【文章內(nèi)容簡介】 － 2 ． (2022 年浙江臺州模擬 )已知 f(x)是定義在 R 上的奇函數(shù)，且 f(1)＝ 1，若將 f(x)的圖象向右平移一個單位后，得到一個偶函數(shù)的圖象，則 f(1)＋ f(2)＋ f(3)＋ … ＋ f(2022)＝ ________. 解析： f(x)是定義在 R 上的奇函數(shù)，所以 f(－ x)＝－ f(x)，將 f(x)的圖象向右平移一個單位后，得到一個偶函數(shù)的圖象，則滿足 f(－ 2＋ x)＝－ f(x)，即 f(x＋ 2)＝－ f(x)，所以周期為 4， f(1)＝ 1， f(2)＝ f(0)＝ 0， f(3)＝－ f(1)＝－ 1， f(4)＝ 0，所以 f(1)＋ f(2)＋ f(3)＋ f(4)＝ 0，則 f(1)＋ f(2)＋ f(3)＋ … ＋ f(2022)＝ f(4)502＋ f(2)＝： 0 10． (2022 年高考江西卷改編 )已知函數(shù) f(x)是 (－ ∞，＋ ∞)上的偶函數(shù)，若對于 x≥0，都有 f(x＋ 2)＝ f(x)，且當 x∈ [0,2)時， f(x)＝ log2(x＋ 1)，則 f(－ 2022)＋ f(2022)的值為 ________． 解析： ∵ f(x)是偶函數(shù)， ∴ f(－ 2022)＝ f(2022)． ∵ f(x)在 x≥0時 f(x＋ 2)＝ f(x)， ∴ f(x)周期為 2.∴ f(－ 2022)＋ f(2022)＝ f(2022)＋ f(2022)＝ f(1)＋ f(0)＝ log22＋ log21＝ 0＋ 1＝ ： 1 11． (2022 年江蘇蘇州模擬 )已知函數(shù) f(x)是偶函數(shù)，并且對于定義域內(nèi)任意的 x，滿足 f(x＋ 2)＝－ 1f(x)，若高一數(shù)學(xué)（必修 1， 4， 5， 2）講義 劉老師數(shù)學(xué)課堂 11 當 2x3 時， f(x)＝ x，則 f()＝ ________. 解析：由 f(x＋ 2)＝－ 1f(x)，可得 f(x＋ 4)＝ f(x)， f()＝ f(5024＋ )＝ f()＝ f(－ )∵ f(x)是偶函數(shù)，∴ f()＝ f()＝ ： 52 12． (原創(chuàng)題 )若函數(shù) f(x)＝ ax－ 1(a0， a≠1)的定義域和值域都是 [0,2]，則實數(shù) a 等于 ________． 解析：由題意知????? 0a1a2－ 1＝ 0a0－ 1＝ 2無解或????? a1a0－ 1＝ 0a2－ 1＝ 2?a＝ ： 3 1 (2022 年高考遼寧卷改編 )已知函數(shù) f(x)滿足：當 x≥4時， f(x)＝ (12)x；當 x4 時， f(x)＝ f(x＋ 1)，則 f(2＋log23)＝ ________. 解析： ∵ 234＝ 22， ∴ 1log232.∴ 32＋ log234， ∴ f(2＋ log23) ＝ f(3＋ log23)＝ f(log224)＝ (12)log224＝ 2－ log224＝ 2log2 124＝ ： 124 1 (原創(chuàng)題 )方 程 x12＝ logsin1x 的實根個數(shù)是 __________． 1 (2022 年安徽省江南十校模擬 )函數(shù) f(x)＝ 2x＋ x－ 7 的零點所在的區(qū)間是 ____． ① (0,1) ② (1,2) ③ (2,3) ④ (3,4) 1 若函數(shù) 2()() xf x e ???? (e 是自然對數(shù)的底數(shù) )的最大值是 m,且 f(x)是偶函數(shù)，則 m+μ= 2022 1 設(shè)函數(shù) ()y f x? ()xR? 的圖象 關(guān)于直線 0x? 及直線 1x? 對稱，且 [0,1]x? 時， 2()f x x? ，則3()2f ?? （ A） 12 （ B） 14 （ C） 34 （ D） 94 18. 已知函數(shù) ()fx 是定義在實數(shù)集 R 上的不恒為零的偶函數(shù)，且對任意實數(shù) x 都有( 1 ) (1 ) ( )xf x x f x? ? ?，則 5( ( ))2ff 的值是 1 函數(shù) f(x)=1+log2x 與 g(x)= 12x?? 在同一直角坐標系下的圖象大致是 高一數(shù)學(xué)（必修 1， 4， 5， 2）講義 劉老師數(shù)學(xué)課堂 12 已知 ()fx是 R 上的奇函數(shù)，且當 0x? 時， 1( ) ( ) 12 xfx??