【文章內(nèi)容簡介】 ，要熟練掌握． （ 2）此題還考查了全等三角形的判定和應(yīng)用，要熟練掌握． （ 3）此題還考查了矩形、正方形的性質(zhì)和應(yīng)用，要熟練掌握． 9．如圖， AD 是 △ ABC 的角平分線，則 AB： AC 等于（ ） A． BD： CD B． AD： CD C． BC： AD D． BC： AC 【考點】角平分線的性質(zhì)． 【專題】壓軸題． 【分析】先過點 B 作 BE∥ AC 交 AD 延長線于點 E，由于 BE∥ AC，利用平行線分線段成比例定理的推論、平行線的性質(zhì)，可得 ∴△ BDE∽△ CDA， ∠ E=∠ DAC，再利用相似三角形的性質(zhì)可有= ，而利用 AD 時角平分線又知 ∠ E=∠ DAC=∠ BAD，于是 BE=AB，等量代換即可證． 【解答】解：如圖 第 17 頁（共 36 頁） 過點 B 作 BE∥ AC 交 AD 延長線于點 E， ∵ BE∥ AC， ∴∠ DBE=∠ C， ∠ E=∠ CAD， ∴△ BDE∽△ CDA， ∴ = ， 又 ∵ AD 是角平分線， ∴∠ E=∠ DAC=∠ BAD， ∴ BE=AB， ∴ = ， ∴ AB： AC=BD： CD． 故選： A． 【點評】此題考查了角平分線的定義、相似三角形的判定和性質(zhì)、平行線分線段成比例定理的推論．關(guān)鍵是作平行線． 10．如圖，在 △ ABC 中， ∠ C=90176。， ∠ B=30176。， 以 A 為圓心，任意長為半徑畫弧分別交 AB、 AC 于點 M 和 N，再分別以 M、 N 為圓心，大于 MN 的長為半徑畫弧，兩弧交于點 P，連結(jié) AP 并延長交 BC 于點 D，則下列說法中正確的個數(shù)是（ ） ①AD 是 ∠ BAC 的平分線； ②∠ ADC=60176。； ③點 D 在 AB 的中垂線上； ④S△ DAC： S△ ABC=1： 3． 第 18 頁（共 36 頁） A． 1 B． 2 C． 3 D． 4 【考點】角平分線的性質(zhì)；線段垂直平分線的性質(zhì)；作圖 —基本作圖． 【分析】 ①根據(jù)作圖的過程可以判定 AD 是 ∠ BAC 的角平分線； ②利用角平分線的定義可以推知 ∠ CAD=30176。，則由直角三角形的性質(zhì) 來求 ∠ ADC 的度數(shù)； ③利用等角對等邊可以證得 △ ADB 的等腰三角形，由等腰三角形的 “三合一 ”的性質(zhì)可以證明點 D在 AB 的中垂線上； ④利用 30 度角所對的直角邊是斜邊的一半、三角形的面積計算公式來求兩個三角形的面積之比． 【解答】解： ①根據(jù)作圖的過程可知， AD 是 ∠ BAC 的平分線． 故 ①正確； ②如圖， ∵ 在 △ ABC 中， ∠ C=90176。， ∠ B=30176。， ∴∠ CAB=60176。． 又 ∵ AD 是 ∠ BAC 的平分線， ∴∠ 1=∠ 2= ∠ CAB=30176。， ∴∠ 3=90176。﹣ ∠ 2=60176。，即 ∠ ADC=60176。． 故 ②正確； ③∵∠ 1=∠ B=30176。， ∴ AD=BD， ∴ 點 D 在 AB 的中垂線上． 故 ③正確； ④∵ 如圖，在直角 △ ACD 中， ∠ 2=30176。， ∴ CD= AD， 第 19 頁（共 36 頁） ∴ BC=CD+BD= AD+AD= AD， S△ DAC= AC?CD= AC?AD． ∴ S△ ABC= AC?BC= AC? AD= AC?AD， ∴ S△ DAC： S△ ABC= AC?AD： AC?AD=1： 3． 故 ④正確． 綜上所述，正確的結(jié)論是： ①②③④，共有 4 個． 故選 D． 【點評】本題考查了角平分線的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)以及作圖﹣基本作圖．解題時，需要熟悉等腰三角 形的判定與性質(zhì)． 11．如圖，三角形 ABC 中， ∠ A 的平分線交 BC 于點 D，過點 D 作 DE⊥ AC， DF⊥ AB，垂足分別為 E， F，下面四個結(jié)論： ①∠ AFE=∠ AEF； ②AD 垂直平分 EF； ③ ； ④EF 一定平行 BC． 其中正確的是（ ） A． ①②③ B． ②③④ C． ①③④ D． ①②③④ 【考點】角平分線的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；線段垂直平分線的性質(zhì)． 