【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)作答．若多做，則按作答的前兩題評(píng)分．解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．B．選修42：矩陣與變換（本小題滿分10分）已知矩陣，向量，求向量，使得．解析：設(shè)，由得：，C．選修44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程（本小題滿分10分）在平面直角坐標(biāo)系中，求過(guò)橢圓（為參數(shù)）的右焦點(diǎn)且與直線（為參數(shù)）平行的直線的普通方程。解析：橢圓的普通方程為右焦點(diǎn)為（4，0），直線（為參數(shù)）的普通方程為，斜率為：；所求直線方程為：【必做題】第22題、第23題，每題10分，共計(jì)20分．請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．22. （本小題滿分10分）如圖，在正四棱柱中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)在上，設(shè)二面角的大小為。（1）當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng)；（2）當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng)。解析：以D為原點(diǎn)，DA為x軸正半軸，DC為y軸正半軸，DD1為z軸正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則A(1,0,0),A1(1,0,2),N(,1,0),C(0,1,0) )，設(shè)M(0，1,z),面MDN的法向量，設(shè)面A1DN的法向量為，則取即(1)由題意：?。?）由題意：即取23．（本小題滿分10分）設(shè)整數(shù)，是平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)，其中，（1）記為滿足的點(diǎn)的個(gè)數(shù)，求；（2）記為滿足是整數(shù)的點(diǎn)的個(gè)數(shù)，求解析：（1）因?yàn)闈M足的每一組解構(gòu)成一個(gè)點(diǎn)P,所以。（2）設(shè)，則對(duì)每一個(gè)k對(duì)應(yīng)的解數(shù)為：n3k,解數(shù)一共有：2010年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（江蘇卷）數(shù)學(xué)參考公式：錐體的體積公式：，其中為錐體底面面積，為錐體的高。一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共計(jì)70分．請(qǐng)把答案填寫在答題卡相應(yīng)位置上．、若，則實(shí)數(shù)的值是__________。（為虛數(shù)單位），則的模為__________。、1只黑球。若從中隨機(jī)摸出兩只球，則它們顏色不同的概率是__________。，從中隨機(jī)抽測(cè)了100根棉花纖維的長(zhǎng)度（棉花纖維的長(zhǎng)度是棉花質(zhì)量的重要指標(biāo)）。所得數(shù)據(jù)均在區(qū)間中，其頻率分布直方圖如圖所示，則在抽測(cè)的100根中，有__________根棉花纖維的長(zhǎng)度小于20mm。，其中，則實(shí)數(shù)的值為__________。，已知雙曲線上一點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3，則點(diǎn)到該雙曲線的右焦點(diǎn)的距離為__________。，則輸出的的值是__________。，其中。若，則的值是__________。，已知圓上有且只有四個(gè)點(diǎn)到直線的距離為1，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________。，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線，垂足為，直線與函數(shù)的圖像交于點(diǎn)，則線段的長(zhǎng)為__________。，則滿足不等式的的解集是__________。、為實(shí)數(shù)，滿足，則的最大值是__________。，角、的對(duì)邊分別為、。若，則的值是__________。，其中一塊是梯形，記，則的最小值是__________。二、解答題：本大題共6小題，共計(jì)90分．請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15.（本小題滿分14分）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)。