機械振動和噪聲培訓(編輯修改稿)
2025-02-06 18:40 本頁面
【文章內容簡介】 。 式中 c稱為粘性阻尼系數，單位為 Ns/m。 有阻尼自由振動微分方程的建立 xmkc? ? ? ?00 ????????xcxkFxmFFFxm CK?????0??? kxxcxm ???xxx ??? , CFKF? ?0?? xKF K ? ?0?? xCF C ?C如果是自由振動 ， 則 有阻尼振動系統(tǒng)的固有特性：衰減特性，周期特性 T衰減特性 周期特性 0??? kxxcxm ???0??? xmkxmcx ???2nmk ??nmc ??2?kmc2??02 2 ??? xxx nn ??? ???阻尼比 02 2 ??? xxx nn ??? ???1. 0ζ1，小阻尼 2. ζ=1，臨界阻尼 3. ζ1，大阻尼 不是振動 不是振動 振動 其中 s是待定常數 ， 代入式 ()， 可得 stx e?設 () 有 ? ? 02 22 ??? stnn ess ???上面的代數方程為有粘性阻尼振動系統(tǒng)的 特征方程 ，有兩個根 s1和 s2 nns ???? 22,1 1i ????02 2 ??? xxx nn ??? ??? 0ζ1，小阻尼 只研究小阻尼的情況： 02 22 ??? nn ss ???得 設 nd ??? 21 ??nns ???? 22,1 1i ????衰減特性 周期特性 dns ??? i2,1 ???則 ?d 通常稱為 阻尼自由振動的圓頻率 。 dns ??? i2,1 ???() )ee(e 22 1i21i1 ttt nnn BBx ?????? ???? ??() tsts eBeBx 21 21 ??關于解的討論 ——小阻尼振動系統(tǒng) 根據歐拉公式 ，則 式 ()可以簡化為 tt ddtd ??? s i nico se i ???式中 D1=B1+B2， D2=i(B1B2),為待定系數 。 仍決定于初始條件 。 ? ?12e c os sinn t ddx D t D t?? ????? () 設在 t=0時，有 x=x0, ，則代入解式 (17)及其導數，得 0xx ?? ?? ?? ?1212e c o s s ine s in c o snntn d dtd d d dx D t D tD t D t????? ? ? ?? ? ? ???? ? ?? ? ?關于解的討論 ——小阻尼振動系統(tǒng) 在 t=0時有 0 1 0 0 2, ndx D x x D? ? ?? ? ? ?001 0 2,ndxxD x D ??????解得 經 與 代入式 ()即得系統(tǒng)對于 初始條件 與 的響應。 1D 2D 0x0x????????? ??? ? txxtxxddndtn ??????? sinc o se 000?關于解的討論 ——小阻尼振動系統(tǒng) ???????? ??? ? txxtxxddndtn ??????? sinc o se 000?? ???????? ????????? ??? ? txxxx ddntn s i ne20020?? ???????? ????????? ??? ? txxxx ddntn c o se20020?關于解的討論 ——小阻尼振動系統(tǒng) 當 t??， x?0， 振動最終將消失，所以小阻尼的自由振動也稱為 衰減振動 。 由解 ()可見 ， 系統(tǒng)振動已不再是等幅的簡諧振動 ， 而是振幅被限制在曲線 之內 ， 隨時間不斷衰減 。 tnAe ????圖 關于解的討論 ——小阻尼振動系統(tǒng) ● 阻尼對自由振動的影響有兩個方面： 一方面使 系統(tǒng)振動的周期略有增大 ， 頻率略有降低 ， 即 式中 T=2?/?n和 f=?n/2?為 無阻尼自由振動的周期和頻率 。 () 222 2 111dd nTT??? ? ? ?? ? ???212ddff? ??? ? ?() 關于解的討論 ——小阻尼振動系統(tǒng) Td= 當 ζ=， 與無阻尼的情形比較，只差 %。 Td=， fd= 與無阻尼的情形比較，也只差 5%。 所以在阻尼比較小時，對周期和頻率的影響可以忽略不計。 當 ζ=， 關于解的討論 ——小阻尼振動系統(tǒng) ?另一方面使系統(tǒng)振動的振幅按幾何級數衰減。 相鄰兩個振幅之比 dndnnTTttAAAA ??????? eee)(2111??? ??? () 式中 ?稱為 減幅系數 。可見 在一個周期內，振幅減縮到初值的 。 dnT??e1在 ζ=， ?=， A2=A1/= 亦即在每一個周期內振幅減小 27%， 振幅按幾何級數縮減，衰減是顯著的。 關于解的討論 ——小阻尼振動系統(tǒng) 同樣相對阻尼系數可以確定為 222( ??????）() 為了避免取指數值的不方便，常用 對數減幅?來代替減幅系數 ?，即 22112elnln?????? ??????? dnT TAAdn() 即對數縮減表示為唯一的變量 ζ的函數。 當 ζ 1時 ?????? 22 ??() 或 關于解的討論 ——小阻尼振動系統(tǒng)， 確定阻尼的一種方法 在相繼的幾次振動中 ， 振幅 ， 有如下關系 nAAA , 21 ???? ee13221 ??????dn TjjAAAAAA ?因而 ?jjjj AAAAAAAA e1322111 ?????????????????????????() 因此對數減幅 ?可以表示為 11ln1??jAAj? () 可見只要測定衰減振動的第 1次與第 j+1次振動的振幅之比 ，就可以算出對數減幅 ?， 從而確定系統(tǒng)中阻尼的大小 。 單自由度振動系統(tǒng)的 強迫 振動 系統(tǒng)方程 mkc tF ?c ostFxxx nn ???? c o s2 2??? ???從數學的角度來看， 方程的解 = 齊次方程的通解 + 非齊次方程的特解 。 從振動的角度來看， 方程所描述的振動 = 瞬態(tài)振動 + 穩(wěn)
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