屆高三數(shù)學(xué)理高考總復(fù)習(xí)：板塊命題點專練四word版含解析(編輯修改稿)
2025-02-05 11:43 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 ， 所以 f(x)在 (0，＋ ∞ )上單調(diào)遞增． 若 a0， 則當(dāng) x∈ ??? ???0， 1a 時 ， f′ (x)0； 當(dāng) x∈ ??? ???1a，＋ ∞ 時 ， f′ (x)0. 所以 f(x)在 ??? ???0， 1a 上單調(diào)遞增 ， 在 ??? ???1a，＋ ∞ 上單調(diào)遞減． (2)由 (1)知 ， 當(dāng) a≤ 0 時 ， f(x)在 (0，＋ ∞ )上無最大值； 當(dāng) a0 時 ， f(x)在 x＝ 1a處取得最大值 ， 最大值為 f??? ???1a ＝ ln??? ???1a ＋ a??? ???1－ 1a ＝－ ln a＋ a－ 1. 因此 f??? ???1a 2a－ 2 等價于 ln a＋ a－ 10. 令 g(a)＝ ln a＋ a－ 1， 則 g(a)在 (0，＋ ∞ )上單調(diào)遞增 ， g(1)＝ 0. 于是 ， 當(dāng) 0a1 時 ， g(a)0； 當(dāng) a1 時 ， g(a)0. 因此 ， a 的取值范圍是 (0,1)． 5． (2022全國甲卷 )已知函數(shù) f(x)＝ (x＋ 1)ln x－ a(x－ 1)． (1)當(dāng) a＝ 4 時 ， 求曲線 y＝ f(x)在 (1， f(1))處的切線方程； (2)若當(dāng) x∈ (1， ＋ ∞ )時 ， f(x)＞ 0， 求 a 的取值范圍． 解： (1)f(x)的定義域為 (0， ＋ ∞ )． 當(dāng) a＝ 4 時 ， f(x)＝ (x＋ 1)ln x－ 4(x－ 1)， f(1)＝ 0， f′ (x)＝ ln x＋ 1x－ 3， f′ (1)＝－ 2. 故曲線 y＝ f(x)在 (1， f(1))處的切線方程為 2x＋ y－ 2＝ 0. (2)當(dāng) x∈ (1， ＋ ∞ )時 ， f(x)＞ 0 等價于 ln x－ a?x－ 1?x＋ 1 ＞ 0. 設(shè) g(x)＝ ln x－ a?x－ 1?x＋ 1 ， 則 g′ (x)＝ 1x－ 2a?x＋ 1?2＝ x2＋ 2?1－ a?x＋ 1x?x＋ 1?2 ， g(1)＝ 0. ① 當(dāng) a≤ 2， x∈ (1， ＋ ∞ )時 ， x2＋ 2(1－ a)x＋ 1≥ x2－ 2x＋ 1＞ 0， 故 g′ (x)＞ 0，g(x)在 (1， ＋ ∞ )上單調(diào)遞增 ， 因此 g(x)＞ 0； ② 當(dāng) a＞ 2 時 ， 令 g′ (x)＝ 0 得 x1＝ a－ 1－ ?a－ 1?2－ 1， x2＝ a－ 1＋ ?a－ 1?2－ 1. 由 x2＞ 1 和 x1x2＝ 1 得 x1＜ 1， 故當(dāng) x∈ (1， x2)時 ， g′ (x)＜ 0， g(x)在 (1， x2)上單調(diào)遞減 ， 因此 g(x)＜ 0. 綜上 ， a 的取值范圍是 (－ ∞ ， 2]． 6． (2022全國丙卷 )設(shè)函數(shù) f(x)＝ ln x－ x＋ 1. (1)討論 f(x)的單調(diào)性； (2)證明當(dāng) x∈ (1， ＋ ∞ )時 ， 1＜ x－ 1ln x ＜ x； (3)設(shè) c＞ 1， 證明當(dāng) x∈ (0,1)時 ， 1＋ (c－ 1)x＞ cx. 解： (1
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