，則 ()fx的反函數(shù)的圖像大致是 2 函數(shù) 1 ( 0 , 1)xy a a aa? ? ? ?的圖象可能是（ ） 2 函數(shù) 13 3??xxy的圖象大致是（ ） A、 B、 C、 D、 二 三角函數(shù)與解三角形 任意角的三角函數(shù)定義 三角函數(shù)線 高一數(shù)學(xué)（必修 1， 4， 5， 2）講義 劉老師數(shù)學(xué)課堂 13 三角函數(shù)基本公式 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖像及性質(zhì) 正余炫定理 【典型例題】 例 1 若一個 α角的終邊上有一點 P(－ 4， a)，且 sinαcosα＝ 34 ，則 a 的值為 ________． 解析： 依題意可知 α角的終邊在第三象 限，點 P(－ 4， a)在其終邊上且 sinαcosα＝ 34 ，易得 tanα＝ 3或 33 ，則 a＝－ 4 3或－ 43 ： － 4 3或－ 43 3 例 2 (2022 年南昌質(zhì)檢 )若 tanα＝ 2，則 sinα＋ cosαsinα－ cosα＋ cos2α＝ _____________. 高一數(shù)學(xué)（必修 1， 4， 5， 2）講義 劉老師數(shù)學(xué)課堂 14 解析： sinα＋ cosαsinα－ cosα＋ cos2α＝ sinα＋ cosαsinα－ cosα＋ cos2αsin2α＋ cos2α＝tanα＋ 1tanα－ 1＋1tan2α＋ 1＝165 .答案：165 例 3 已知向量 a＝ ( 3， 1)，向量 b＝ (sinα－ m， cosα)． (1)若 a∥ b，且 α∈ [0,2π)，將 m 表示為 α的函數(shù)，并求 m 的最小值及相應(yīng)的 α值； (2)若 a⊥ b， 且 m＝ 0，求cos(π2－ α)sin(π＋ 2α)cos(π－ α) 的值． 解： (1)∵ a∥ b， ∴ 3cosα－ 1(sinα－ m)＝ 0， ∴ m＝ sinα－ 3cosα＝ 2sin(α－ π3)． 又 ∵ α∈ [0,2π)， ∴ 當 sin(α－ π3)＝－ 1時， mmin＝－ 2. 此時 α－ π3＝ 32π，即 α＝ 116 π. (2)∵ a⊥ b，且 m＝ 0， ∴ 3sinα＋ cosα＝ 0.∴ tanα＝－ 33 . ∴cos(π2－ α)sin(π＋ 2α)cos(π－ α) ＝sinα(－ sin2α)－ cosα ＝ tanα2sinαcosα ＝ tanα2sinαcosαsin2α＋ cos2α＝ tanα 2tanα1＋ tan2α＝ 12. 例 4 (2022 年高考四川卷 )已知函數(shù) f(x)＝ sin(x－ π2)(x∈ R)，下面結(jié)論錯誤的是 ________． ① 函數(shù) f(x)的最小正周期為 2π ② 函數(shù) f(x)在區(qū)間 [0， π2]上是增函數(shù) ③ 函數(shù) f(x)的圖象關(guān)于直線 x＝ 0 對稱 ④ 函數(shù) f(x)是奇函數(shù) 解析： ∵ y＝ sin(x－ π2)＝－ cosx， y＝－ cosx為偶函數(shù)， ∴ T＝ 2π，在 [0， π2]上是增函數(shù)，圖象關(guān)于 y軸對稱． 答案： ④ 例 5 (2022 年蘇北四市調(diào)研 )若函數(shù) f(x)＝ 2sinωx(ω0)在 [－ 2π3 ， 2π3 ]上單調(diào)遞增，則 ω的最大值為 ________． 解析： 由題意，得 2π4ω≥ 2π3， ∴ 0ω≤ 34，則 ω的最大值為 ： 34 例 6 已知向量 a＝ (2sinωx， cos2ωx)，向量 b＝ (cosωx,2 3)，其中 ω0，函數(shù) f(x)＝ ab，若 f(x)圖象的相鄰兩對稱軸間的距離為 π. (1)求 f(x)的解析式； (2)若對任意實數(shù) x∈ [π6， π3]，恒有 |f(x)－ m|2 成立，求實數(shù) m 的取值范圍． 解： (1)f(x)＝ ab＝ (2sinωx， cos2ωx)(cosωx,2 3)＝ sin2ωx＋ 3(1＋ cos2ωx)＝ 2sin(2ωx＋ π3)＋ 3.∵ 相鄰兩對稱軸的距離為 π， ∴ 2π2ω＝ 2π， ∴ ω＝ 12， ∴ f(x)＝ 2sin(x＋ π3)＋ 3. (2)∵ x∈ [π6， π3]， ∴ x＋ π3∈ [π2， 2π3 ]， ∴ 2 3≤ f(x)≤ 2＋ ∵ |f(x)－ m|2， ∴ － 2＋ mf(x)2＋ m.,若對任意 x∈ [π6， π3]，恒有 |f(x)－ m|2成立，則有 高一數(shù)學(xué)（必修 1， 4， 5， 2）講義 劉老師數(shù)學(xué)課堂 15 ??? － 2＋ m≤ 2 3，2＋ m≥ 2＋ 3， 解得 3≤ m≤ 2＋ 2 3. 