【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 面 ，它也是以 O為頂點(diǎn)的錐面，簡(jiǎn)稱 動(dòng)錐 。 剛體繞定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的過(guò)程 剛體繞定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的過(guò)程可以看成是 一系列以角速度ω i繞瞬時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)軸轉(zhuǎn)動(dòng)的合成 。 也 可以說(shuō)，剛體做定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，動(dòng)瞬時(shí)錐面在靜瞬時(shí)錐面上以角速度 ω(t)作無(wú)滑動(dòng)的滾動(dòng)，見(jiàn)圖 3—2。 定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)剛體上點(diǎn)的速度和加速度 當(dāng)剛體相對(duì)某動(dòng)參考系以 ω 1轉(zhuǎn)動(dòng)．而此動(dòng)參考系又以 ω 2相對(duì)定參考系轉(zhuǎn)動(dòng)，則剛體的運(yùn)動(dòng)可以看成繞某個(gè) OC軸以角速度 ω＝ ω1十 ω2作轉(zhuǎn)動(dòng)， OC即為 ω的方向。這就是說(shuō)，剛體繞相交軸轉(zhuǎn)動(dòng)合成時(shí)，角速度的合成服從向量加法。 設(shè)剛體的瞬時(shí)角速度為 ω， 則剛體上相對(duì)定點(diǎn)的向徑為r的點(diǎn)的速度為 rωrv ??? dtd() () vωrεdtdva ?????其中， 為剛體的角加速度； 稱為轉(zhuǎn)動(dòng)加速度； 稱為向心加速度。 dtdωε ? rεa t ??navω ??3． 2 描述剛體定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的解析法 上一節(jié)的討論實(shí)際上是剛體定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的一種簡(jiǎn)單的、幾何的、定性的描述，本節(jié)詳細(xì)介紹剛體定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的定量的描述。 ?剛剛體定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的方向余弦描述 ?剛剛體定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的歐拉角描述 ?剛剛體定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的廣義歐拉角描述 圖 33 i和 j 坐標(biāo)系 (1)方向余弦矩陣 假設(shè)以參考空間某一點(diǎn) O為原點(diǎn)，有兩個(gè)笛卡爾直角坐標(biāo)系 oξεδ (簡(jiǎn)稱 i系 )和 oxyz(簡(jiǎn)稱 j系 )， 各坐標(biāo)軸之間夾角的余弦值構(gòu)成了一個(gè)方向余弦矩陣 A，它可以表示兩坐標(biāo)系之間的 空間關(guān)系 。 圖 33 i和 j 坐標(biāo)系 兩坐標(biāo)系之間的 空間關(guān)系 如果以 j系為參考系， i系是由 j系繞 O點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)后的結(jié)果；同理，如果以 i系為參考系， j系是由 i系繞 O點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)后的結(jié)果 . )( ji ee ??ji A)( ijij A ee ??i相對(duì) j系的方向余弦矩陣 j相對(duì) i系的方向余弦矩陣 zyxji,?? ???????????????????????zyxzyxzyxjieeeeeeeeeeeeeeeeeeA???????????? x y z ?????????????????????????????eeeeeeeeeeeeeeeeezyxAzzzyyyxxxij ξ η ζ 展開(kāi)： 兩矩陣之間的 關(guān)系 ?????????????????????????????????321321321)(nnnmmmllleeeeeeeeeeeeeeeeeeAzyxzyxzyxji?????????ji ee?????????????????????????????????333222111)(nmlnmlnmleeeeeeeeeeeeeeeeeeAzzzyyyxxxij?????????ij ee它們是兩個(gè)正交矩陣，即 Tjijiij AAA )()( 1 ?? ?矢量 Q在不同空間中的表達(dá)和轉(zhuǎn)換 假設(shè)在 j系和 i系的原點(diǎn)有一 空間向量 Q(見(jiàn)圖 33)。