（1）求以線段、為鄰邊的平行四邊形的兩條對(duì)角線的長(zhǎng)。（2）設(shè)實(shí)數(shù)滿足，求的值。16.（本小題滿分14分）如圖，在四棱錐中，平面，。（1）求證：。（2）求點(diǎn)到平面的距離。17.（本小題滿分14分）某興趣小組要測(cè)量電視塔的高度（單位：）。如示意圖，垂直放置的標(biāo)桿的高度，仰角。（1）該小組已測(cè)得一組、的值，算出了，請(qǐng)據(jù)此算出的值。（2）該小組分析若干測(cè)得的數(shù)據(jù)后，認(rèn)為適當(dāng)調(diào)整標(biāo)桿到電視塔的距離（單位：），使與之差較大，可以提高測(cè)量精度。若電視塔的實(shí)際高度為，試問為多少時(shí)，最大？18.（本小題滿分16分）在平面直角坐標(biāo)系中，如圖，已知橢圓的左、右頂點(diǎn)為、右焦點(diǎn)為。設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線、與該橢圓分別交于點(diǎn)、其中。（1）設(shè)動(dòng)點(diǎn)滿足，求：點(diǎn)的軌跡。（2）設(shè)，求：點(diǎn)的坐標(biāo)。（3）設(shè)，求證：直線必過(guò)軸上的一定點(diǎn)（其坐標(biāo)與無(wú)關(guān)）。19.（本小題滿分16分）設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前項(xiàng)和為。已知，數(shù)列是公差為的等差數(shù)列。（1）求：數(shù)列的通項(xiàng)公式（用，表示）。（2）設(shè)為實(shí)數(shù)，對(duì)滿足且的任意正整數(shù)、不等式都成立。求證：的最大值為。20.（本小題滿分16分）設(shè)是定義在區(qū)間上的函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為。如果存在實(shí)數(shù)和函數(shù)，其中對(duì)任意的都有，使得，則稱函數(shù)具有性質(zhì)。（1）設(shè)函數(shù)，其中為實(shí)數(shù)。?求證：函數(shù)具有性質(zhì)。?求：函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。（2）已知函數(shù)具有性質(zhì)。給定，，設(shè)為實(shí)數(shù)，，且，若，求：的取值范圍。數(shù)學(xué)Ⅱ(附加題)21．[選做題]本題包括A、B、C、D四小題，請(qǐng)選定其中兩題，并在相應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)作答．若多做，則按作答的前兩題評(píng)分．解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．：矩陣與變換（本小題滿分10分）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)。設(shè)為非零實(shí)數(shù)，矩陣。點(diǎn)、在矩陣MN對(duì)應(yīng)的變換下得到的點(diǎn)分別為、的面積是的面積的2倍。求：實(shí)數(shù)的值。：坐標(biāo)系與參數(shù)方程（本小題滿分10分）在極坐標(biāo)系中，已知圓與直線相切。求：實(shí)數(shù)的值。【必做題】第22題、第23題，每題10分，共計(jì)20分。請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。22.（本小題滿分10分）某工廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品。甲產(chǎn)品的一等品率為，二等品率為；乙產(chǎn)品的一等品率為，二等品率為。生產(chǎn)1件甲產(chǎn)品，若是一等品則獲得利潤(rùn)4萬(wàn)元，若是二等品則虧損1萬(wàn)元；生產(chǎn)1件乙產(chǎn)品，若是一等品則獲得利潤(rùn)6萬(wàn)元，若是二等品則虧損2萬(wàn)元。設(shè)生產(chǎn)各件產(chǎn)品相對(duì)獨(dú)立。（1）記（單位：萬(wàn)元）為生產(chǎn)1件甲產(chǎn)品和1件乙產(chǎn)品可獲得的總利潤(rùn)。求：的分布列。（2）求生產(chǎn)4件甲產(chǎn)品所獲得的利潤(rùn)不少于10萬(wàn)元的概率。23.（本小題滿分10分）已知的三邊長(zhǎng)都是有理數(shù)。（1）求證：是有理數(shù)。（2）求證：對(duì)任意正整數(shù)，是有理數(shù)。參考答案一、填空題：本題考查基礎(chǔ)知識(shí)、基本運(yùn)算和基本思想方法。 3. 5. 9. 10. 11. 14.二、解答題、線性運(yùn)算、數(shù)量積，考查運(yùn)算求解能力。解：（1）由題設(shè)知，則。所以。故所求的兩條對(duì)角線長(zhǎng)分別為。