【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 Q2 Q1 Q0 Q1? Q2? C 2D f 畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 10?? 2sin 22 ?? aBD 2220 ?ftgx ?? 220 x ??? 按上述例子可把 夫瑯禾費(fèi) 單縫衍射屏上各級(jí)極小 1Q? 、 2Q? 、 3Q? …的條件都寫(xiě)下來(lái) ： ? ? ? ?112mB D L k L k ?? ? ? ? ? 1sinBD a k????， 10 kQ Q x ftg??? 10 k x? ?? 1 1,2k? 如上所述菲涅耳提出的簡(jiǎn)單方法稱為半波帶法 ，具有如下特點(diǎn) ：（ 1）將到達(dá)單縫的波陣面分割成面積相等的矩形窄條（窄條長(zhǎng)度平行于狹縫），每個(gè)窄條稱為一個(gè)波 帶，各個(gè)波帶含有相同數(shù)目的子波源。（ 2）要求相鄰波帶發(fā)出的子波會(huì)聚到達(dá)屏上 Q 點(diǎn)的平均光程差都等于半波長(zhǎng)。（ 3）如果分割成的波帶數(shù)恰為偶數(shù) 2k1，則此 Q 點(diǎn)便是此單縫衍射的第 k1 級(jí)極小位置。 夫瑯禾費(fèi)衍射光強(qiáng) 圖樣 特點(diǎn) 圖樣特點(diǎn) 觀察點(diǎn)和光源與障礙物的距離有限，在計(jì)算光程和疊加后的光強(qiáng)等問(wèn)題時(shí)，都難免遇到繁瑣的數(shù)學(xué)運(yùn)算。夫瑯禾費(fèi)在 18211822 年間研究了觀察點(diǎn)和光源距障礙物都是無(wú)限遠(yuǎn)（平行光束）時(shí)的衍射現(xiàn)象。在這種情況下，計(jì)算衍射圖樣中光強(qiáng)的分布時(shí)，數(shù)學(xué)運(yùn)算就比較簡(jiǎn)單。所謂光源在無(wú)限遠(yuǎn)，實(shí)際上就是把光源置于第一個(gè)透鏡的焦平面上，得到平行光束；所謂觀察點(diǎn)在無(wú)限遠(yuǎn)，實(shí)際上是在第二個(gè)透鏡的焦平面上觀察衍射圖樣，在使用光學(xué)儀器的多數(shù)情況中，光束總是要透過(guò)透鏡的。因而經(jīng)常會(huì)遇到這種衍射現(xiàn)象，而且由于透鏡的會(huì)聚，衍射圖樣的光強(qiáng)將比菲涅耳衍射圖樣的光強(qiáng)大大增加。 圖 212 為紅光單狹縫衍射圖樣，其特點(diǎn)是在中央有一條特別明亮的亮條紋，兩側(cè)排列著一些強(qiáng)度較小的亮條紋，相鄰亮條紋之間有一條暗條紋，如以相鄰暗條紋之間的間隔作為亮條紋的寬度，則兩側(cè)的亮條紋是等寬的，而中央亮條紋的寬度為其他亮條紋的兩倍。 圖 212 紅光單縫衍射圖樣 畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 11 圖 213 單縫衍射光路 強(qiáng)度的計(jì)算 現(xiàn)在我們用惠更新 菲涅耳原理來(lái)解釋上述現(xiàn)象。如圖 213 所示。為了清楚起見(jiàn)，圖中狹縫的寬度 39。BB 已經(jīng)放大。平行光束垂直于縫的平面入射時(shí)，波面和縫平面重合（垂直于圖面）。將縫的面積分為一組平行于縫長(zhǎng)的窄帶，從每一條這樣的窄帶發(fā)出次波。其振幅正比于窄帶的寬度 dx ，設(shè)光波的初位相為零， b 為縫 39。BB 的寬度， bA0 ，而寬度 dx 的窄條上 次波的振幅為 bdxA0，則狹縫處各窄帶所發(fā)次波的振動(dòng)可用下式表示： 00 cosA dxdE tb ?? 這些次波都可認(rèn)為是球面波，各自向前傳播?，F(xiàn)在，首先對(duì)其中沿圖面與原入射方向成 θ角（稱為衍射角）的方向傳播的所有各次波進(jìn)行研究。在入射光束的平面波面 BB’上各次波的位相都相等，通過(guò)透鏡 2L 后在焦平面 FF 上的同一點(diǎn) P處疊加。要計(jì)算 P 點(diǎn)的合振幅，必須考慮到各次波的位相關(guān)系，這取決于由各窄帶到 P 點(diǎn)的光程如何?，F(xiàn)在作平面 BD 垂直于衍射方向 39。BD，根據(jù) BD 面上各點(diǎn)的位相 分布情況即可決定在 P 點(diǎn)相遇的各次波的位相關(guān)系。我們知道，從平面 BD上各點(diǎn)沿衍射方向通過(guò)透鏡而達(dá)到 P 點(diǎn)的光程都相等。