【正文】 純滾動時輪子的約束 ry c ?0??? ?rv c0???? crx c ?0??? ??? rx c例 質(zhì)點 m1和 m2由一長為 l的剛性桿相連，設該系統(tǒng)在圖 22所示xoy平面內(nèi)運動。若要求桿中點 C的速度保持沿桿軸方向，分析該系統(tǒng)的約束情況。 圖 22 平面運動桿的約束 解：由于桿是剛性的，所以 m1與 m2必須滿足的 幾何約束 是 (x1— x2)2十 (y1— y2)2＝ l2 (2． 1． 7) 而 運動約束 是 C點的速度必須沿桿軸方向 ， 即 平面運動桿的約束 12121212xxyyxxyy????????? (2． 1． 8) (2． 1． 8)式說明系統(tǒng)受到一個 非完整約束 。 ?tgxxyyxycc ????1212??代入 Ml， M2的坐標即為 我們經(jīng)常遇到的系統(tǒng)一般 是非完整系統(tǒng) 。非完整約束又分為 一階線性非完整約束 、 一階非線性非完整約束 、 二階非完整約束 等。 N個質(zhì)點的系統(tǒng)受到 k個一階線性非完整約束時，其約束方程可以寫作 非完整約束的類型 或寫成 () 0)( ????? dtdzcdybdxa iiiiiNii ???? ?(． 9) 0)( ????? ???? dzcybxa iiiiiNii ???),2,1( k???2． 1． 2 定常約束與非定常約束 約束方程中 不顯含 時間 t的約束稱為 定常約束 。約束方程中 顯含 時間 t的約束稱為 非定常約束 。 例如由方程 所確定的約束為 非定常約束。 )(2222 tlzyx ???(2． 1． 12) 2222 lzyx ??? (2． 1． 11) 例如由方程 所確定的約束為 定常約束 。 例 例 設質(zhì)點 M所系繩子穿過 o點，如圖23所示，繩子另一端以一勻速 v拉動使 M在 xy平面內(nèi)運動。試討論 M的約束。 圖 23 質(zhì)點 M的非定常約束 解 :設 M的起始位置為 l0，則它到 o點的距離 l將隨時間變化。其約束方程為 x2+y2＝ (l0vt)2 (2． 1． 13) 顯然， M所受的約束 是非定常約束 。 2． 2 廣義坐標和自由度 圖 24 動點 M的位置 2． 2． 1 廣義坐標 我們習慣于用笛卡爾直角坐標系來描述系統(tǒng)的幾何位置即位形。然而，根據(jù)問題的不同， 不一定非得 采用長度坐標參數(shù)來描述系統(tǒng)的幾何位置。 例如 ， 描述作平面運動的 動點 M的幾何位置 的參數(shù)可以用： 直角坐標 (x， y)， 極坐標 (ψ， r)， 參數(shù) (A， φ )， 等等 。 這就是說 ， 動點 M的幾何位置可以用 不同的參數(shù)組來描述 ， 即有了選擇參數(shù)的余地 。 為此 ， 引入 廣義坐標 的概念 。 廣義坐標的概念 所謂 廣義坐標 ， 就是選擇 一組互相獨立的參數(shù) q1，q2,… ， qn． 只要它們能夠確定系統(tǒng)的位形 ， 而不管這些參數(shù)的幾何意義如何 。 這樣的一組參數(shù)就稱為廣義坐標 。 因此 ， 上述中的 (x， y)， (φ ， r)， (A， φ )等都可以作為描述 M點的位形的廣義坐標 。 可見 ， 廣義坐標對于某一系統(tǒng)來講 不是唯一 的 ， 或者說 ， 可以任意選取 。 廣義坐標可以用下面的 通式 表示 ri＝ ri(q1， q2， … ， qn,t) (2． 2． 1) 式中 ， ri表示系統(tǒng)中第 i個質(zhì)點的位形 ； qj(j＝ 1， 2,… n)和 t是廣義坐標 。 2． 2． 2 用廣義坐標表示的非完整約束方程 一個由 N個質(zhì)點組成的系統(tǒng)的非完整約束方程可寫作微分形式。 0),,,,( 111111 ?tzyxzyxzyxzyxf NNNNNNk ????????xi＝ xi(q1， q2， … ， qn,t) yi＝ yi(q1， q2， … ， qn,t) zi＝ zi(q1， q2， … ， qn,t) 速度的廣義坐標表示 (1)速度的廣義坐標表示 設 N個質(zhì)點組成的系統(tǒng)有 n個廣義坐標 qj(j＝ 1,… ,n),且 qj＝qj(t)， 則系統(tǒng)中第 i個質(zhì)點的速度是 式中，相應地 稱為 廣義速度 。 v可以寫作如下投影形式 trqqrrv ijnj jii ??????? ????1(2． 2． 2) tzqqzzrvtyqqyyrvtxqqxxrvijnj jiiizzijnj jiiiyyijnj jiiixx???????????????????????????????????????111(2． 2． 3) jq?定常系統(tǒng) 對于定常系統(tǒng)，因 (2． 2． 4) 0???tri所以， (2． 2． 5) jnj jii qqrrv ?? ?? ????1圖 25 點 M的速度 例 空間中的一動點 M， 若選取極坐標 r、 ζ 、 φ為廣義坐標 ， 如圖 25所示 ， 求 M點在笛卡爾直角坐標系中的 位置和速度 。 (2． 2． 7) ?????c o ss ins inc o ss inrzryrx??? (2． 2． 6) M點的位置是 ??? 222222222 s i n??????? rrrzyxv ?????? (2． 2． 