函數(shù)極限和導數(shù)——高中數(shù)學基礎(chǔ)知識和典型例題(編輯修改稿)
2025-02-10 09:38 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 B) (C) (D)=1處不連續(xù)是因為( )(A)f(x)在x=1處無定義 (B)f(x)不存在(C)f(x)≠f(1)(D)f(x)≠f(x)例18. 為使函數(shù)在處連續(xù)，則定義__________.例19. 設(shè)若函數(shù),則的定義域為 .例20. 已知，當a，b取值何值時，存在，其值為多少.例11. . 例19. (例20(見后面)導數(shù): 曲線在點處的切線,是指曲線上點的鄰近點沿曲線逐漸向點接近時,割線的極限位置所在的直線.根據(jù)切線的定義,切線的斜率應(yīng)通過極限過程求得,即.: 非勻速直線運動物體在時刻的臨近時間間隔內(nèi)的平均速度(=),當時, 的極限值叫做物體在時刻的速度,: 設(shè)是函數(shù)定義域的一點，如果自變量在處有增量，則函數(shù)值也引起相應(yīng)的增量；比值稱為函數(shù)在點到之間的平均變化率；如果極限存在，則稱函數(shù)在點處可導，并把這個極限叫做在處的導數(shù)，記作或，即=.由定義可知函數(shù)在點處的導數(shù)的幾何意義是曲線在點處的切線的斜率. 也就是說，曲線在點P處的切線的斜率是，切線方程為注：⑴是增量，我們也稱為“改變量”，因為可正，可負，但不為零.⑵函數(shù)在點處連續(xù)與點處可導的關(guān)系：①函數(shù)在點處連續(xù)是在點處可導的必要不充分條件.可以證明，如果在點處可導，那么點處連續(xù).事實上，令，則相當于.于是.③如果點處連續(xù)，那么在點處可導，是不成立的.例：在點處連續(xù)，但在點處不可導，因為，當＞0時，；當＜0時，故不存在. : 函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)每一點處的導數(shù)都存在,就說在內(nèi)可導,其導數(shù)也是內(nèi)的函數(shù),這一新函數(shù)叫做在開區(qū)間內(nèi)的導函數(shù),記作或(需指明自變量時記作) 函數(shù)的導函數(shù)在時的函數(shù)值就是在點處的導數(shù).注：①可導的奇函數(shù),其導函數(shù)為偶函數(shù). ②可導的偶函數(shù),其導函數(shù)為奇函數(shù).導數(shù): ① ② ③。 ④。⑤⑥。 ⑦。 ⑧.: ① 推廣:。 ②。③④(為常數(shù))。⑤復合函數(shù)求導注：① 必須是可導函數(shù). ②若兩個函數(shù)可導，則它們和、差、積、商必可導；若兩個函數(shù)均不可導，則它們的和、差、積、商不一定不可導.例如：設(shè)，則在處均不可導，但它們和在處均可導.:⑴判斷函數(shù)在某個區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性的方法:一般地,設(shè)函數(shù)在某個區(qū)間內(nèi)可導,如果,則為增函數(shù)。 如果則為減函數(shù)。如果,則為常數(shù)函
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