【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 猜想 2：是否可以同時(shí)用正三角形和正六邊形兩種正多邊形組合進(jìn)行平面鑲嵌？若能，請(qǐng)按照上述方法進(jìn)行驗(yàn)證，并寫(xiě)出所有可能的方案；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由 ． 驗(yàn)證 2： _________________________________________ 結(jié)論 2： _________________________________________ 上面，我們探究了同時(shí)用兩種不同的正多邊形組合鑲嵌平面的部分情況，僅僅得到了一部分組合方案，相信同學(xué)們用同樣的方法，一定會(huì)找到其他可能的組合方案 ． 問(wèn)題拓展 請(qǐng)你依照上面的研究方式，探索出一個(gè) 同時(shí)用三種不同的正多邊形組合進(jìn)行 平面鑲嵌的方案，并寫(xiě)出驗(yàn)證過(guò)程 ． 猜想 3： _____________________________________ 驗(yàn)證 3： _____________________________________ 結(jié)論 3： _____________________________________ 拼圖的背后 例 4 同時(shí)用邊長(zhǎng)相等的正三角形和正方形拼（無(wú)重疊無(wú)間隙）凸多邊形，能拼成怎樣的凸多邊形？ 分析 要得到完整的解答，需將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解方程組 ． 解 設(shè)可以拼成凸 n 邊形， n 邊形的內(nèi)角只可能是 60? ， 90? ， 120? ， 150? ． 并設(shè)其個(gè)數(shù)分別為 x ， y ，z ， w （ x ， y ， z ， w 為大于等于零的整數(shù)） ． 則 ? ?6 0 9 0 1 2 0 1 5 0 2 1 8 0x y z w nx y z w n? ? ? ???? ? ? ? ? ? ??? ① ② 由②得 2 3 4 5 6 12x y z w n? ? ? ? ? ③ ① 6??③得 4 3 2 12x y z w? ? ? ? ④ 4 3 2 12n x y z w x y z w? ? ? ? ? ? ? ?∴ ≤． 由此可見(jiàn)，拼得的多邊形最大邊數(shù)為 12． 下面我們分情況一 一 探討 ． （ 1）當(dāng) 2n? 時(shí)，由 124 3 2 12x y z wx y z w? ? ? ??? ? ? ? ??，得 3 2 0x y z? ? ? ， ? ? ? ?, , , 0 , 0 , 0 , 12x y z w ?∴ ． 這說(shuō)明可以拼成十二邊形，且這十二邊形的每個(gè)內(nèi)角均為 150? ，如圖① ． （ 2） ，當(dāng) 11n? 時(shí)，由 114 3 2 12x y z wx y z w? ? ? ??? ? ? ? ??，得 3 2 1x y z? ? ? ， ? ? ? ?, , , 0 , 0 , 1 , 10x y z w ?∴ ． 這說(shuō)明，可以拼成十一邊形，且這十一邊形中有一個(gè)內(nèi)角為 120? ，其余各內(nèi)角均為 150? ，如圖② ． （ 3）當(dāng) 10n? 時(shí)，由 104 3 2 12x y z wx y z w? ? ? ??? ? ? ? ??， 得 3 2 2x y z? ? ? ， ? ? ? ?, , , 0 , 0 , 2 , 8x y z w ?∴ ． 這說(shuō)明可以拼成十邊形，且這十邊形中有 2 個(gè)內(nèi)角為 120? ，有 8 個(gè)內(nèi)角為 150? ，如圖③ ． （ 4）當(dāng) 9n? 時(shí)，由 94 3 2 12x y z wx y z w? ? ? ??? ? ? ? ??， 得 3 2 3x y z? ? ? ， ? ? ? ?, , , 0 , 0 , 3 , 6x y z w ?∴ ． 這說(shuō)明可以拼成九邊形，且這九邊形中有 3 個(gè)內(nèi)角為 120? ，有 6 個(gè)內(nèi)角為 150? ，如圖④ ． 同理，可以拼成八邊形、七邊形、六邊形、五邊形，分別如圖⑤、⑥、⑦、⑧ ． 