【文章內(nèi)容簡介】 解方程 34 12 140 xz PP ?? .(黃岡，二 模 理科） 解： 原方程可化為： ? ?????????????????)2x)(1x(x140)2x2)(1x2(x2)1x2(Nx3x41x2 ? ???????????)2(35)12)(12(3xxxNxx ? ??????????06935432 xxNxx 解得 x=3. 評述： 解由排列數(shù)與組合數(shù)形式給出的方程時，在脫掉排列數(shù)與組合數(shù)的符號 時，要注意把排列數(shù)與組合數(shù)定義中的取出元素與被取元素之間的關系以及它們都屬自然數(shù)的這重要限定寫在脫掉符號之前。 3．排列與組合的應用題 歷屆高考數(shù)學試題中，排列與組合部分的試題主要是應用問題。一般都附有某些限制條件；或是限定元素的選擇，或是限定元素的位置，這些應用問題的內(nèi)容和情景是多種多樣的而解決它們的方法還是有規(guī)律可循的。常用的方法有：一般方法和特殊方法兩種。 一般方法有：直接法和間接法 （ 1）在直接法中又分為兩類，若問題可分為互斥各類，據(jù)加法原理，可用分類法；若問題考慮先后次序， 據(jù)乘法原理，可用占位法。 （ 2）間接法一般用于當問題的反面簡單明了，據(jù) A∪ A =I且 A∩ A =?的原理，采用排除的方法來獲得問題的解決。 特殊方法： （ 1）特元特位：優(yōu)先考慮有特殊要求的元素或位置后，再去考慮其它元素或位置。 （ 2）捆綁法：某些元素必須在一起的排列，用“捆綁法”，緊密結合粘成小組，組內(nèi)外分別排列。 （ 3）插空法：某些元素必須不在一起的分離排列用“插空法”，不需分離的站好實位，在 空位上進行排列。 （ 4）其它方法。 例 5． 7人排成一行，分別求出符合下列要求的不同排法的種數(shù)。 （ 1）甲排中間；（ 2）甲不排兩端；（ 3）甲，乙相鄰； （ 4）甲在乙的左邊（不要求相鄰）；（ 5）甲，乙，丙連排； （ 6）甲，乙，丙兩兩不相鄰。 12 解： （ 1）甲排中間屬“特元特位”，優(yōu)先安置，只有一種站法，其余 6 人任意排列，故共有： 1 66P =720種不同排法。 （ 2）甲不排兩端，亦屬于“特元特位”問題，優(yōu)先安置甲在中間五個位置上任何一個位 置則有 15P 種，其余 6人可任意排列有 66P 種，故共有 15P 66P =3600種不同排法。 （ 3）甲、乙相鄰，屬于“捆綁法”，將甲、乙合為一個“元素”，連同其余 5人共 6個元素任意排列，再由甲、乙組內(nèi)排列，故共有 66P 22P =1400種不同的排法。 （ 4）甲 在乙的左邊?？紤]在 7 人排成一行形成的所有排列 77P 中：“甲在乙左邊”與“甲在乙右邊”的排法是一一對應的，在不要求相鄰時，各占所有排列的一半，故甲在乙的左邊的不同排法共有 21 77P =2520種。 （ 5）甲、乙、丙連排，亦屬于某些元素必須在一起的排列，利用“捆綁法”，先將甲、乙、丙合為一個“元素”，連同其余 4人共 5 個“元素”任意排列，現(xiàn)由甲、乙、丙交換位置，故共有 55P 33P =720種不同排法。 （ 6）甲、乙、丙兩兩不相鄰，屬于某些元素必須不在一起的分離排列，用“插空法”，先將甲、乙、丙外的 4人排成一行，形成左、右及每兩人之間的五個“空”。再將甲、乙、丙插入其中的三個“空”，故共有 44P 35P =1440 種不同的排法。 例 6． 用 0， 1， 2， 3， 4， 5這六個數(shù)字組成無重復數(shù)字的五位數(shù)，分別求出下列各類數(shù)的個數(shù)： （ 1）奇數(shù)；（ 2） 5的倍數(shù)；（ 3）比 20300大的數(shù)； （ 4）不含數(shù)字 0，且 1， 2不相鄰的數(shù)。 解 ：（ 1）奇數(shù)：要得到一個 5位數(shù)的奇數(shù)，分成 3步，第一步考慮個位必須是奇數(shù)，從1， 3， 5中選出一個數(shù)排列個位的位置上有 13P 種；第二步考慮首位不能是 0，從余下的不是0 的 4 個數(shù)字中任選一個排在首位上有 14P 種；第三步：從余下的 4 個數(shù)字中任選 3 個排在中間的 3個 數(shù)的位置上，由乘法原理共有 13P 14P 34P =388（個）。 （ 2） 5 的倍數(shù)：按 0作不作個位來分類 第一類： 0作個位，則有 45P =120。 第二類： 0不作個位即 5作個位，則 14P 34P =96。 則共有這樣的數(shù)為： 45P + 14P 34P =216（個）。 （ 3）比 20300大的數(shù)的五位數(shù)可分為三類： 第一類： 3xxxx, 4xxxx, 5xxxx有 3 45P 個； 第二類： 21xxx, 23xxx, 24xxx, 25xxx, 的 4 34P 個； 第三類： 203xx, 204xx, 205xx, 有 3 23P 個，因此，比 20300大的五位數(shù)共有： 3 45P +4 34P +3 23P =474（個）。 （ 4）不含數(shù)字 0且 1， 2不相鄰的數(shù)：分兩步完成，第一步將 3， 4， 5三個數(shù)字排成一行；第二步將 1和 2插入四個“空”中的兩個位置，故共有 4433 PP? =72個不含數(shù)字 0，且 1和 2不相鄰的五位數(shù)。 例 7． 直線與圓相離，直線上六點 A1， A2， A3， A4， A5， A6，圓上四點 B1， B2， B3， B4，任兩點連成直線，問所 得直線最多幾條？最少幾條？ 解： 所得直線最多時，即為任意三點都不共線可分為三類：第一類為已知直線上與圓上各取一點連線的直線條數(shù)為 1416CC =24；第二類為圓上任取兩點所得的直線條數(shù)為 24C =6；第三類為已知直線為 1條，則直線最多的條數(shù)為 N1= 1416CC + 24C +1=31（條）。 所得直線最少時，即重合的直線最多，用排除法減去重合的字數(shù)較為方便，而重合 13 的直線即是由圓上取兩點連成的直線，排除重復，便是直線最少條數(shù)： N2=N12 24C =3112=19（條）。 4 三角函數(shù)定義與三角變換 題型分析 內(nèi)容： 三角函數(shù)的定義與三角變換 重點： 任意角的三角函數(shù)定義 難點： 三角變換公式的應用 內(nèi)容安排說明及分析： 本部分內(nèi)容分為兩大塊，一塊是三角的基礎與預備知識，另一塊是三角變換公式及其應用。把三角變換公式提到三角函數(shù)圖象與性質之前來復習，其目的是突出“工具提前”的原則。即眾多的三角變換公式是解決三角學中一系列典型問題的 工具，也是進一步研究三角函數(shù)的圖象和性質的重要工具。 由于本部分內(nèi)容的基礎性與工具性，這是高中數(shù)學的重要內(nèi)容之一，因此，最近幾年的高考試題中占有一定的比例，約占 13%左右。有試題多為選擇題，有時也有解答題，難度多為容易題與中等題。 知識要點及典型例題分析： 一、三角函數(shù)的定義 1．角的概念 （ 1）角的定義及正角，負角與零角 （ 2）象限角與軸上角的表達 （ 3）終邊相同的角 （ 4）角度制 （ 5）弧度制 2．任意角的三角函數(shù)定義 任意角的 6個三角函數(shù)定義的本質是給角這個幾何量以代數(shù)表達。借助直角坐標系這個工具，把 角放進直角坐標系中完成的。由任意角的三角函數(shù)定義直接可以得到： （ 1）三角函數(shù)的定義域 （ 2）三角函數(shù)值在四個象限中的符號 （ 3）同角三角函數(shù)的關系 （ 4）單位圓中的三角函數(shù)線：要充分利用三角函數(shù)線在記憶三角函數(shù)性質與公式以及解決三角函數(shù)問題中的作用。 3．誘導公式 總共 9組共 36個公式，記憶口決為“奇變偶不變，符號看象限”，并弄清口決中的字詞含義，并根據(jù)結構總結使用功能。 “奇變”是指所涉及的軸上角為2?的奇數(shù)倍時（包括 4 組：2???， 23? ??）函數(shù)名稱變?yōu)樵瓉砗瘮?shù)的余函數(shù)；其主要功能在于：當需要改變函數(shù)名稱時，比如：由于“和差化積”公式都是同名函數(shù)的和差。使用時，對于不同名的函數(shù)先化為同名函數(shù)，又如：復數(shù)化三角形式，有時也需要改變函數(shù)名稱，如： sin?icos?=cos(23? +?)+isin(23? +?)。 “偶不變”是指所涉及的軸上角為 2? 