例 7 (2022 年高考浙江卷 )已知 a 是實數(shù)，則函數(shù) f(x)＝ 1＋ asinax 的圖象不可能是 ________． 解析： 函數(shù)的最小正周期為 T＝ 2π|a|， ∴ 當 |a|1時， T 0|a|1時， T2π，觀察圖形中周期與振幅的關(guān)系，發(fā)現(xiàn) ④ 不符合要求． 答案： ④ 例 如圖是函數(shù) f(x)＝ Asin(ωx＋ φ)(A0， ω0，－ πφπ)， x∈ R 的部分圖象，則下列命題中，正確命題的序號為 ________． ① 函數(shù) f(x)的最小正周期為 π2； ② 函數(shù) f(x)的振幅為 2 3； ③ 函數(shù) f(x)的一條對稱軸方程為 x＝ 712π； ④ 函數(shù) f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為 [ π12， 712π]； ⑤ 函數(shù)的解析式為 f(x)＝ 3sin(2x－ 23π)． 解析： 據(jù)圖象可得： A＝ 3， T2＝ 5π6－ π3? T＝ π，故 ω＝ 2，又由 f(7π12)＝ 3? sin(2 7π12＋ φ)＝ 1，解得 φ＝ 2kπ－ 2π3 (k∈ Z)，又－ πφπ，故 φ＝－ 2π3，故 f(x)＝ 3sin(2x－ 2π3 )，依次判斷各選項，易知 ①② 是錯誤的，由圖象易知 x＝ 7π12是函數(shù)圖象的一條對稱軸，故 ③ 正確， ④ 函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間有無窮多個，區(qū)間 [ π12， 7π12]只是函數(shù)的一個單調(diào)遞增區(qū)間， ⑤ 由上述推導(dǎo)易知正確． 答案： ③⑤ 例 9 (原創(chuàng)題 )已知函數(shù) f(x)＝ sinωx＋ cosωx，如果存在實數(shù) x1，使得對任意的實數(shù) x，都有 f(x1)≤ f(x)≤ f(x1＋ 2022)成立，則 ω的最小值為 ________． 解析： 顯然結(jié)論成立只需保證區(qū)間 [x1， x1＋ 2022]能夠包含函數(shù)的至少一個完整的單調(diào)區(qū)間即可，且 f(x)＝ sinωx＋ cosωx＝ 2sin(ωx＋ π4)，則 2022≥2πω2? ω≥π：π2022 例 10 (2022 年高考寧夏、海南卷 )已知函數(shù) y＝ sin(ωx＋ φ)(ω0，－ π≤ φπ)的圖象如圖所示，則 φ＝________. 解析： 由圖可知， T2＝ 2π－ 34π， ∴ T＝ 52π， ∴ 2πω＝ 52π， ∴ ω＝ 45， ∴ y＝ sin(45x＋ φ)． 又 ∵ sin(45 34π＋ φ)＝－ 1， 高一數(shù)學(xué)（必修 1， 4， 5， 2）講義 劉老師數(shù)學(xué)課堂 16 ∴ sin(35π＋ φ)＝－ 1， ∴ 35π＋ φ＝ 32π＋ 2kπ， k∈ Z. ∵ － π≤ φπ， ∴ φ＝ 910π. 答案： 910π 例 11 (2022 年高考天津卷改編 )已知函數(shù) f(x)＝ sin(ωx＋ π4)(x∈ R， ω0)的最小正周期為 π，為了得到函數(shù)g(x)＝ cosωx的圖象，只要將 y＝ f(x)的 圖象 ________． 解析： ∵ f(x)＝ sin(ωx＋ π4)(x∈ R， ω0)的最小正周期為 π， ∴ 2πω＝ π，故 ω＝ 2. 又 f(x)＝ sin(2x＋ π4)∴ g(x)＝ sin[2(x＋ π8)＋ π4]＝ sin(2x＋ π2)＝ cos2x. 答案： 向左平移 π8個單位長度 例 12 (2022 年深圳調(diào)研 )定義行列式運算： ??? ???a1 a2a3 a4＝ a1a4－ a2a3，將函數(shù) f(x)＝ ??? ???3 cosx1 sinx 的圖象向左平移 m 個單位 (m0)，若所得圖象對應(yīng)的函數(shù)為偶函數(shù)，則 m 的最小值是 ________． 解析： 由題意，知 f(x)＝ 3sinx－ cosx＝ 2( 32 sinx－ 12cosx)＝ 2sin(x－ π6)， 其圖象向左平移 m 個單 位