【文章內(nèi)容簡介】 12 （ 1） 寫出 ()axt的傅里葉變換表示式 ()aXj? ； （ 2） 寫出 ()axt和 ()xn 的表達式 ； （ 3） 分別求出 ()axt的傅里葉變換和 ()xn 序列的傅里葉變換 。 解： （ 1） 000( ) ( ) 2 c os( ) ( )j t j taaj t j t jtX j x t e dt t e dte e e dt??? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ????? ? ? ?????? 上式中指數(shù)函數(shù)的傅里葉變換不存在，引入奇異函數(shù) ? 函數(shù)，它的傅里葉變換可以 表示成： 00( ) 2 [ ( ) ( ) ] )aXj ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? （ 2） 0? ( ) ( ) ( ) 2 c o s ( ) ( )aannx t x t t n T n T t n T????? ? ? ? ? ?? ? ? ? ??? 0( ) 2 c os( ) , x n nT n? ? ? ? ? ? ? 00 12 2 0 0 , 2 . 5sf r a d T m sf??? ? ? ? ? （ 3） 001? ( ) ( )2 [ ( ) ( ) ]a a sksskX j X j jkTkkT? ???? ???? ??? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? 式中 2 800 /ssf rad s??? ? ? 000000( ) ( ) 2 c os ( ) 2 c os ( ) [ ] 2 [ ( 2 ) ( 2 ) ]jw jw n jw n jw nn n njw n jw n jw nnkX e x n e nT e w n ee e e w w k w w k? ? ? ? ?? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ???? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ??? 式中 00 T rad?? ? ? 上式推導過程中，指數(shù)序列的傅里葉變換仍然不存在，只有引入奇異函數(shù)函 數(shù)，才能寫出它的傅里葉變換表達式。 14. 求以下序列的 Z 變換及收斂域： （ 2） 2 ( 1)nun?? ? ? ； 13 （ 3） 2 ( )nun? ? ； （ 6） 2 [ ( ) ( 10)]n u n u n? ?? 解 ： （ 2） 110 11[ 2 ( ) ] 2 ( ) 2 ,1 2 2n n n n nnnZT u n u n z z zz??? ? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ???? （ 3） 1111[ 2 ( 1 ) ] 2 ( 1 ) 2 22 1 1 ,1 2 1 2 2n n n n n n nn n nZT u n u n z z zz zzz? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ???? ? ? （ 6） 901 0 1 011[ 2 ( ) ( 1 0 ) ] 212 , 012n n nnZ T u n u n zz zz? ? ??????? ? ??? ? ? ??? 16. 已知 : 1132() 1121 2Xz zz ???? ?? 求出對應 ()Xz的各種可能的序列的表達式 。 解 ： 有兩個極點 ， 因為收斂域總是以極點為界，因此收斂域有以下三種情況： 三種收斂域?qū)N不同的原序列。 （ 1）當收斂域 ? 時， 11( ) ( )2 ncx n X Z z dzj? ?? ? 令 111115 7 5 7( ) ( ) ( 1 0 . 5 ) ( 1 2 ) ( 0 . 5 ) ( 2 )n n nzzF z X z z z zz z z z?????? ? ?? ? ? ? 0n? ，因為 c 內(nèi)無極點 ， x(n)=0； 1n?? ， C 內(nèi)有極點 0，但 z=0 是一個 n 階極點，改為求圓外極點留數(shù)，圓外極點有, 2zz??，那么 14 0. 5 2( ) R e [ ( ) , ] R e [ ( ) , 2]( 5 7 ) ( 5 7 ) ( ) ( 2)( ) ( 2) ( ) ( 2)1 [ 3 ( ) 2 2 ] ( 1 )2nnzznnx n s F z s F zz z z zzzz z z zun??? ? ???? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? （ 2）當收斂域 2z??時， (5 7 )() ( 0 .5 )( 2 )nzzFz zz?? ?? 0n? ， C 內(nèi)有極點 ； 1( ) R e [ ( ) , 0 .5 ] 3 ( )2 nx n s F z?? 0n? ， C 內(nèi)有極點 ， 0，但 0 是一個 n 階極點，改成求 c 外極點留數(shù)， c 外極點只有一個，即 2， ( ) Re [ ( ) , 2 ] 2 2 ( 1 )nx n s F z u n? ? ? ? ? ? 最后得到 1( ) 3 ( ) ( ) 2 2 ( 1 )2 nnx n u n u n? ? ? ? （ 3）當收斂域 2 z? 時， (5 7 )() ( 0 .5 )( 2 )nzzFz zz?? ?? 0n? ， C 內(nèi)有極點 ， 2； 1( ) R e [ ( ) , 0 . 5 ] R e [ ( ) , 2 ] 3 ( ) 2 22 nnx n s F z s F z? ? ? ? n0，由收斂域判斷，這是一個因果序列，因此 x(n)=0。 或者這樣分析， C 內(nèi)有極點 ， 2， 0，但 0 是一個 n 階極點，改成求 c 外極點留數(shù)， c 外無極點，所以 x(n)=0。 最后得到 1( ) [ 3 ( ) 2 2 ] ( )2 nnx n u n?? 17. 已知 ( ) ( ), 0 1nx n a u n a? ? ?