練一練 1． 用大小相同的正六邊形瓷磚按如圖所示的方式來(lái)鋪設(shè)廣場(chǎng)，中間的正六邊形瓷磚記為 A ，定義為第一組；在它的周?chē)伾?6 塊同樣大小的正六邊形瓷磚，定義為第二組；在第二組的外圍用同樣大小的正六邊形瓷磚來(lái)鋪滿，定義為第三組??按這種方式鋪下去，用現(xiàn)有的 2022 塊瓷磚最多能完整地鋪滿_______組，還剩 _________塊瓷磚 ． 2． 花團(tuán)錦簇 有一個(gè)正六邊形花壇，周?chē)猛瑯右?guī)格的正三角形、正方形磚塊鋪路，按圖示方法從花壇向外鋪 10圈，共需磚 _______塊，其中正三角形磚 _______塊 ． 若鋪 n 圈，則共需磚 _______塊 ． 圖 ① 十二邊形( ) 圖 ② 十一邊形( )圖 ③ 十邊形( )圖 ④ 九邊形( ) 圖 ⑤ 八邊形( )圖 ⑥ 七邊形( ) 圖 ⑦ 六邊形( )圖 ⑧ 五邊形( )A 3． 有下列五種正多邊形地磚：①正三角形；②正方形；③正五邊形；④正六邊形；⑤正八邊形，現(xiàn)要用 同一種大小一樣、形狀相同的正多邊形地磚鋪設(shè)地面，其中能做到彼此之間不留空隙、不重疊地鋪設(shè)的地磚有 （ ） ． A． 4 種 B． 3 種 C． 2 種 D． 1種 4． 如圖，一個(gè)正方形水池的四周恰好被 4 個(gè)正 n 邊形地板磚鋪滿，則 n 等于 （ ） ． A． 4 B． 6 C． 8 D． 10 5． 在日常生活中，觀察各種建筑物的地板，就能發(fā)現(xiàn)地板常用各種正多邊形地磚鋪砌成美麗的圖案 ． 也就是說(shuō)，使用給定的某些正多邊形，能夠拼成一個(gè)平面圖形，既不留下一絲空白，又不互相重疊（在幾何里叫做平面鑲嵌），這顯然與正多邊形的內(nèi)角大小有關(guān)，當(dāng)圍繞一點(diǎn)拼在一起的幾個(gè)多邊形的內(nèi)角加在一起恰好組成一個(gè)周角 （ 360? ） 時(shí)，就拼成了一個(gè)平面圖形 ． （ 1）請(qǐng)根據(jù)下列圖形，填寫(xiě)表中空格； 正多邊形邊數(shù) 3 4 5 6 ? n 正多邊形每個(gè)內(nèi)角的度數(shù) 60? 90? ? （ 2）如果限于用一種正多邊形鑲嵌，哪幾種正多邊形能鑲嵌成一個(gè)平面圖形？ （ 3） 從正三角形、正四邊形、正六邊形中選 一 種，再在其他正多邊形中選一種，請(qǐng)畫(huà)出用這兩種不同的正多邊形鑲嵌成的一個(gè)平面圖形（草圖）；并探索這兩種正多邊形共能鑲嵌成幾種不同的平面圖形？說(shuō)明你的理由 ． 微探究 三角形三邊關(guān)系 三角形的三邊關(guān)系是三角形最基本的性質(zhì)，是解決三角形計(jì)數(shù)、研究線段不等關(guān)系、探討幾何最值等問(wèn)題的基礎(chǔ) ． 例 1 不等邊三角形 ABC 的兩條高的長(zhǎng)度分別為 4 和 12，若第三條高的長(zhǎng)度 也 是整數(shù)，那么這條高的長(zhǎng)度等于 _________． 試一試 設(shè) ABC△ 的面積為 S 、第三條高的長(zhǎng)為 h ，則 ABC△ 三邊都可用 S 的代數(shù)式表示，由三邊關(guān)系建立關(guān)于 h 的不等式組 ． 例 2 已知三角形的三邊 a 、 b 、 c 的長(zhǎng)都是整數(shù)，且 a b c?≤ ，如果 7b? ，則這樣的三角形共有 （ ） ． …A． 21個(gè) B． 8 個(gè) C． 9 個(gè) D． 4 個(gè) 試一試 a的取值范圍是明確的，依三角形三邊關(guān)系，可確定 c 的取值范圍，列表枚舉出所有的可能性 ． 例 3 如圖，已知 P 為 ABC△ 內(nèi)任一點(diǎn) ． （ 1） AB BC CA??與 ? ?2 PA PB PC??哪個(gè)大？證明你的結(jié)論； （ 2） AB BC CA??與 PA PB PC??哪個(gè)大？證明你的結(jié)論 ． 試一試 對(duì)于 （ 2） ，解題的關(guān)鍵是先證明： BP PC AB AC? ? ?， PA PC AB BC? ? ?，PA PB AC BC? ? ?． 例 4 現(xiàn)有長(zhǎng)為 150cm 的鐵絲，要截成 ? ?2nn? 小段，每段的長(zhǎng)為不小于 1cm 的整數(shù) ． 如果其中任意 3小段都不能拼成三角形，試求 n 的最大值，此時(shí)有幾種方法將該鐵絲截成滿足