（2）由題設(shè)知。由，得，從而，所以。、平面與平面的位置關(guān)系，考查幾何體的體積，考查空間想象能力、推理論證能力和運(yùn)算能力。滿分14分。解：（1）因?yàn)槠矫妫矫?，所以? 由，得。又，平面，平面，所以平面。 因?yàn)槠矫?，所以? （2）連結(jié)。設(shè)點(diǎn)到平面的距離為。 因?yàn)?，所以? 從而由，得的面積。 由平面及，得三棱錐的體積。 因?yàn)槠矫?，平面，所以? 又，所以。 由，得的面積。 由，得。 因此，點(diǎn)到平面的距離為。、基本不等式、導(dǎo)數(shù)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查數(shù)學(xué)建模能力、抽象概括能力和解決實(shí)際問題的能力。滿分14分。解：（1）由，及，得，解得。因此，算出的電視塔的高度是。（2）由題設(shè)知，得。由，得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，上式取等號(hào)。所以當(dāng)時(shí)，最大。因?yàn)?，則，所以當(dāng)時(shí)，最大。，考查直線與橢圓的方程等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力和探究問題的能力。滿分16分。解：由題設(shè)得。（1）設(shè)點(diǎn)，則。由，得，化簡(jiǎn)得。故所求點(diǎn)的軌跡為直線。（2）由，及，得，則點(diǎn)，從而直線的方程為；由，及，得，則點(diǎn)，從而直線的方程為。由，解得。所以點(diǎn)的坐標(biāo)為。（3）由題設(shè)知，直線的方程為，直線的方程為。點(diǎn)滿足，得，因?yàn)?，則，解得，從而得。點(diǎn)滿足，解得。若，則由及，得，此時(shí)直線的方程為，過(guò)點(diǎn)。若，則，直線的斜率，直線的斜率，得，所以直線過(guò)點(diǎn)。因此，直線必過(guò)軸上的點(diǎn)。、求和以及基本不等式等有關(guān)知識(shí)，考查探索、分析及論證的能力。滿分16分。解：（1）由題設(shè)知，則當(dāng)時(shí)。由，得，解得。故當(dāng)時(shí)。又，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為。（2）由及，得。于是，對(duì)滿足題設(shè)的，，有。所以的最大值。另一方面，任取實(shí)數(shù)。設(shè)為偶數(shù)，令，則，符合條件，且。于是，只要，即當(dāng)時(shí)，就有。所以滿足條件的，從而。因此的最大值為。、性質(zhì)、圖像及導(dǎo)數(shù)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查靈活運(yùn)用數(shù)形結(jié)合、分類討論的思想方法進(jìn)行探索、分析與解決問題的綜合能力。滿分16分。 解：（1）?由，得。因?yàn)闀r(shí)，所以函數(shù)具有性質(zhì)。?當(dāng)時(shí)，由得，所以，從而函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增。當(dāng)時(shí)，解方程得。因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)。從而函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增。綜上所述，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為。（2）由題設(shè)知，的導(dǎo)函數(shù)，其中函數(shù)對(duì)于任意的都成立。所以，當(dāng)時(shí)，從而在區(qū)間上單調(diào)遞增。?當(dāng)時(shí)，有，得，同理可得，所以由的單調(diào)性知、從而有，符合題設(shè)。?當(dāng)時(shí)，，于是由，及的單調(diào)性知，所以，與題設(shè)不符。?當(dāng)時(shí)，同理可得，進(jìn)而得，與題設(shè)不符。因此，綜合?、?、?得所求的的取值范圍為。21.【選做題】：矩陣與變換本題主要考查圖形在矩陣對(duì)應(yīng)的變換下的變化特點(diǎn)，考查運(yùn)算求解能力。滿分10分。解：由題設(shè)得。由，，可知。計(jì)算得的面積是1，的面積是，則由題設(shè)知。所以的值為或。：坐標(biāo)系與參數(shù)方程本題主要考查曲線的極坐標(biāo)方程等基礎(chǔ)知識(shí)，考查轉(zhuǎn)化問題的能力。滿分10分。解：將極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，得圓的方程為，即，直線的方程為。由題設(shè)知，圓心到直線的距離為1，即有，解得或。故的值為或。，考查運(yùn)算