用 Qi＝ (Qξ ， Qλ ， Qζ )’表示 Q在 i系中的位置，用 Qj＝ (Qx， Qy， Qz)表示 Q在 j系中的位置 ,則 Qj可用 Qi來(lái)表示為 ?????????QnQmQlnQmQlnQmQlQzyx333222111????????? 三個(gè)分量在某軸上的投影之和 iijzyxj QAQnmlnmlnml ????????????????????????????????????333222111其中 l m n1分別為 j系的 x軸與 i系的 ξ 、 η 、 ζ三個(gè)軸夾角的余弦值。其余類(lèi)推。 矩陣形式： 同理 ， Qi可用 Qj來(lái)表示為 jjii QAQ ?() 圖 33 i和 j 坐標(biāo)系 例 例 3． 1 設(shè)在慣性空間有一固定不動(dòng)的向量 Q，在 i系中的位置為ri＝ (0， 1， 0)T．當(dāng)坐標(biāo)系統(tǒng) ξ軸轉(zhuǎn)動(dòng) 90176。 之后得到 j系 oxyz(見(jiàn)圖34)．求 Q在 j系中的位置 rj。 圖 34 解：因?yàn)?j系相對(duì) i系的方向余弦矩陣 ???????????????????????010100001333222111nmlnmlnmlA ij???????????????????????????????????100010010100001iijj rAr圖 35 例 例 3． 2 在上例中，若 Q與 j系固連，當(dāng) j系從與 i系重合狀態(tài)繞ξ 軸正向轉(zhuǎn)動(dòng) 90176。 后，求 Q在 i系中的位置 ri(見(jiàn)圖 35)。 解：因 Q與 j系固連 ， 所以 rj＝ (0， 1， 0)T 由上例已知， j系繞 ξ 軸正向轉(zhuǎn)動(dòng) 90176。 之后， 也意味著 i系繞 x軸負(fù)向轉(zhuǎn)動(dòng) 90176。 ，即 ????????????010100001ij A????????????010100001ji A??????????????????????????????????100010010100001jjii rAr分析結(jié)論 由上面的例子可以看出，剛體作定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，如果我們?cè)诙c(diǎn) O建立兩個(gè)坐標(biāo)系 :一個(gè)為慣性參考系即 定參考系 ，以下簡(jiǎn)稱 定系 ；另一個(gè)為與剛體固連的坐標(biāo)，即 動(dòng)坐標(biāo)系 ，以下簡(jiǎn)稱 動(dòng)系 ，那么． 剛體的空間位置可以通過(guò)兩個(gè)坐標(biāo)之間的方向余弦矩陣來(lái)描述 。由于方向余弦矩陣 9個(gè)元素中只有 3個(gè)是獨(dú)立的，因此， 剛體定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)具有 3個(gè)自由度 。 圖 36 定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體坐標(biāo)系 (2)連續(xù)轉(zhuǎn)動(dòng)的合成 根據(jù)前面的討論，剛體的每次轉(zhuǎn)動(dòng)都可以用后次相對(duì)前次的坐標(biāo)變換即 方向余弦 來(lái)描述，那么多次轉(zhuǎn)動(dòng)的合成如何用 方向余弦矩陣 來(lái)描述？ 用 Q表示剛體，假設(shè)開(kāi)始時(shí)動(dòng)系 oxyz與定系 oξ ε δ 重合，剛體第一次轉(zhuǎn)動(dòng)之后動(dòng)系為ox1y1z1 (1系 )，第二次轉(zhuǎn)動(dòng)之后動(dòng)系為 ox2y2z2 (2系 )， Q相對(duì)定系為 ro，相對(duì) 1系為 r1；相對(duì) 2系為 r2， 1系相對(duì)定系、 2系相對(duì)1系的方向余弦矩陣分別為 1A0和 2A1， 圖 37 剛體的連續(xù)轉(zhuǎn)動(dòng) 連續(xù)轉(zhuǎn)動(dòng)矩陣 0011 rAr ? 1122 rAr ? 002022122 rrr AAA ??011202 AAA ? 211020 AAA ?2A0表示 2系相對(duì)定系的空間關(guān)系， 0A2表示定系相對(duì) 2系的空間關(guān)系。 由此可見(jiàn)， 若把剛體 (動(dòng)系 )的每次繞定點(diǎn)的有限轉(zhuǎn)動(dòng)視為動(dòng)系的一次坐標(biāo)變換，則剛體兩次有限轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，其合成轉(zhuǎn)動(dòng)的方向余弦矩陣為兩次分轉(zhuǎn)動(dòng)的方向余弦矩陣的順次乘積。多次轉(zhuǎn)動(dòng)也具有同樣的變換規(guī)律 。 例 3． 3 空間中一固定不動(dòng)的向量 Q，在定系 oξεδ中為 r0＝ (0,1,0)T。