， 分別求 ： （ 1） ()xn 的 Z 變換 ； （ 2） ()nxn 的 Z 變換 ； （ 3） ()na u n? ? 的 z 變換 。 解 ： 15 （ 1）11( ) [ ( ) ] ( ) ,1n n nnX z ZT a u n a u n z z aaz? ??? ? ?? ? ? ??? （ 2） 112[ ( ) ] ( ) ,( 1 )d a zZ T n x n z X z z ad z a z??? ? ? ?? （ 3） 1001[ ( ) ] ,1n n n n nnnZT a u n a z a z z aaz? ? ?? ? ? ???? ? ? ? ???? 18. 已知 1123() 2 5 2zXz zz????? ??， 分別求 ： （ 1） 收斂域 2z??對應的原序列 ()xn ； （ 2） 收斂域 2z? 對應的原序列 ()xn 。 解 ： 11( ) ( )2 ncx n X z z dzj? ?? ? 1111233( ) ( ) 2 5 2 2 ( 0 . 5 ) ( 2 )nnn zzF z X z z zz z z z?????? ? ?? ? ?? ? ? ? （ 1）當收斂域 2z??時， 0n? ， c 內(nèi)有極點 ， ( ) Re [ ( ) , ] 2nnx n s F z ?? ? ?, 0,n? c 內(nèi)有極點 ,0,但 0 是一個 n 階極點 ,改求 c 外極點留數(shù) ,c 外極點只有 2, ( ) R e [ ( ) , 2] 2 nx n s F z? ? ?, 最后得到 ( ) 2 ( ) 2 ( 1 ) 2 nnnx n u n u n ??? ? ? ? ? （ 2（當收斂域 2z? 時， 0,n? c 內(nèi)有極點 ,2, ( ) R e [ ( ) , 0. 5 ] R e [ ( ) , 2]x n s F z s F z?? ( 2)22( ) ( 2) 2nnnnz zzzz??? ? ?????? 0,n? c 內(nèi)有極點 ,2,0,但極點 0 是一個 n 階極點 ,改成求 c 外極點 留數(shù) ,可是 c 外沒有極點 , 16 因此 ( ) 0xn? , 最后得到 ( ) ( 2 ) ( )nnx n u n?? 25. 已知網(wǎng)絡(luò)的輸入和單位脈沖響應分別為 ( ) ( ) , ( ) ( ) , 0 1 , 0 1nnx n a u n h n b u n a b? ? ? ? ? ?， 試 ： （ 1） 用卷積法求網(wǎng)絡(luò)輸出 ()yn ； （ 2） 用 ZT 法求網(wǎng)絡(luò)輸出 ()yn 。 解 ： （ 1）用卷積法求 ()yn ( ) ( ) ( ) ( ) ( )m n mmy n h n x n b u m a u n m? ?? ? ?? ? ? ??， 0n? , 1 1 1 1100 1() 1n n n nnnn m m n m m nmma b a by n a b a a b a a b a b? ? ? ? ??? ?????? ? ? ?????， 0n? ， ( ) 0yn? 最后得到 11( ) ( )nnaby n u nab???? ? （ 2）用 ZT 法求 ()yn 1111( ) , ( )11X z H za z b z?????? ? ? ? ?111( ) ( ) ( ) 11Y z X z H z a z b z???? ?? 11( ) ( )2 ncy n Y z z dzj? ?? ? 令 ? ? ? ?11111( ) ( ) ( ) ( )11nnn zzF z Y z zz a z ba z b z?????? ? ? ???? 0n? ,c 內(nèi)有極點 ,ab 1 1 1 1( ) R e [ ( ) , ] R e [ ( ) , ] n n n na b a by n s F z a s F z b a b b a a b? ? ? ??? ? ? ? ?? ? ? 因為系統(tǒng)是因果系統(tǒng)， 0n? , ( ) 0yn? ，最后得到 17 11( ) ( )nnaby n u nab???? ? 28. 若序列 ()hn 是因果序列 ， 其傅里葉變換的實部如下式 ： 21 c o s( ) , 11 2 c o sjwR awH e aa a w????? 求序列 ()hn 及其傅里葉變換 ()jwHe 。 解 ： 221 c o s 1 0 . 5 ( )() 1 2 c o s 1 ( )jw jwjwR jw jwa w a e eHe a a w a a e e??? ? ???? ? ? ? ? 12 1 11 0 . 5 ( ) 1 0 . 5 ( )() 1 ( ) ( 1 ) ( 1 )jw jwR a z z a e eHz a a z z a z a z??? ? ? ???? ? ? ? ? 求上式 IZT，得到序列 ()hn 的共軛對稱序列 ()ehn。 11( ) ( )2 neRch n H z z d zj? ?? ? 21110 .5 0 .5( ) ( ) ( ) ( )nnR a z z aF z H z z za z a z a?? ?? ? ??? ? ? ? 因為 ()hn 是因果序列， ()ehn必定是雙邊序列，收斂域?。?1a z a??? 。 1n? 時， c 內(nèi)有極點 a , 2 110 . 5 0 . 5 1( ) R e [ ( ) , ] ( )( ) ( ) 2nne a z z ah n s F z a z z a azaa z a z a ??? ? ?? ? ? ??? ? ? n=0 時， c 內(nèi)有極點 a ,0， 21110 .5 0 .5( ) ( ) ( ) ( )nR a z z aF z H z z za z a z a?? ?? ? ??? ? ? ? 所以 ( ) Re [ ( ) , ] Re [ ( ) , 0 ] 1eh n s F z a s F z? ? ? 又因為 ( ) ( )eeh n h n?? 所以 18 1, 0( ) , 0 , 0nennh n a nan???????? ?? 1 , 0( ) , 0( ) 2 ( ) , 0