華南理工大學(xué)數(shù)學(xué)分析-考研解答(編輯修改稿)
2025-02-10 19:13 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 rt{\lim_{x\to 0+0}\frac{1}{\tan x+x\sec^2x+\frac{\sin x}{2\sqrt{\cos x}}}}=+\infty. \eex$$ 7. ($1339。$) 設(shè)函數(shù) $g(x,y)$ 在 $(0,0)$ 點(diǎn)可微且在該點(diǎn)的函數(shù)值及微分為零, 定義函數(shù) $$\bex f(x,y)=\sedd{\ba{ll} g(x,y)\sin\frac{1}{x^2+y^2},amp。x^2+y^2\neq 0,\\ 0,amp。x^2+y^2=0. \ea} \eex$$ 試證: $f(x,y)$ 在 $(0,0)$ 處可微.證明: 由 $$\beex \bea \frac{|f(x,y)f(0,0)|}{\sqrt{x^2+y^2}} amp。=\sev{\frac{g(x,y)g(0,0)}{\sqrt{x^2+y^2}}\sin\frac{1}{x^2+y^2}}\\ amp。\leq \sev{\frac{g(x,y)g(0,0)g_x(0,0)xg_y(0,0)y}{\sqrt{x^2+y^2}}} \to 0\quad(x^2+y^2\to 0) \eea \eeex$$ 即知結(jié)論. 8. ($1339。$) 計(jì)算曲面積分 $$\bex \iint_S y\rd x\rd z, \eex$$ 其中 $S$ 是曲面 $x^2+y^2+z^2=1$ 的上半部分, 并取外側(cè)為正向.解答: 由 Stokes 公式, $$\bex \iint_S y\rd x\rd z =\iiint_{x^2+y^2+z^2\leq1\atop z\geq 0} \rd x\rd y\rd z =\frac{2\pi}{3}. \eex$$ 9. ($1339。$) 計(jì)算曲線積分 $$\bex \int_C\frac{x\rd yy\rd x}{x^2+y^2}, \eex$$ 其中 $C$ 是以 $(0,1)$ 為圓心, $R(R\neq 1)$ 為半徑的圓周, 方向?yàn)槟鏁r(shí)針.解答: 由 Green 公式知當(dāng) $R1$ 時(shí)原積分為 $0$。 當(dāng) $R1$ 時(shí), $$\beex \bea \mbox{原積分} amp。=\int_{x^2+y^2=\ve^2}\frac{x\rd yy\rd x}{x^2+y^2}\quad(0\ve\ll 1)\\ amp。=\frac{1}{\ve^2}
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