動(dòng)系 0xyz開(kāi)始時(shí)與定系重合。 第一次 繞 ξ軸轉(zhuǎn) 90176。 ，得到動(dòng)系 ox1y1z1； 第二次 接著繞 y1軸轉(zhuǎn) 90176。 ，得到動(dòng)系 ox2y2z2。求合成轉(zhuǎn)動(dòng)的 方向余弦矩陣 2A0，并求 Q在 ox2y2z2中的位置 (見(jiàn)圖 38)。 圖 38 例 解： 由兩次給定的轉(zhuǎn)動(dòng) ， 可以求得 ox1y1z1系相對(duì)定系和 ox2y2z2系相對(duì) ox1y1z1系的方向余弦矩陣分別為 ????????????01010000101 A?????????? ??00101010012 A???????????????????????????????? ???001100010010100001001010100011202 AAA?????????????????????????????????0010100011000100022 rr AQ在 ox2y2z2中得位置 r2 需要強(qiáng)調(diào)的是，剛體連續(xù)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，其 方向余弦矩陣的合成與轉(zhuǎn)動(dòng)的順序是有關(guān)的 。也就是說(shuō)，在一般情況下，順序是不可交換的，即 B1B2≠B 2Bl 三次連續(xù)轉(zhuǎn)動(dòng) 假設(shè)： 第一次繞 x軸轉(zhuǎn)過(guò) α 角， 第二次繞 y1軸轉(zhuǎn)過(guò) β 角， 第三次繞 z2軸轉(zhuǎn)過(guò) γ 角 每次動(dòng)系相對(duì)前一次動(dòng)系 的變換矩陣： 考慮更一般的情況，具有固定點(diǎn)的剛體作 三次連續(xù)轉(zhuǎn)動(dòng) ?????????????????csscA00001?????????????????csscA00100????????????10000????? csscA三次合成的結(jié)果 A 角度 (如 α 角 )的正弦和余弦記為 sα 和 cα 繞動(dòng)系坐標(biāo)軸轉(zhuǎn)動(dòng)的三次合成 ??????????????????????????????????????????????????cccssssccssssccsccscsscssscccAAAA以上討論的三次轉(zhuǎn)動(dòng)都是 繞動(dòng)系的當(dāng)時(shí)坐標(biāo)軸即 “ 體軸 ” 進(jìn)行的。如果轉(zhuǎn)動(dòng)是 繞定系的坐標(biāo)軸 即參考軸進(jìn)行的，結(jié)果會(huì)是什么樣的呢 ? 繞靜系坐標(biāo)軸轉(zhuǎn)動(dòng)的二次合成 繞靜系坐標(biāo)軸轉(zhuǎn)動(dòng)的二次合成 為了使討論簡(jiǎn)單又能得到明確的結(jié)論，僅考慮兩次對(duì)應(yīng)的轉(zhuǎn)動(dòng)，即 動(dòng)系第一次繞 ξ 軸轉(zhuǎn)過(guò) α 角 ， 第二次繞 ε 軸轉(zhuǎn)過(guò) β 角 。假使這兩次轉(zhuǎn)動(dòng)后動(dòng)系對(duì)定系的方向余弦矩陣分別用 A A2表示 。 ?AA ?1?? AAAA ?21顯然有 因?yàn)?x軸與 ξ 軸重合 ?AA ?2然而 ?? AAAA ?12所以 但是，利用 有限轉(zhuǎn)動(dòng)的交換定理 ，即所謂 相對(duì)變換 ，則有 有限轉(zhuǎn)動(dòng)的交換定理 也就是說(shuō) ， 動(dòng)系先繞定系 ε 軸轉(zhuǎn)過(guò) β 角 ， 再繞定系 ξ 軸轉(zhuǎn)過(guò) α 角 ， 其結(jié)果與動(dòng)系先繞 x軸轉(zhuǎn)過(guò) α 角 ， 再繞 y1軸轉(zhuǎn)過(guò) β 角所得最終動(dòng)系相對(duì)定系的位置是相同的 ， 見(jiàn)圖311。 (3)角速度 由前面的討論可以看到 ， 剛體作定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí) ， 如果坐標(biāo)系之間的方向余弦矩陣是時(shí)間的函數(shù) ， 亦即 A＝ A(t)， 那么 ， 可以用 A及其導(dǎo)數(shù) 描述剛體定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的 運(yùn)動(dòng)學(xué)規(guī)律 。 0011 rr A? 1100 rr A?將上式對(duì)時(shí)間微分，有 1101100 rrr ??? AA ??由于 r1是常矢量 ，故 01 ?r?1100 rr A?? ? 假設(shè) Q是位于定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體上的、由定點(diǎn)發(fā)出的一個(gè)向量，那么在轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中