高一第一學(xué)期集合典型例題(編輯修改稿)
2025-02-10 05:13 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 先去掉絕對(duì)值號(hào)，把函數(shù)式化簡(jiǎn)后再考慮求單調(diào)區(qū)間． 解 當(dāng)x－1≥0且x－1≠1時(shí)，得x≥1且x≠2，則函數(shù)y＝－x． 當(dāng)x－1＜0且x－1≠－1時(shí)，得x＜1且x≠0時(shí)，則函數(shù)y＝x－2． ∴增區(qū)間是(－∞，0)和(0，1) 減區(qū)間是[1，2)和(2，＋∞) (3)解：由－x2－2x＋3≥0，得－3≤x≤1． 令u＝＝g(x)＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4．在x∈[－3，－1]上是 在x∈[－1，1]上是 ． ∴函數(shù)y的增區(qū)間是[－3，－1]，減區(qū)間是[－1，1]．4.已知函數(shù)f(x)=kx3－3(k+1)x2－k2+1(k0).若f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是（0，4），（1）求k的值；（2）當(dāng)kx時(shí)，求證：23－.解：（1）f′(x)=3kx2－6(k+1)x由f′(x)0得0x∵f(x)的遞減區(qū)間是（0，4）∴=4,∴k=1.(2)設(shè)g(x)=2g′(x)=當(dāng)x1時(shí)，1x2∴,∴g′(x)0∴g(x)在x∈［1,+∞)上單調(diào)遞增∴x1時(shí)，g(x)g(1)即23∴23－4.三次函數(shù)f(x)=x3－3bx+3b在［1，2］內(nèi)恒為正值，求b的取值范圍.∵x∈［1,2］時(shí)，f(x)0∴f(1)0,f(2)0∴f(1)=10,f(2)=8－3b0∴b又f′(x)=3(x2－b)(1)若b≤1,則f′(x)≥0f(x)在［1，2］上單調(diào)遞增f(x)≥f(1)0(2)若1b由f′(x)=0,得x=當(dāng)1≤x≤時(shí)，f′(x)≤0f(x)在［1，］上單調(diào)遞減，f(x)≥f()f()為最小值當(dāng)x≤2時(shí)，f′(x)0f(x)在（,2]上單調(diào)遞增f(x)f()∴只要f()0，即1b時(shí)，f(x)綜上（1）、（2），∴b的取值范圍為b.4已知二次函數(shù)y＝f(x)(x∈R)的圖像是一條開(kāi)口向下且對(duì)稱軸為x＝3的拋物線，試比較大?。?(1)f(6)與f(4) 解 (1)∵y＝f(x)的圖像開(kāi)口向下，且對(duì)稱軸是x＝3，∴x≥3時(shí)，f(x)為減函數(shù)，又6＞4＞3，∴f(6)＜f(4) 時(shí)為減函數(shù)． 解 ：任取兩個(gè)值xx2∈(－1，1)，且x1＜x2． 當(dāng)a＞0時(shí)，f(x)在(－1，1)上是減函數(shù)． 當(dāng)a＜0時(shí)，f(x)在(－1，1)上是增函數(shù)．證明題：4利用函數(shù)單調(diào)性定義證明函數(shù)f(x)＝－x3＋1在(－∞，＋∞)上是減函數(shù)． 證： 取任意兩個(gè)值x1，x2∈(－∞，＋∞)且x1＜x2． 又∵x1－x2＜0，∴f(x2)＜f(x1) 故f(x)在(－∞，＋∞)上是減函數(shù)． 得f(x)在(－∞，＋∞)上是減函數(shù)．函數(shù)單調(diào)性與反函數(shù)的典型例題（總）選擇題 ，在(0，2)上為增函數(shù)的是( B ) (A)y=3x+1 (B)y=|x+2| (C)y= (D)y=x24x+3 (x)=x2+2(a1)x+2在區(qū)間(∞，4)上是減函數(shù)，那么實(shí)數(shù)a的取值范圍是( B ) (A)[3，+∞ ) (B)(∞，3] (C){3} (D)(∞，5] (x)=2x2mx+3，當(dāng)x∈(2，+∞)時(shí)是增函數(shù)，當(dāng)x∈(∞，2)時(shí)是減函數(shù)，則f(1)等于( B ) (A)3 (B)13 (C)7 (D)由m而決定的常數(shù)． (x)在(2，3)上是增函數(shù)，則f(x5)的遞增區(qū)間是( A ) (A)(3，8) (B)(7，2) (C)(2，3) (D)(0，5)． =的遞增區(qū)間是( B ) (A)(∞，2) (B)[5，2] (C)[2，1]． (D)[1，+∞)． (x)=x2+bx+c對(duì)任意t都有f(2+t)=f(2t)，那么( A ) (A)f(2)f(1)f(4) (B)f(1)f(2)f(4)(C)f(2)f(4)f(1) (D)f(4)f(2)f(1)=f(x)的圖象與直線y=x有一個(gè)交點(diǎn)，則y=f1(x)與y=x的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為( B ) (A)O個(gè) (B)1個(gè) (C)2個(gè) (D)不確定 =f(x)(x∈R)的反函數(shù)為y=f1(x)，則必在y=f1(x)的圖象上的點(diǎn)是( B ) (A)(f(a)，a) (B)(f(a)，a) (C)(a，f(a)) (D)(a，f1(a)) =f(x)存在反函數(shù)，則方程f(x)=2c(c為常數(shù))( C ) (A)有且只有一個(gè)實(shí)根 (B)至少有一個(gè)實(shí)根 (C)至多有一個(gè)實(shí)根 (D)沒(méi)有實(shí)根 (x)=x+b與g(x)=ax5互為反函數(shù)，則a，b的值分別為(A ) (A)a=2，b= (B)a=，b=2 (C)a=，b=5 (D)a=5，b= =的反函數(shù)f1(x)=，則f(x)的定義域?yàn)? D )(A)(2，0) (B)[2，2] (C)[2，0] (D)[0,2]=f(x)的圖象過(guò)點(diǎn)(0，1)，則y=f1(x)+2的圖象必過(guò)點(diǎn)( A )(A) (1,2) (B)(2,1) (C) (0,1) (D)(2,0)填空題5函數(shù)y=的單調(diào)遞增區(qū)間是_______________提示：由x22xO，得函數(shù)的定義域?yàn)?∞，0]∪[2，+∞)．又拋物線開(kāi)口向上，對(duì)稱軸方程為x=1，故遞增區(qū)間為[2，+∞]．5已知函數(shù)f(x)=x22ax+a2+b，(1)若f(x)在(∞，1)上是減函數(shù)，則a的取值范圍是______；(2)若對(duì)于任意x∈R恒有f(x)≥0，則b的取值范圍是____提示：由已知條件知a≤1．∵f(x)=(xa)2+b≥0恒成立,∴b≥0，故(1)填a≤1，(2)填b≥0．5函數(shù)y=3m(x1)的反函數(shù)圖象必過(guò)定點(diǎn) _____________提示：y=3m(x1),x=1時(shí),y=1.∴y=3m(x1)的圖像必過(guò)(1,1)(1,1)點(diǎn).60、函數(shù)y=(x1)2(x≤O)的反函數(shù)為 ___________提示：∵y≤1,∴y=(x1)2.∴x=1177。,∵x≤0,∴x=1.∴其反函數(shù)為y=1.解答題6求函數(shù)f(x)=x+在(0，+∞)上的單調(diào)性．證明：設(shè)x1，x2∈(O，+∞)，且x1x2， 則f(x1)f(x2)=x1+x2=(x1x2)+=(x1x2)(1) ∴當(dāng)1≤x1x2時(shí)，x1x20，x1x2l，01， ∴10,∴(x1x2)(1)0，∴f(x1)f(x2) ∴f(x)在[1，+∞]上是增函數(shù)． 當(dāng)0x1x2≤l時(shí)，x1x20，0x1x21，l0， (x1x2)(1)0，∴f(x1)f(x2)， ∴f(x)在(O，1)上是減函數(shù)． 即f(x)=x+在(0，1)上是減函數(shù)，在[1，+∞)上是增函數(shù)．6.設(shè)函數(shù)f(x)在(0，+∞)上是減函數(shù)，且有f(2a2+a+1)f(3a22a+1)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．解：2a2+a+1=2(a2++)+=2(a+)2+0， 3a22a+1=3(a2a+)+=3(a)2+0． 又∵f(x)在(0，+∞)上是減函數(shù)， ∴原不等式可變形為2a2+a+l3a22a+1． 整理，得a23a0．解得0a3．6已知函數(shù)f(x)=x+， (1)求函數(shù)f(x)的定義域； (2)求證：f(x)在其定義域內(nèi)是增函數(shù)； (3)求f(x)的值域．解：(1)要使函數(shù)有意義，須l+2xO，解得定義域?yàn)閤≥．(2)任取x1,x2∈[，+∞)，且x1x2，則f(x1)f(x2)=x1+x2= (x1x2)+= (x1x2)+= (x1x2
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鄂ICP備17016276號(hào)-1