畢業(yè)論文---泊松分布在排隊(duì)論中的應(yīng)用(編輯修改稿)
2025-02-08 07:22 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 t? 成正比．即： ? ? ? ?tttttP ?????? ??,1 （ ? 為大于零的常數(shù)） ：對(duì)充分小的 t? ，在時(shí)間區(qū)間 ? ?ttt ??, 內(nèi)有 2 個(gè)或 2 個(gè)以上顧客到達(dá)的概率極小，以至于可以忽略不計(jì)，即： 合肥師范學(xué)院 2022 屆本科生畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)） 5 ? ? ? ?ttttPn n ??????? ?,2 由上述條件（ i）取 0?t 即從 0 時(shí)刻算起，并記為 ? ? ? ?tPtP nn ,0? ；再由條件（ ii）（ iii）可得在 ? ?ttt ??, 內(nèi)無(wú)顧客到達(dá)的概率為： ? ? ? ?tttttP ??????? ??1,0 因?yàn)? ? ? ? ? ? ?tttttt ?????? ,00， （即將 ? ?tt ??，0 拆分） 由全概率公式有： ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ?11 1 ?????????? ? ntttPttPttP nnn ??? ……… ① 將 ① 式兩邊同時(shí)除以 t? ? ?0??t 可得： ? ?? ? ? ? ? ?? ??????????? ?001。1nnnnPntPtPtd tdP ?? ……… ② （ ? ? 00?nP 是初值條件） 當(dāng) 0?n 時(shí)可將 ② 式改寫(xiě)為： ? ?? ? ? ?? ?????????10000PtPtd tdP ? ……… ③ 其中 ?? 100 ?P 的現(xiàn)實(shí)意義是 0?t 時(shí)刻無(wú)人到達(dá) 的概率為 1． 對(duì)于初值問(wèn)題 ③ ，在分離出 ??tP0 的基礎(chǔ)上，通過(guò)遞推公式于是可得到： ? ? ? ? e tnn nttP ?? ?? ! ， 3,2,1,0,0 ?? nt … 它的數(shù)學(xué)期望為 ??? ? ttNE ?? ， 方差 ? ?? ? ttNVar ?? ． 至此我們可以得出這樣的結(jié)論：上面這種顧客到達(dá)的計(jì)數(shù)過(guò)程 ??tN 是服從參數(shù)為 t? 的泊松分布． 3 排隊(duì)論模型中的相關(guān)分布 時(shí)間間隔的分布 當(dāng)尋求某種服務(wù)的顧客流入服務(wù)系統(tǒng)的過(guò)程是一個(gè)參數(shù)為 ? 的泊松過(guò)程時(shí)，那么，兩個(gè)顧客相繼到達(dá)的時(shí)間間隔 T 服從參數(shù)為 ? 的負(fù)指數(shù)分布 ??5 ，并且兩者是等價(jià)的．下面將就此結(jié)論進(jìn)行簡(jiǎn) 單的證明． 設(shè) ??tFT 為 T 的分布函數(shù)，那么： ? ? ? ? ? ?? ? ? ??????????????? ttPtTPtTPtF etT 011 10 ? 合肥師范學(xué)院 2022 屆本科生畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)） 6 由分布函數(shù)求密度函數(shù)即對(duì) ??tFT 關(guān)于 t 求導(dǎo)，可得： ? ? ? ?????? ? ttf e tT 0。?? 由指數(shù)分布的性質(zhì)可知其期望 ? ? ?1?TE ,其現(xiàn)實(shí)意義為，若來(lái)客的平均到達(dá)率為 ? ，則他們的平均到達(dá)時(shí)間間隔為 ?1 ，二者的意義是互通的． 服務(wù)時(shí)間的分布 對(duì)于服務(wù)時(shí)間 V 的分布一般說(shuō)來(lái)也服從負(fù)指數(shù)分布 ,推理過(guò)程與上面時(shí)間間隔的分布類似，這里不再重述．下面只給出 V 的分布函數(shù)和它的密度函數(shù)． ? ? tV etF ????1 ， ?? tV etf ?? ?? 其中 ? 為平均服務(wù)率，其現(xiàn)實(shí)意義是單位時(shí)間內(nèi)能被服務(wù)完的來(lái)客數(shù)目．下面就泊松分布在幾種常見(jiàn)的排隊(duì)論模型中的應(yīng)用進(jìn)行實(shí)例介紹． 4 具體模型 模型一： M /M /1/? /? （顧客源無(wú)限，系統(tǒng)容量不限） 該模型的具體條件有：輸入過(guò)程的顧客源是無(wú)限的，彼此間的到來(lái)獨(dú)立不相關(guān)，到達(dá)的顧客流服從泊松分布，并且到達(dá)的過(guò)程是平穩(wěn)的．排隊(duì)服從單隊(duì)形規(guī)則并且先到者優(yōu)先接受服務(wù)，對(duì)隊(duì)伍長(zhǎng)度沒(méi)有限制，只有一個(gè)服務(wù)臺(tái)，來(lái)客接受服務(wù)的時(shí)間相互獨(dú)立且都服從同一個(gè)負(fù)指數(shù)分布 ??5 ．下面就泊松分布的知識(shí)對(duì)該模型的相關(guān)指標(biāo)進(jìn)行計(jì)算． 在顧客到達(dá)服從泊松分布（參數(shù)為 ? ）且服務(wù)時(shí)間服從指數(shù)分布（參數(shù)為 ? ）的前提，可知在 ? ?ttt ??, 的時(shí)間區(qū)間內(nèi)，有一個(gè)來(lái)客到達(dá)的概率為 ? ?tt ??? ?? ，那么，它的對(duì)立事件即沒(méi)有一個(gè)來(lái)客到達(dá)的概率為 ? ?tt ??? ??1 ，同理， 1 個(gè)來(lái)客被服務(wù)完離開(kāi)的概率為? ?tt ??? ?? ，其對(duì)立事件來(lái)客沒(méi)有被服務(wù)完的概率為 ? ?tt ??? ??1 ，有兩個(gè)或兩個(gè)以上來(lái)客到達(dá)或離開(kāi)的概率為 ? ?t?? ． 再次運(yùn)用全概率公式： ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ?? ? ? ?? ? ? ?? ?? ? ? ?? ? ? ?? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?ttttttPtttttPtttttPtttttPttPnnnnn???????????????????????????????????????????????????????111111 合肥師范學(xué)院 2022 屆本科生畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)） 7 上式整理后得： ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?tttPttPtttPttP nnnn ????????????? ?? ????? 111； 移項(xiàng)并在等式兩邊同時(shí)除以 t? ? ?0??t 后得： ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?t ttPtPtPt tPttP nnnnn ???????? ??? ?? ????? 11； 故有： ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1,110 ????? ?? ntPtPtPtd tdP nnn ????……… ① 上式是對(duì)于 1?n 的情況，當(dāng) 0?n 時(shí)， ① 式可以改寫(xiě)為： ? ?? ? ? ? ? ?tPtPtd tdP 100 ?? ??? ……… ② 聯(lián)立 ① ② 并求其穩(wěn)態(tài)條件下的解（此時(shí) ??tPn 與 t 無(wú)關(guān)，可以改寫(xiě)為 nP ）； 得到關(guān)于 nP 的差分方程： ? ? ? ???? ??????? ?? 0 1。00111 PP nPPP nnn ?? ???? ……… ③ 由 ③ 式可得 ???????? ??? ????????????00 PPP
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