這就只要算出從平面 39。BB 到平面 BD 的各平行直線段之間的光程差就可以了。 MN 為沿著衍射角θ進(jìn)行的任一條路程，令 BM =x，則 sinMN x ?? ，這就是從 M 和從 B 兩點(diǎn)所發(fā)次波沿平行于MN 方向到達(dá)平面 BD 時(shí)的光程差。得 BD 面上 N 點(diǎn)的光振動(dòng)的表 達(dá) 式為 0 2c o s ( s in )A d xd E x tb ? ????? 或 2( s in )0 i x tA d xd E eb ? ??? ?? 其復(fù)振幅為： 2 sin0 ixA dxdE eb ? ??? 為簡(jiǎn)化計(jì)算起見(jiàn)，上式中假設(shè)各次波到達(dá) P 點(diǎn)時(shí)有相同的振幅（不考慮振 幅D x F P 2L B M B? O N ? 0P 畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 12與光程與反比的關(guān)系以及華僑因數(shù)）。根據(jù)惠更斯 — 菲涅耳原理，將上式對(duì)整個(gè)縫寬（從 x=0 到 x=b）積分。最后可得沿著衍射角θ方向傳播的所有次波在觀察點(diǎn) P疊加起來(lái)的合振幅： 0si n( si n )si nPbAA b? ?????? 令 ( sin ) /ub? ? ?? ，通常稱 (sin )/uu為 u 的 sinc 函數(shù)，并寫(xiě)成 sincu ，故 P 點(diǎn)的光強(qiáng)為 20 sinPI I c u? (26) 衍射花樣的光強(qiáng)分布 當(dāng)光屏放置在透鏡 L2 的焦平面上時(shí)，屏上出現(xiàn)衍射花樣，光強(qiáng)的分布可由（ 26）式?jīng)Q定。不同的衍射角θ對(duì)應(yīng)于光屏上不同的觀察點(diǎn)。首先來(lái)決定衍射花樣中光強(qiáng)最大值和最小值的位置。即求出 滿足光強(qiáng)的一階導(dǎo)數(shù)為零的那些點(diǎn)： 223s in 2 s in ( c o s s in )( ) 0d u u u u ud u u u ??? 由此得 si n 0,u u tgu?? 分別解以上兩式，可得出所有的極值點(diǎn)。 單縫衍射中央最大值的位置： 由 0sin ?u ，解得滿足 ? ? 0sin 00 ?? ???bu 的 一些衍射 方向，即 0sin 0 ?? (中間最大值的位置 )，也就是在焦點(diǎn) P0 處， 200 AIp ?，光強(qiáng)為最大。這里，疊加的各個(gè)次波位相差為零，所以振幅疊加互相加強(qiáng)。 單縫衍射最小值的 位置： 由 0sin ?u ，解得滿足 ? ? ???? kbu kk 2s in2 ?? 的一些衍射方向，即 bkk ?? ?sin ? ???????? 3,2,1k （最小值位置） 時(shí)， AP 為零，屏上這些點(diǎn)是暗的。 本章小結(jié) 本章從惠更斯 — 菲涅耳原理出發(fā)解釋了夫瑯禾費(fèi)衍射原理，介紹了 4 種可以在實(shí)驗(yàn)室中實(shí)現(xiàn)的夫瑯禾費(fèi)衍射的接收裝置，通過(guò)菲涅耳半波帶法說(shuō)明了單縫衍射，并針對(duì)衍射圖樣的特點(diǎn)分析了夫瑯禾費(fèi)單縫衍射的光強(qiáng)分布特點(diǎn)。 畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 13第 3章 光強(qiáng)分布的推導(dǎo) 基爾霍夫積分定理 假設(shè)有一個(gè)單色光波通過(guò)閉合曲線面 Σ 傳播， 如圖 所示。 圖 31 積分曲面 t 時(shí)刻、空間 P 點(diǎn)處的光電場(chǎng)為 ? ? ? ? iwtePEtPE ?? ~, （ 31） 若 P 是無(wú)源點(diǎn)，該 光 場(chǎng)應(yīng)滿足標(biāo)量波動(dòng)方程： 01 2222 ????? tEcE （ 32） 將（ 31）式代入，可得到 ? ? 0~22 ??? PEkE （ 33） 式中， cwk? ，該 式 即為亥姆霍茲方程。 假設(shè)另一個(gè)任意復(fù)函數(shù) G~ 也滿足亥姆霍茲方程 0~~ 22 ??? GkG 且在 Σ 面內(nèi)和 Σ 面上有 連續(xù)的一、二階偏微商，作積分 ?dnGEnEGQ ??? ???????? ?????? ~~~~ （ 34） P ? n? V ?? ε n? 畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 14其中 n?? 