第 20 頁（共 36 頁） 【分析】由三角形 ABC 中， ∠ A 的平分線交 BC 于點 D，過點 D 作 DE⊥ AC， DF⊥ AB，根據(jù)角平分線的性質(zhì)，可得 DE=DF， ∠ ADE=∠ ADF，又由角 平分線的性質(zhì)，可得 AF=AE，繼而證得 ①∠AFE=∠ AEF；又由線段垂直平分線的判定，可得 ②AD 垂直平分 EF；然后利用三角形的面積公式求解即可得 ③ ． 【解答】解： ①∵ 三角形 ABC 中， ∠ A 的平分線交 BC 于點 D， DE⊥ AC， DF⊥ AB， ∴∠ ADE=∠ ADF， DF=DE， ∴ AF=AE， ∴∠ AFE=∠ AEF，故正確； ②∵ DF=DE， AF=AE， ∴ 點 D 在 EF 的垂直平分線上，點 A 在 EF 的垂直平分線上， ∴ AD 垂直平分 EF，故正確； ③∵ S△ BFD= BF?DF， S△ CDE= CE?DE， DF=DE， ∴ ； 故正確； ④∵∠ EFD 不一定等于 ∠ BDF， ∴ EF 不一定平行 BC．故錯誤． 故選 A． 【點評】此題考查了角平分線的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用． 12．如圖， AD 是 △ ABC 中 ∠ BAC 的角平分線， DE⊥ AB 于點 E， S△ ABC=7， DE=2， AB=4，則 AC長是（ ） A． 3 B． 4 C． 6 D． 5 【考點】角平分線的性質(zhì)． 【專題】幾何圖形問題． 第 21 頁（共 36 頁） 【分析】過點 D 作 DF⊥ AC 于 F，根據(jù)角平分線上的點到角的兩邊距離相等可得 DE=DF，再根據(jù)S△ ABC=S△ ABD+S△ ACD 列出方程求解即可． 【解答】解：如圖，過點 D 作 DF⊥ AC 于 F， ∵ AD 是 △ ABC 中 ∠ BAC 的角平分線， DE⊥ AB， ∴ DE=DF， 由圖可知， S△ ABC=S△ ABD+S△ ACD， ∴ 4 2+ AC 2=7， 解得 AC=3． 故選： A． 【點評】本題考查了角平分線上的點到角的兩邊距離相等的性質(zhì)，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵． 13．如圖，在 △ ABC 中， ∠ ABC=50176。， ∠ ACB=60176。，點 E 在 BC 的延長線上， ∠ ABC 的平分線 BD與 ∠ ACE 的平分線 CD 相交于點 D，連接 AD，下 列結(jié)論中不正確的是（ ） A． ∠ BAC=70176。 B． ∠ DOC=90176。 C． ∠ BDC=35176。 D． ∠ DAC=55176。 【考點】角平分線的性質(zhì)；三角形內(nèi)角和定理． 【專題】計算題． 【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理列式計算即可求出 ∠ BAC=70176。，再根據(jù)角平分線的定義求出 ∠ABO，然后利用三角形的內(nèi)角和定理求出 ∠ AOB 再根據(jù)對頂角相等可得 ∠ DOC=∠ AOB，根據(jù)鄰補角的定義和角平分線的定義求出 ∠ DCO，再利用三角形的內(nèi)角和定理列式計算即可 ∠ BDC，判斷出AD 為三角形的外角平分線，然后列式計算即可求出 ∠ DAC． 【解答】解： ∵∠ ABC=50176。， ∠ ACB=60176。， 第 22 頁（共 36 頁） ∴∠ BAC=180176。﹣ ∠ ABC﹣ ∠ ACB=180176。﹣ 50176。﹣ 60176。=70176。， 故 A 選項正確， ∵ BD 平分 ∠ ABC， ∴∠ ABO= ∠ ABC= 50176。=25176。， 在 △ ABO 中， ∠ AOB=180176。﹣ ∠ BAC﹣ ∠ ABO=180176。﹣ 70176。﹣ 25176。=85176。， ∴∠ DOC=∠ AOB=85176。， 故 B 選項錯誤； ∵ CD 平分 ∠ ACE， ∴∠ ACD= （ 180176。﹣ 60176。） =60176。， ∴∠ BDC=180176。﹣ 85176。﹣ 60176。=35176。， 故 C 選項正確； ∵ BD、 CD 分別是 ∠ ABC 和 ∠ ACE 的平分線， ∴ AD 是 △ ABC 的外角平分線， ∴∠ DAC= （ 180176。﹣ 70176。） =55176。， 故 D 選項正確． 故選： B． 【點評】本題考查了角平分線的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，角平分線的定義，熟記定理和概念是解題的關(guān)鍵． 14．在 △ ABC 中， ∠ BAC=90176。， AB=3， AC=4， AD 平分 ∠ BAC 交 BC 于 D，則 BD 的長為（ ） A．