全品高考復(fù)習(xí)方案教師手冊理第12單元-推理與證明-人教a版(編輯修改稿)
2025-02-09 06:38 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 ＋ b6－ ab5 ＝ a5( a － b ) － b5( a － b ) ＝ ( a － b )( a5－ b5) ． 因為 a 、 b 是非負(fù)實數(shù)， (1) 當(dāng) a ≥ b 時， a － b ≥ 0 ， a5－ b5≥ 0 ， ( a － b )( a5－ b5) ≥ 0 ； (2) 當(dāng) a ＜ b 時， a － b ＜ 0 ， a5－ b5＜ 0 ， ( a － b )( a5－ b5) ≥ 0 ； 綜合 (1) (2) 可知， a3＋ b3≥ ab ( a2＋ b2) ． 第 69講 │ 要點探究 方法三 ( 基本不等式法 ) ： ∵ a ≥ 0 ， b ≥ 0 ， ∴ a ＋ b ≥ 2 ab ， a2－ ab ＋ b2≥ 0 ， ∴ a3＋ b3＝ ( a ＋ b )( a2－ ab ＋ b2) ≥ 2 ab ( a2－ ab ＋ b2) ＝ ab (2 a2－ 2 ab ＋ 2 b2) ＝ ab??????? a2＋ b2? ＋ ? a － b ?2≥ ab ( a2＋ b2) ，即 a3＋ b3≥ ab ( a2＋ b2) ． 第 69講 │ 要點探究 [點評 ]綜合法的實質(zhì)是揭示出條件與結(jié)論之間的因果關(guān)系，為此要著力分析已知和求證之間的差異和聯(lián)系、不等式左右兩端的差異和聯(lián)系，并合理應(yīng)用已知條件進行有效的變換，這是用綜合法證題的關(guān)鍵．綜合法是一種由因索果的證明方法，其邏輯依據(jù)是三段論式的演繹推理方法． 第 70講 │ 要點探究 在 △ ABC 中，三個內(nèi)角 A 、 B 、 C 的對邊分別為 a 、b 、 c ，若1a ＋ b＋1b ＋ c＝3a ＋ b ＋ c，問 A 、 B 、 C 是否成等差數(shù)列，若不成等差數(shù)列，請說明理由；若成等差數(shù)列，請給出證明． [ 思路 ] 由已知等式找出三角形三邊 a 、 b 、 c 的關(guān)系，再由余弦定理得出 A 、 B 、 C 之間的關(guān)系，用綜合法給出證明． [ 解答 ] A 、 B 、 C 成等差數(shù)列，下面用綜合法給出證明： 第 70講 │ 要點探究 ∵1a ＋ b＋1b ＋ c＝3a ＋ b ＋ c， ∴a ＋ b ＋ ca ＋ b＋a ＋ b ＋ cb ＋ c＝ 3 ， ∴ca ＋ b＋ab ＋ c＝ 1 ， ∴ c ( b ＋ c ) ＋ a ( a ＋ b ) ＝ ( a ＋ b )( b ＋ c ) ， ∴ b2＝ a2＋ c2－ ac . 在 △ ABC 中 ，由余弦定理，得 c os B ＝a2＋ c2－ b22 ac＝ac2 ac＝12， ∵ 0176。 ＜ B ＜ 180176。 ， ∴ B ＝ 60176。 . ∴ A ＋ C ＝ 2 B ＝ 120176。 ， ∴ A 、 B 、 C 成等差數(shù)列． ? 探究點 2 分析法 第 69講 │ 要點探究 例 2 已知 a b 0 ， 求證 ：? a － b ?28 aa ＋ b2－ ab ? a － b ?28 b. 例 2 [ 思路 ] 本題結(jié)論較復(fù)雜，可先用 分析法簡化結(jié)論，再用分析法證明． [ 解答 ] 欲證? a － b ?28 aa ＋ b2－ ab ? a － b ?28 b，只需證? a － b ?28 a????????a － b22? a － b ?28 b. ∵ a b 0 ， ∴ 只需證a － b2 2 aa － b2a － b2 2 b，即a ＋ b2 a1a ＋ b2 b. 第 69講 │ 要點探究 欲證a ＋ b2 a1 ， 只需證 a ＋ b 2 a ，即 b a . 該式顯然成立． 欲證 1a ＋ b2 b， 只需證 2 b a ＋ b ，即 b a . 