表示在 Σ面上每一點(diǎn)沿向外法線方向的偏微商，則由格林定理，有 ? ? ?dnGEnEGdVGEEGV ????? ? ???????? ????????? ~~~~~~~~ 22 式中 ， V 是 Σ面包圍的體積。利用亥姆霍 茲方程關(guān)系，得 ? ? 0~~~~ 22 ??????? dVGEEGV 根據(jù) G~ 所滿足的條件，可選取 G~ 為球面波的波函數(shù) : reG ikr?~ （ 35） 這個(gè)函數(shù)除了在 r=0 點(diǎn)外，處處解析。 （ 34）式中的 Σ應(yīng)選取圖 31 所示的復(fù)合曲面 ???? ，其中 ?? 是包圍 P 點(diǎn)半徑為小量ε的球面，該積分為 0~~~~ ????????? ????????????dnGEnEG （ 36） 由（ 35）式，有 ? ? ? ? reikrrnrGrnnG ik r?????? ??????? 1,c os~,c os~ ???? （ 37） 對(duì)于 ?? 面上的點(diǎn) ? ? 1,cos ??rn ?? ， ??r ,所以 reikrnG ikr?????? ???? 1~ 因此 當(dāng) ε→ 0 時(shí) ? ?PEπεeikεEnEεeπd δnGEnEG ikik ~41~~4~~~~ 2 ???????? ?????? ????????????? ???????????? 故有 ? ? ?? drenErenEPEi k ri k r??? ?????? ?????????????????????? ~~4 1~ （ 38） 這就是亥姆霍茲 — 基爾 霍夫積分定理。它將 P 點(diǎn)的光場(chǎng)與周圍任一閉合曲線Σ上的光場(chǎng)聯(lián)系起來(lái)。 畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 15 基爾霍夫衍射公式 如圖 32 所示， 一個(gè)無(wú)限大的不透明平面屏，其 有一開(kāi)孔 ? ，用點(diǎn)光源 S 照明，設(shè) ? 的線度 ? 滿足 ? ?lrMin ,??? ?? ,其中 ? ?lrMin , 表示 r、 l中較小的一個(gè)。 1? 2? ? ?rn??, Q θ R? n? r? P S l? Σ 圖 32 球面波在孔徑上的衍射 圍繞 P點(diǎn)做一個(gè)閉合曲面 。該閉合曲面由三部分組成：開(kāi)孔 ? ，不透明屏的部分背照面 1? ，以 P 點(diǎn)為中心、 R為半徑的大球的部分球面 2? 。 P點(diǎn)的光場(chǎng)復(fù)振幅為 ? ? ?? drenErenEPE ik rik r??????? ?????? ??????????????????????21~~4 1~ （ 39） 因?yàn)槠恋拇嬖诒厝粫?huì)干擾 Σ 處的場(chǎng)。特別是開(kāi)孔邊緣附近的場(chǎng)，在開(kāi)孔線度的限制下 ， 誤差并不大 ， 作為近似理論處理可采用基爾霍夫假定 ： 在 Σ 面上 ,E~ 和 nE??~ 的值由入射波決定 ,與不存在屏?xí)r的值完全相同 。 因此 ? ? ik lik l elAliklnnEelAE ?????? ????? 1,c os~,~ ?? （ 310） 式中 A 是離點(diǎn)光源單位距離處的振幅， ? ?ln??,cos 表示外向法線 n? 與從 S 到 Σ 上某點(diǎn)Q 的矢量 l? 之間的夾角余弦。 在不透明屏的背照面 1? 上， 0~?E ， 0~???nE 。 畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 16對(duì)于 2? 面 Rr? , ? ? 1,cos ?Rn ?? ，且 1??R 有 ReikReRikRenik Rik Rik R ??????? ???????????? 1 因此在 2? 上的積分為 ???? ? ???????? ???? ????????? ??? ???? dREiknERedEiknERe i k Ri k R 2~~4 1~~4 12 ， 式中 ? 是 2? 對(duì) P 點(diǎn)所張的立體角， d? 是立體角元。 由索末菲輻射條件得 0~~lim ????????? ????? REiknER，當(dāng) ??R 時(shí)， RReikR??