8) M點的速度為 ??????????????????????????????s i nc o sc o ss i ns i nc o ss i ns i ns i ns i nc o sc o sc o ss i nrrzrrryrrrx????????于是 M點的速度為 (2)用廣義坐標表示的非完整約束方程 一階線性非完整約束方程已由 (2． 1． 9)式給出： 把第 i個質(zhì)點的速度的廣義坐標分量代入該式得到 0)( ????? ???? dzcybxa iiiiiNii ???),2,1( k???0)(111??????????????????????????????????????????? ??????????? dtzqqzctyqqybtxqqxa ijnj jiiijnj jiiijnj jiNii ???0)()(1??????????????????? ?? ????????? dtzctybtxaqqzcqybqxa iiiiiNiinjjjiijiijiNii ??????????dtzctybtxaBqzcqybqxaAiiiiiNiiNi jiijiijiij??????????????????????)()(101?????? BqAnjjj ?01????dtBdqAnjjj ??圖 26 微分和變分 2． 2． 3 坐標變分和自由度 坐標的變分與坐標的微分是兩個不同的概念。 設某系統(tǒng)運動的微分方程的解是 )(,),(11 tqqtqq nn ?? ?坐標的變分 則是指在某一時刻 t，qj本身在約束許可條件下的任意的無限小增量。也就是系統(tǒng)的可能運動 (圖中的虛線所示 )與真實運動在某時刻的差，記作 δ qj 既有 不同點 ，也有 共同點 。 所謂坐標的微分是指在上式所描述的真實運動中坐標的無限小變化，即經(jīng)過 dt時間之后發(fā)生的坐標變化 dqj (圖中實線部分 ) 由于都是坐標的無限小變化，故變分也表現(xiàn)出微分的形式，并且和微分 具有相同的運算規(guī)則 。 自由度計算 我們把系統(tǒng)獨立的坐標變分數(shù)稱為 系統(tǒng)的自由度 。 如果系統(tǒng)是 自由的 ，則其位形的確定要 3N個坐標。這些坐標自然相互獨立，其變分也相互獨立，故 自由度為 3N。 對于 N個質(zhì)點組成的力學系統(tǒng) ，如何計算自由度呢？ 如果系統(tǒng)受到 k個完整約束 ，那么在 3N個坐標中，只有 3Nk個相互獨立，并且它們的變分也相互獨立，故其 自由度為 3Nk個。 如果系統(tǒng)為 非完整系統(tǒng) 、假設該系統(tǒng)除了 k個完整約束 之外，還受到 l個非完整約束 ，該系統(tǒng)獨立的坐標數(shù)為 3Nk個，但其獨立的坐標變分數(shù)只有 3Nkl個 (由于 l個微分形式約束的存在 )，故 系統(tǒng)的自由度為 3Nkl個 。 廣義坐標數(shù)為 n，獨立的坐標數(shù) , 獨立的坐標變分數(shù) ,系統(tǒng)的自由度 之間的關系 。 自由度計算 綜上所述，若一個系統(tǒng)的 廣義坐標數(shù)為 n，則： 完整系統(tǒng) : n =獨立的坐標數(shù) ＝獨立的坐標變分數(shù) ＝系統(tǒng)的自由度。 非完整系統(tǒng)： n＝獨立的坐標數(shù) ≠獨立的坐標變分數(shù)＝系統(tǒng)的自由度。 n ≠系統(tǒng)的自由度 例 2． 5 一平面曲柄 滑塊 機構 ， A、 B兩點的位置可確定系統(tǒng)的位形 ， 分析其自由度 。 圖 27 例 2． 5 解 ： 這是一個平面機構， A、 B共有 2N＝ 4個坐標，系統(tǒng)要滿足 3個完整約束 該系統(tǒng)沒有非完整約束，因此是一個完整系統(tǒng)，其自由度數(shù)為4—3＝ 1，獨立的坐標數(shù)也是 1。若選取 φ為廣義坐標，當 φ給定時，整個系統(tǒng)的位形也就確定了。 0)()( 222222???????BBABAAAylyyxxryx（ ） 0s i nc o ss i nc o s222??????BBAAyrlrxryrx????（ ） 作業(yè) P12 習題 21， 24 3． 1 剛體繞定點轉動的歐拉定理 3． 2 描述剛體定點轉動的解析法 第三章 剛體定點轉動運動學 ?剛體定點轉動的方向余弦描述 ?剛體定點轉動的歐拉角描述 ?剛體定點轉動的廣義歐拉角描述 3． 1 剛體繞定點轉動的歐拉定理 方位和方位變化 設 o為剛體的固定點，剛體上某 △ ABo可完全確定剛體的方位。 今 ABo轉到 A’B’O，存在一通過固定點的軸 OC，當 0A繞 OC轉過一 ζ角到達 0A’時， ABO與 A’B’O一定完全重合， 這種轉動通常稱為 剛體的一次轉動 或 歐拉轉動 ， OC即為 一次轉軸 或 歐拉轉軸 。 具有 固定點的剛體 由某一 方位 到另一方位的 方位變化 永遠等價于 繞通過固定點的某軸 的一個 有限 (轉角 )的轉動 ，這就是 剛體繞定點轉動的歐拉定理 。 靜錐和動錐 如果將剛體的轉動過程分為 若干時間間隔 ，每一時刻歐拉轉軸的位置顯然是不同的 。 在某一時刻 ti，當時間間隔 ⊿ t→0 時 ,oci稱為剛體在 ti時刻的 瞬時轉動軸 ，平均角速度向量的極值 ω i稱為瞬時角速度向量 。 瞬時轉軸位置的不斷變化 在空間形成了以定點 O為頂點的錐面，稱之為 靜瞬時錐面 ，簡稱 靜錐 。 同時它在剛體內(nèi)部留下了軌跡，構成了 動瞬時 錐