的偶數(shù)倍時（包括 5組： 2k?+?, ???, 2??, ?） , 函數(shù)名稱不變，其主要功能在于：求任意角的三角函數(shù)值，化簡及某些證明問題。 二、典型例題分析： 例 1． （ 1）已知 2? ??2? , 求 ?+?與 ??的范圍。 (黃岡，二 模 理科） （ 2）已知 ?的終邊在第二象限，確定 ??所在象限。 14 解： （ 1）∵ 2???2?, ∴ ??+??， ???0. （ 2）有兩種思路：其一是先把 ?的終邊關于 x 軸對稱放到 ?的終邊（在第三象限），再將 ?的終邊按逆時方向旋轉 ?放到 ??的終邊即 ?的終邊的反向延長線，此時 ??的終邊也在第二象限。 思路 2： 是先把 ?的終邊（第二象限）按順時針方向旋轉 ?，得到 ?+(?)（第四象限），再將它關于 x軸對稱得到 (??)=??的終邊，此時也在第一象限。 例 2． 若 A={x|x=4?k, k?Z}, B={x|x=2?k+4?, k?Z}, 則 A _____B。 解： 由 B中的 x=2?k+4?=4 )12( ??k可視為4?的奇數(shù)倍所構成的集合。 而 A中的 x=4?k是4?的所有奇數(shù)倍，因此 A?B。 例 3． 設 0?2?, 問 5?與角 ?終邊相同，求 ?。 解： 由已知 5?=2k?+?, k?Z, 有 ?=2?k， ∵ 0?2?, ∴ k=1 時， ?=23； k=2時， ?=?； k=3時， ?=23?. 例 4． 若??cos1 cos1??=ctg?csc?，求 ?取值范圍。 解： 先看一看右邊 =ctg?csc?=??sincos?sin1=??sin 1cos ?，這樣就決定了左邊的變形方向。 ??cos1 cos1??=??22cos1 )cos1( ??=??22sin )cos1( ?， ∵??22sin )cos1( ?=??sin 1cos ?， ∴ ??? ? ??0sin 01cos?????? ??0sin 1cos????無解， ∴ 不存在這樣的 ?使所給等式成立。 例 5． 已知 sin(??)cos(?+?)= 32 , 2? ??. 求：（ 1） sin?cos?的值 （ 2） sin3(2? +?)+cos3(2? +?)的值 解： （ 1）由已知，得 sin?+cos?= 32 ,平方得： 1+2sin?cos?=92 , ∴ 2sin?cos?=97 , ∵ 2???, ∴ sin?cos?= 2)cos(sin ?? ? = ?? cossin21? =34 . （ 2） sin3(2? +?)+cos3(2? +?)=cos3?sin3? =(cos?sin?)(cos2?+sin?cos?+sin2?) =34 (1187 ) =2722 . 例 6． 已知 sin(??)=2cos(?2?),求下列三角函數(shù)的值： 15 （ 1）)2c o s ()23s in (3)2c o s (5)s in (?????????????? （ 2） 1+cos2?25 sin2?. 解： 由已知： sin?=2cos?，有 tg?=2, 則 （ 1）原式 =?? ?? sincos3 cos5sin ?? ??=??tgtg?? ??3 5=57。 （ 2） 1+cos2?25sin2? =?????2222c o ss in2s in25c o s2s in??? =1225222???????tgtgtg =1)2( )2(52)2( 22?? ????=516. 評述： 對于形如?? ?? cossin cossin dc ba ??為關于 sin?與 cos?的一次分式齊次式，處理的方法，就是將分子與分母同除以 cos?，即可化為只含 tg?的式子。而對于 1+cos2?25sin2?屬于關于 sin?與 cos?的二次齊次式。即 sin2?+2cos2?5sin?cos?. 此時若能將分母的“ 1”用sin2?+cos2?表示的話，這樣就構成了關于 sin?與 cos?的二次分式齊次式，分子分母同除以cos2?即可化為只含有 tg?的分式形式。 例 7． 求函數(shù) y= 225 x? +logsinx(2sinx1)的定義域。 (黃岡，二 模 理科） 解： 使函數(shù)有意義的不等式為：?????????????01