該式顯然成立． ∴a ＋ b2 a1a ＋ b2 b成立，且以上各步均可逆． ∴? a － b ?28 aa ＋ b2－ ab ? a － b ?28 b成立． 第 69講 │ 要點探究 [點評 ]當(dāng)要證明的不等式較復(fù)雜，兩端的差異難以消除或者已知條件信息太小不知如何下手時，適時運用分析法會使問題容易獲得解決．在用分析法證題時，要正確使用連接有關(guān)步驟的關(guān)鍵詞，如 “ 為了證明 ” 、 “ 只需證明 ” 等．分析法是步步尋求結(jié)論成立的充分條件，有時與綜合法混合使用，也叫分析綜合法． 第 70講 │ 要點探究 若 a ＞ b ＞ c ＞ d ＞ 0 且 a ＋ d ＝ b ＋ c ，求證： d ＋ a＜ b ＋ c . [ 思路 ] 用直接法不易入手，采用分析法求證． [ 解答 ] 要證 d ＋ a ＜ b ＋ c ，只需證 ( d ＋ a )2＜ ( b＋ c )2，即 a ＋ d ＋ 2 ad ＜ b ＋ c ＋ 2 bc ，因 a ＋ d ＝ b ＋ c ，只需證 ad ＜ bc ，即 ad ＜ bc ， 設(shè) a ＋ d ＝ b ＋ c ＝ t ， 則 a ＋ d ＋ b ＋ c ＝ 2 t ， ∴ c ＋ d ＜ t ， 所以 ad － bc ＝ ( t － d ) d － ( t － c ) c ＝ ( c － d )( c ＋ d － t ) ＜ 0 ， ∴ ad ＜ bc 成立，從而 d ＋ a ＜ b ＋ c 成立． 第 69講 │ 要點探究 例 3 設(shè)數(shù)列 {an}是公比為 q的等比數(shù)列， Sn是它的前n項和，證明：數(shù)列 {Sn}不是等比數(shù)列． ? 探究點 3 反證法 例 3 [ 思路 ] “ 正難則反 ” ，選擇反證法，利用 q ≠ 0尋找矛盾． [ 解答 ] 設(shè) { Sn} 是等比數(shù)列，則 S22＝ S1S3，即 a21(1 ＋ q )2＝a1a1(1 ＋ q ＋ q2) ． ∵ a1≠ 0 ， ∴ (1 ＋ q )2＝ 1 ＋ q ＋ q2，即 q ＝ 0 ， 這與 q ≠ 0 矛盾． 故 { Sn} 不是等比數(shù)列． [點評 ]否定性命題從正面突破往往比較困難，故用反證法比較好． 第 70講 │ 要點探究 已知 f ( x ) ＝ ax＋x － 2x ＋ 1( a ＞ 1) ，證明：方程 f ( x ) ＝ 0 沒有負(fù)數(shù)根． [ 思路 ] “ 正難則反 ” ，選擇反證法，因涉及方程的根，可從范圍方面尋找矛盾． [ 解答 ] 假設(shè) x0是 f ( x ) ＝ 0 的負(fù)數(shù)根，則 x0＜ 0 且 x0≠ －1 且 ax0＝－x0－ 2x0＋ 1， ∴ 0 ＜ ax0＜ 1 ? 0 ＜－x0－ 2x0＋ 1＜ 1 ， 解得12＜ x0＜ 2 ，這與 x0＜ 0 矛盾， 故方程 f ( x ) ＝ 0 沒有負(fù)數(shù)根． 第 69講 │ 要點探究 ? 探究點 4 綜合運用 例 4 求證：當(dāng) a ≥ 1 時，不等式 ex－ x － 1 ≤ax2ex2對于 x∈ [0 ，＋ ∞ ) 恒成立． [ 思路 ] 利用分析法尋找解題思路，用綜合法加以證明：構(gòu)造函數(shù)，判定函數(shù)在 x ∈ [0 ，＋ ∞ ) 上的單調(diào)性． 第 69講 │ 要點探究 [ 解答 ] 要證 ex－ x － 1 ≤ax2ex2成立， 只需證 ex≤ax2ex2＋ x ＋ 1 ， 即只需證明：a2x2＋x ＋ 1ex ≥ 1. ① 令 f ( x ) ＝a2x2＋x ＋ 1ex ，求導(dǎo)得 f ′ ( x ) ＝ ax ＋1 ex－ ? x ＋ 1 ? ex? ex?2＝ ax ＋－ xex ＝ xa －1ex . ∵ a ≥ 1 ， x ∈ [0 ，＋ ∞ ) ， ∴ f ′ ( x ) ≥ 0 ， ∴ f ( x ) 是增函數(shù)． 故 f ( x ) ≥ f ( 0) ＝ 1 ，從而 ① 式得證． ∴ 當(dāng) a ≥ 1 時，不等式 ex－ x － 1 ≤ax2ex
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