情況討論，特別注意 an＝ Sn－ Sn－ 1中需 n≥2. (2)由 Sn－ Sn－ 1＝ an推得的 an，當 n＝ 1時， a1也適合 “ an式 ” ，則需統(tǒng)一 “ 合寫 ” ． (3)由 Sn－ Sn－ 1＝ an推得的 an，當 n＝ 1時， a1不適合 “ an式 ” ，則數(shù)列的通項公式應分段表示 (“分寫 ” )， 即 an＝ 利用 Sn與 an的關系求通項是一個重要內容，應注意 Sn與 an間關系的靈活運用． 1112n n SnS S n .??? ??，，◆ 高考總復習 ?數(shù)學 ?(文科 )◆ 變式探究 3． (1)(2022江門
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