【文章內(nèi)容簡介】 fJ u x t L x t u t t tx t f x u t x t xstxt?????????????u(t)無約束， tf固定 .最優(yōu)解的必要條件 001 ) ( ) ( )( ) , ( )H ( , , , ) ( , , ) ( ) ( , , )2)x(t ) =x , [ ( ) ] 0 , ( )( ) ( )3)TTffffx t tHHx t txx u t L x u t t f x u tx t tx t x tH???????? ? ???? ? ???????? ? ?????和 滿 足 正 則 方 程其 中邊 界 條 件 與 橫 截 條 件極 值 條 件 ＝ 0ｕ 最優(yōu)控制理論與應(yīng)用 2022年 2月 11日 43 定理 ：對于如下最優(yōu)控制問題： 0()00m i n ( ( ) ) ( ( ) ) ( ( ) , ( ) , ) d. . ( ) ( , , ) , ( )ftf tut J u x t L x t u t t ts t x t f x u t x t x??????u(t)無約束， tf固定， x(tf)自由 .最優(yōu)解的必要條件 001 ) ( ) ( )( ) , ( )H ( , , , ) ( , , ) ( ) ( , , )2)x ( t ) =x , [ ( ) ] 0 , ( )()3)Tfffx t tHHx t txx u t L x u t t f x u tx t txtH??????????? ? ???????????和 滿 足 正 則 方 程其 中邊 界 條 件 與 橫 截 條 件極 值 條 件 ＝ 0ｕ（ 2）末端自由的情況 最優(yōu)控制理論與應(yīng)用 2022年 2月 11日 44 定理 ：對于如下最優(yōu)控制問題： 0()00m i n ( ( ) ) ( ( ) , ( ) , ) d. . ( ) ( , , ) , ( )fttutJ u L x t u t t ts t x t f x u t x t x????u(t)無約束， tf固定， x(tf)固定 .最優(yōu)解的必要條件 0 0 01 ) ( ) ( )( ) , ( )H ( , , , ) ( , , ) ( ) ( , , )2)x( t ) =x , ( ) x ,3)Tfx t tHHx t txx u t L x u t t f x u txtH???????? ? ????????和 滿 足 正 則 方 程其 中邊 界 條 件極 值 條 件 ＝ 0ｕ（ 3）末端固定的情況 最優(yōu)控制理論與應(yīng)用 2022年 2月 11日 45 例 考慮狀態(tài)方程和初始條件為 )()( tutx ?? 00()x t x?02211( ) d22ftf tJ c x t u t?? ?的簡單一階系統(tǒng)，其指標(biāo)泛函為 ，使 ft0?c )(tu其中 ， 給定，試求最優(yōu)控制 J 有極小值。 0 t ， 最優(yōu)控制理論與應(yīng)用 2022年 2月 11日 46 ， uutuxfttxLH ??? ???? 221),()(),(伴隨方程 ( ) 0Htx??? ? ??邊界條件 21[ c ( ) ]2( ) c ( )()ffffxtt x txt?????由必要條件 0????? ?uuH)(t?解 :引進伴隨變量 ，構(gòu)造哈米頓函數(shù) 最優(yōu)控制理論與應(yīng)用 2022年 2月 11日 47 00( ) ( ) 1 ( )ffcxu t c x tc t t? ? ? ? ???則最優(yōu)控制為 ()fu c x t?? ? ? ?得 00( ) ( ) ( )fx t c x t t t x? ? ? ?代入狀態(tài)方程求解得 00() 1 ( )ffxxtc t t? ??令 ftt? ，則有 最優(yōu)控制理論與應(yīng)用 2022年 2月 11日 48 邊界條件 1 (0) 1x ? 2 (0) 1x ? 1 (2) 0x ? 2 (2) 0x ?2 201 d2J u t? ?指標(biāo)泛函 哈米頓函數(shù) 21 2 212H u x u?????伴隨方程 11( ) 0Ht x? ?? ? ?? 212( ) ( )Httx???? ? ? ??， 例 12( ) ( )x t x t? 2 ( ) ( )x t u t?重解例 11()ta? ? 2 1 2()t a t a? ? ? ?其解為 最優(yōu)控制理論與應(yīng)用 2022年 2月 11日 49 2 0H uu ?? ? ? ?? 2 1 2u a t a?? ? ? ?12xx? 2 1 2x u a t a? ? ?321 1 2 3 41162x a t a t a t a? ? ? ?22 1 2 312x a t a t a? ? ?273)( ??? ttu32117( ) 124x t t t t? ? ? ?2237( ) 122x t t t? ? ? 最優(yōu)控制理論與應(yīng)用 2022年 2月 11日 50 習(xí)題 1：設(shè)一階系統(tǒng)方程為 性能指標(biāo)取為 式中常數(shù) 試求使 J取極小值的最優(yōu)控制和相應(yīng)的性能指標(biāo) 0( ) ( ) , ( )x t u t x t x??02211( ) ( )22 ftftJ c x t u t d t?? ?0f0 , , , ( )fc t t x t? 給 定 自 由習(xí)題 2：設(shè)二階系統(tǒng)方程為 性能指標(biāo)取為 求系統(tǒng)由已知初態(tài) 在 轉(zhuǎn)移到目標(biāo)集 且使 J取極小的最優(yōu)控制和最優(yōu)軌跡 1 2 2( ) ( t ) , ( ) ( )x t x x t u t??1 201 ()2J u t dt? ?11( 0 ) 0 。 ( 0 ) 0 1fx x t? ? ?12(1 ) (1 ) 1xx?? 最優(yōu)控制理論與應(yīng)用 2022年 2月 11日 51 末端時刻自由的最優(yōu)解問題 tf有時是可變的，是指標(biāo)泛函，選控制使有 tf極小值 TT( ( ) , ) ( ( ) , )( ) ( ) ( )() Tx T T x T TJ x T T H x Tx T T??? ? ? ? ???? ? ? ??? 0T T T( ( ) ( ) ) dtHH x u x txu? ? ? ? ???? ? ??TT( ( ) , ) ( ( ) , )( ) ( ) ( )() Tx T T x T Tx T T H x Tx T T?? ? ? ? ???? ? ? ???0TT( ) | ( ( ) ( ) ) dTTtHHx x u txu?? ? ? ? ???? ? ? ?? 變分 最優(yōu)控制理論與應(yīng)用 2022年 2月 11日 52 ()()TTTTx T x x Tx x T x T? ? ?? ? ?????T( ( ) , ) ( ( ) , )( ( ) ( ) ) ( ) ( ( ) )()x T T x T TJ T x T T H T Tx T T??? ? ? ? ???? ? ? ??? 0TT( ( ) ( ) ) d 0TtHH x u txu? ? ???? ? ? ??Hx?????， ( ( ) , )()()x T TTxT?? ???0( ( ) , )()Hux T THTT????????必要條件 最優(yōu)控制理論與應(yīng)用 2022年 2月 11日 53 例 )()( tutx ?? 1)0( ?x220( ) ( 1 ) dTJ s x T u t? ? ??指標(biāo)泛函 哈米頓函數(shù) uuH ???? 21伴隨方程 0Hx? ?? ? ?? ( ( ) , )( ) 2 ( )()x T TT s x TxT?? ????02 ????? ?uuH必要條件 0)(1)( 2 ???? TT uuTH ?)()( Tsxtu ?? 1( ) 1u t ss? ? ? ? ? ? sT11 ??? 最優(yōu)控制理論與應(yīng)用 2022年 2月 11日 54 第三章 最大值原理 古典變分法的局限性 u(t)受限的例子 例 )()()( tutxtx ??? 1)0( ?x1)( ?tu 10 ( ) dJ x t t? ?( ) ( ) ( ( ) ( ) )H x t t x t u t?? ? ? ?1)()( ?????? txHt ???伴隨方程 0)( ???? tuH ?極值必要條件 0)1( ?? 最優(yōu)控制理論與應(yīng)用 2022年 2月 11日 55 最大值原理 ()xt?() Hxt ??? ? () Htx?????且 m in ( ( ) , ( ) , ( ) , ) ( ( ) , ( ) , ( ) , )uU H x t t u t t H x t t u t t??? ? ?? ?()xt)(tu? ()xt?)(t?)(tu定理 (最小值原理 ) 設(shè)為 容許控制， 為對應(yīng)的積分軌線，為使 為最優(yōu)控制， )(t?為最優(yōu)軌線，必存在一向量函數(shù) ，使得 和 滿足正則方程 最優(yōu)控制理論與應(yīng)用 2022年 2月 11日 56 最小值原理只是最優(yōu)控制所滿足的必要條件 。 但對于線性系統(tǒng) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )x t A t x t B t u t??11 11( ) ( )()( ) ( )nn nna t a tAta t a t?????????， 1()()()nbtBtbt???????????最小值原理也是使泛函取最小值得充分條件。 最優(yōu)控制理論與應(yīng)用 2022年 2月 11日 57 例 重解例 ， 哈密頓函數(shù) ( ) ( ) ( ( ) ( ) ) ( 1 ) ( ) ( )H x t t x t u t x t u t? ? ?? ? ? ? ? ? ?伴隨方程 1)()( ?????? txHt ??? 0)1( ?? 由極值必要條件，知 1s ig n 1u ? ??? ? ? ?? 00???? ， 01)( 1 ??? ?tet? 01t??又 于是有 1)( ??? tu 最優(yōu)控制理論與應(yīng)用 2022年 2月 11日 58 1)()( ??? txtx?， 1)0( ?x 12)( ?? ?? tetx1 10 d 2 1J x t e? ? ?? ? ? ??)(tu? 協(xié)態(tài)變量與控制變量的關(guān)系圖 最優(yōu)控制理論與應(yīng)用 2022年 2月 11日 59 , ， 例 )()()( tutxtx ???? 1)0( ?x 1)( ?tu101( ) d2J x u t???性能指標(biāo)泛函 哈密頓函數(shù) 11( ) ( 1 ) ( )22H x u x u x u? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?伴隨方程 1)( ?????? ?? xHt?， 0)1( ?? 1( ) ( 1 )tte? ?? ? ? 1s ig n ( )2u ?? ? ?1 0 l n2()1 l n 12etutet??? ? ???? ?? ???? 最優(yōu)控制理論與應(yīng)用 2022年 2月 11日 60 1 0 l n21 l n 12extx x uext?? ? ? ??